堆基本概念

堆排序是一个很重要的排序算法，它是高效率的排序算法，复杂度是O(nlogn)，堆排序不仅是面试进场考的重点，而且在很多实践中的算法会用到它，比如经典的TopK算法、小顶堆用于实现优先级队列。

堆排序是利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆实际上是一个完全二叉树结构。问：那么什么是完全二叉树呢？答：假设一个二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

我们知道堆是一个完全二叉树了，那么堆又分两种堆：大顶堆 和 小顶堆它们符合一个重要的性质：

小顶堆满足： Key[i] <= key[2i+1] && Key[i] <= key[2i+2]
大顶堆满足： Key[i] >= Key[2i+1] && key >= key[2i+2]

怎么理解呢，其实很简单，顾名思义，大顶堆最大的元素在跟节点，堆的性质决定了大顶堆中节点一定大于等于其子节点，反之，小顶堆的最小元素在根节点。我们来看看大顶堆和小顶堆的示意图:

大顶堆和小顶堆

堆排序基本思想及步骤

堆排序有以下几个核心的步骤：

将待排序的数组初始化为大顶堆，该过程即建堆。
将堆顶元素与最后一个元素进行交换，除去最后一个元素外可以组建为一个新的大顶堆。
由于第二部堆顶元素跟最后一个元素交换后，新建立的堆不是大顶堆，需要重新建立大顶堆。重复上面的处理流程，直到堆中仅剩下一个元素。

假设我们有一个待排序的数组 arr = [4, 6, 7, 2, 9, 8, 3, 5]，我们把这个数组构造成为一个二叉树，如下图：数组构造成完全二叉树

问：此时我们需要把这个完全二叉树构造成一个大顶堆，怎么构造呢？答：一个很好的方法是遍历二叉树的非叶子节点自下往上的构造大顶堆，针对每个非叶子节点，都跟它的左右子节点比较，把最大的值换到这个子树的父节点。

问：为什么要从非叶子节点开始，而不是从最后一个节点开始？答：因为叶子节点下面没有子节点了，就没必要操作了。

问：为什么要从下往上而不是从上往下遍历非叶子节点？答：我们从下面开始遍历调整每个节点成为它左右节点的最大值，那么一直往上的话，最后根节点一定是最大的值；但是如果我们从上往下，上面满足了大顶堆，下面不满足，调整后，上面可能又不满足了，所以从下往上是最好的方案。

那么我们构造的大顶堆的代码就很明显了：

# 构造大顶堆，从非叶子节点开始倒序遍历，因此是l//2 -1 就是最后一个非叶子节点
l = len(arr)
for i in range(l//2-1, -1, -1): 
     build_heap()
     # 遍历针对每个非叶子节点构造大顶堆

看我们的例子，非叶子节点有2, 8, 6, 4，我们从最后一个非叶子节点，也就是5开始遍历构造大顶堆，2 跟 5 比较，5比较大，所以把 arr[3]和arr[7]从数组中交换一下位置，那么就完成第一个非叶子节点的置换。下面的节点继续交换

此时9跟4交换后，4这个节点下面的树就不是不符合大顶堆了，所以要针对4这个节点跟它的左右节点再次比较，置换成较大的值，4跟左右子节点比较后，应该跟6交换位置。那么至此，整个二叉树就是一个完完整整的大顶堆了，每个节点都不小于左右子节点。此时我们把堆的跟节点，即数组最大值9跟数组最后一个元素2交换位置，那么9就是排好序的放在了数组最后一个位置

2到了跟节点后，新的堆不满足大顶堆，我们需要重复上面的步骤，重新构造大顶堆，然后把大顶堆根节点放到二叉树后面作为排好序的数组放好。就这样利用大顶堆一个一个的数字排好序。

值得注意的一个地方是，上面我们把9和2交换位置后，2处于二叉树根节点，2需要跟右子树8交换位置，交换完位置后，右子树需要重新递归调整大顶堆，但是左子树6这边，已经是满足大顶堆属性，因为不需要再操作。我们再看看堆排序的一个直观的动图吧：堆排序动图过程

代码实现：

class Solution(object):
    def heap_sort(self, nums):
        i, l = 0, len(nums)
        self.nums = nums
        # 构造大顶堆，从非叶子节点开始倒序遍历，因此是l//2 -1 就是最后一个非叶子节点
        for i in range(l//2-1, -1, -1): 
            self.build_heap(i, l-1)
        # 上面的循环完成了大顶堆的构造，那么就开始把根节点跟末尾节点交换，然后重新调整大顶堆  
        for j in range(l-1, -1, -1):
            nums[0], nums[j] = nums[j], nums[0]
            self.build_heap(0, j-1)

        return nums

    def build_heap(self, i, l): 
        """构建大顶堆"""
        nums = self.nums
        left, right = 2*i+1, 2*i+2 ## 左右子节点的下标
        large_index = i 
        if left <= l and nums[i] < nums[left]:
            large_index = left

        if right <= l and nums[left] < nums[right]:
            large_index = right
 
        # 通过上面跟左右节点比较后，得出三个元素之间较大的下标，如果较大下表不是父节点的下标，说明交换后需要重新调整大顶堆
        if large_index != i:
            nums[i], nums[large_index] = nums[large_index], nums[i]
            self.build_heap(large_index, l)

堆排序复杂度

时间复杂度，包括两个方面：

初始化建堆过程时间：O(n)
更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)，循环 n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn - logn ，所以复杂度是 O(nlogn)

时间复杂度：O(nlogn)空间复杂度：因为堆排序是就地排序，空间复杂度为常数：O(1)

堆排序的应用：TopK算法

面试中经常考的一个面试题就是，如果在海量数据中找出最大的100个数字，看到这个问题，可能大家首先会想到的是使用高效排序算法，比如快排，对这些数据排序，时间复杂度是O(nlogn)，然后取出最大的100个数字。但是如果数据量很大，一个机器的内存不足以一次过读取这么多数据，就不能使用这个方法了。

不使用分布式机器计算，使用一个机器也能找出TopK的经典算法就是使用堆排序了，具体方法是：

维护一个大小为 K 的小顶堆，依次将数据放入堆中，当堆的大小满了的时候，只需要将堆顶元素与下一个数比较：

如果小于堆顶元素，则直接忽略，比较下一个元素；
如果大于堆顶元素，则将当前的堆顶元素抛弃，并将该元素插入堆中。遍历完全部数据，Top K 的元素也自然都在堆里面了。

整个操作中，遍历数组需要O(n)的时间复杂度，每次调整小顶堆的时间复杂度是O(logK)，加起来就是 O(nlogK) 的复杂度，如果 K 远小于 n 的话， O(nlogK) 其实就接近于 O(n) 了，甚至会更快，因此也是十分高效的。

总结

堆排序有以下几个核心的步骤：

将待排序的数组初始化为大顶堆，该过程即建堆。
将堆顶元素与最后一个元素进行交换，除去最后一个元素外可以组建为一个新的大顶堆。
由于第二部堆顶元素跟最后一个元素交换后，新建立的堆不是大顶堆，需要重新建立大顶堆。重复上面的处理流程，直到堆中仅剩下一个元素。

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