本文正在参加「Python主题月」，详情查看 [活动链接](https://juejin.cn/post/6979532761954533390/) ## 题目描述这是 LeetCode 上的 **[1818. 绝对差值和](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-absolute-sum-difference/solution/gong-shui-san-xie-tong-guo-er-fen-zhao-z-vrmq/)** ，难度为 **中等**。 Tag : 「二分」给你两个正整数数组 nums1 和 nums2 ，数组的长度都是 n 。数组 nums1 和 nums2 的绝对差值和定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的总和（下标从 0 开始）。你可以选用 nums1 中的任意一个元素来替换 nums1 中的至多一个元素，以最小化绝对差值和。在替换数组 nums1 中最多一个元素之后，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 $10^9 + 7$ 取余后返回。 |x| 定义为： * 如果 x >= 0 ，值为 x ，或者 * 如果 x <= 0 ，值为 -x 示例 1： ``` 输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5] 输出：3 解释：有两种可能的最优方案： - 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者 - 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5] 两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3 ``` 示例 2： ``` 输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10] 输出：0 解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0 ``` 示例 3： ``` 输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4] 输出：20 解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7] 绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20 ``` 提示： * n == nums1.length * n == nums2.length * 1 <= n <= $10^5$ * 1 <= nums1[i], nums2[i] <= $10^5$ ## 二分这是一道二分陈题，具体做法如下：我们在进行处理前，先对 $nums1$ 进行拷贝并排序，得到 $sorted$ 数组。然后 **在遍历 $nums1$ 和 $nums2$ 计算总的差值 $sum$ 时，通过对 $sorted$ 进行二分查找，找到最合适替换 $nums[i]$ 的值**。具体的，当我们处理到第 $i$ 位时，假设该位的原差值为 $x = abs(nums1[i] - nums2[i])$，然后从 $sorted$ 数组中通过二分找到最接近 $nums2[i]$ 的值，计算一个新的差值 $nd$（注意要检查分割点与分割点的下一位），如果满足 $nd < x$ 说明存在一个替换方案使得差值变小，我们使用变量 $max$ 记下来这个替换方案所带来的变化，并不断更新 $max$。当整个数组被处理完，$max$ 存储着最优方案对应的差值变化，此时 $sum - max$ 即是答案。 Java 代码： ```Java [] class Solution { int mod = (int)1e9+7; public int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) { int n = nums1.length; int[] sorted = nums1.clone(); Arrays.sort(sorted); long sum = 0, max = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { int a = nums1[i], b = nums2[i]; if (a == b) continue; int x = Math.abs(a - b); sum += x; int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (sorted[mid] <= b) l = mid; else r = mid - 1; } int nd = Math.abs(sorted[r] - b); if (r + 1 < n) nd = Math.min(nd, Math.abs(sorted[r + 1] - b)); if (nd < x) max = Math.max(max, x - nd); } return (int)((sum - max) % mod); } } ``` Python 3 代码： ```Python 3 class Solution: mod = 10 ** 9 + 7 def minAbsoluteSumDiff(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int: n = len(nums1) sortedNums1 = sorted(nums1) totalSum = maxDiff = 0 for i in range(n): a, b = nums1[i], nums2[i] if a == b: continue x = abs(a - b) totalSum += x l, r = 0, n - 1 while l < r: mid = l + r + 1 >> 1 if sortedNums1[mid] <= b: l = mid else: r = mid - 1 nd = abs(sortedNums1[r] - b) if r < n - 1: nd = min(nd, abs(sortedNums1[r + 1] - b)) if nd < x: maxDiff = max(maxDiff, x - nd) return (totalSum - maxDiff) % self.mod ``` * 时间复杂度：对 `sorted` 进行拷贝并排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；遍历处理数组时会一边统计，一边尝试二分，找最合适的替换数值，复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$ * 空间复杂度：使用 `sorted` 数组需要 $O(n)$ 的空间复杂度，同时排序过程中会使用 $O(\log{n})$ 的空间复杂度；整体复杂度为 $O(n + \log{n})$ ## 最后这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1818` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。