排序算法

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冒泡排序

原理

俩俩比较相邻记录的排序码，若发生逆序，则交换；有俩种方式进行冒泡，一种是先把小的冒泡到前边去，另一种是把大的元素冒泡到后边。

性能

时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(1)$。排序是稳定的，排序比较次数与初始序列无关，但交换次数与初始序列有关。

优化

若初始序列就是排序好的，对于冒泡排序仍然还要比较$O(N^2)$次，但无交换次数。可根据这个进行优化，设置一个flag，当在一趟序列中没有发生交换，则该序列已排序好，但优化后排序的时间复杂度没有发生量级的改变。

###代码

public static void bubbleSort(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
        boolean flag = true;
        for (int j = arr.length - 1; j > i; j--) {
            if (arr[j] < arr[j - 1]) {
                int tmp = arr[j];
                arr[j] = arr[j - 1];
                arr[j - 1] = tmp;
                flag = false;
            }
        }
        if (flag) return;
    }
}

插入排序

原理

依次选择一个待排序的数据，插入到前边已排好序的序列中。

性能

时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(1)$。算法是稳定的，比较次数和交换次数都与初始序列有关。

优化

直接插入排序每次往前插入时，是按顺序依次往前找，可在这里进行优化，往前找合适的插入位置时采用二分查找的方式，即折半插入。

折半插入排序相对直接插入排序而言：平均性能更快，时间复杂度降至$O(NlogN)$，排序是稳定的，但排序的比较次数与初始序列无关，总是需要$foor(log(i))+1$次排序比较。

代码

public static void insertSort(int[] arr) {
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        out:
        for (int j=i;j>0;j--){
            if (arr[j] < arr[j-1]){
                int tmp = arr[j];
                arr[j] = arr[j-1];
                arr[j-1] = tmp;
            }else break out;
        }
    }
}

public static void insertBinarySort(int[] arr){
    for (int i = 1; i < arr.length; i++){
        if (arr[i] < arr[i-1]){
            int temp = arr[i];
            int low = 0, high = i - 1, mid;
            while (low <= high){
                mid = (low + high) / 2;
                if (temp < arr[mid]){
                    high = mid - 1;
                }else {
                    low = mid + 1;
                }
            }
            for (int j = i; j >low; j--){
                arr[j] = arr[j - 1];
            }
            arr[low] = temp;
        }
    }
}

希尔排序

原理

插入排序的改进版，是基于插入排序的以下俩点性质而提出的改进方法：

插入排序对几乎已排好序的数据操作时，效率很高，可以达到线性排序的效率。
但插入排序在每次往前插入时只能将数据移动一位，效率比较低。

所以希尔排序的思想是：

先是取一个合适的gap<n作为间隔，将全部元素分为gap个子序列，所有距离为gap的元素放入同一个子序列，再对每个子序列进行直接插入排序；
缩小间隔gap，例如去gap=ceil(gap/2)，重复上述子序列划分和排序
直到，最后gap=1时，将所有元素放在同一个序列中进行插入排序为止。

###性能

开始时，gap取值较大，子序列中的元素较少，排序速度快，克服了直接插入排序的缺点；其次，gap值逐渐变小后，虽然子序列的元素逐渐变多，但大多元素已基本有序，所以继承了直接插入排序的优点，能以近线性的速度排好序。

###代码

public static void shellSort(int[] arr) {
    int gap = Math.round(arr.length / 2);
    while (gap > 0) {
        for (int i = 0;i<gap;i++){
            for (int j = i + gap;j<arr.length;j+=gap){
                if (arr[j] > arr[j-gap]){
                    int temp = arr[j];
                    int k = j - gap;
                    while (k >= 0 && arr[k] > temp)
                    {
                        arr[k + gap] = arr[k];
                        k -= gap;
                    }
                    arr[k + gap] = temp;
                }
            }
        }
    }
}

public static void shellSort2(int[] arr){
    for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2){
        for (int i = 0; i < arr.length; i = i + gap){
            int temp = arr[i];
            int j;
            for (j = i; j >= gap && temp < arr[j-gap]; j -= gap){
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

选择排序

原理

每次从未排序的序列中找到最小值，记录并最后存放到已排序序列的末尾

性能

时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(1)$，排序是不稳定的（把最小值交换到已排序的末尾导致的），每次都能确定一个元素所在的最终位置，比较次数与初始序列无关。

代码

public static void selectSort(int[] arr){
    int len = arr.length;
    //每次从后边选择一个最小值
    for (int i = 0; i < len-1; i++){     //只需选择n-1次
        int min = i;
        for (int j = i+1; j < len; j++){
            if (arr[min]>arr[j]){
                min = j;
            }
        }
        if (min != i){
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[min];
            arr[min] = temp;
        }
    }
}

快速排序

原理

分而治之思想：

Divide：找到基准元素pivot，将数组A[p..r]划分为A[p..pivotpos-1]和A[pivotpos+1...q]，左边的元素都比基准小，右边的元素都比基准大;
Conquer：对俩个划分的数组进行递归排序；
Combine：因为基准的作用，使得俩个子数组就地有序，无需合并操作。

性能

快排的平均时间复杂度为$O(NlogN）$，空间复杂度为$O(logN)$，但最坏情况下，时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(N)$；且排序是不稳定的，但每次都能确定一个元素所在序列中的最终位置，复杂度与初始序列有关。

代码

    public static void swap(int i, int j, int[] arr) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    public static void sortQuick(int[] quickArray) {
        int[] arr = quickArray;
        quickSort(0, arr.length - 1, arr);
    }
    
    public static void quickSort(int start, int end, int[] arr) {
        if (start < end) {
            int pivot = arr[start];
            int left = start;
            int right = end;
            while (left != right) {
                while (arr[right] >= pivot && left < right) right--;
                while (arr[left] <= pivot && left < right) left++;
                swap(left, right, arr);
            }
            arr[start] = arr[left];
            arr[left] = pivot;
            quickSort(start, left - 1, arr);
            quickSort(left + 1, end, arr);
        }
    }

归并排序

原理

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

先考虑合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

再考虑递归分解，基本思路是将数组分解成left和right，如果这两个数组内部数据是有序的，那么就可以用上面合并数组的方法将这两个数组合并排序。如何让这两个数组内部是有序的？可以再二分，直至分解出的小组只含有一个元素时为止，此时认为该小组内部已有序。然后合并排序相邻二个小组即可。

性能

时间复杂度总是为$O(NlogN)$，空间复杂度也总为为4O(N)$，算法与初始序列无关，排序是稳定的。

###代码

    public static void mergeSort(int[] arr){
        mergeSortDiv(arr,0,arr.length-1);
    }

    public static int[] mergeSortDiv(int[] arr,int low,int high){
        int mid = (low + high) / 2;
        if (low < high) {
            // 左边
            mergeSortDiv(arr, low, mid);
            // 右边
            mergeSortDiv(arr, mid + 1, high);
            // 左右归并
            merge(arr, low, mid, high);
        }
        return arr;
    }

    public static void merge(int[] nums, int low, int mid, int high){
        int[] temp = new int[high - low + 1];
        int i = low;// 左指针
        int j = mid + 1;// 右指针
        int k = 0;
        // 把较小的数先移到新数组中
        while (i <= mid && j <= high) {
            if (nums[i] < nums[j]) {
                temp[k++] = nums[i++];
            } else {
                temp[k++] = nums[j++];
            }
        }
        // 把左边剩余的数移入数组
        while (i <= mid) {
            temp[k++] = nums[i++];
        }
        // 把右边边剩余的数移入数组
        while (j <= high) {
            temp[k++] = nums[j++];
        }
        // 把新数组中的数覆盖nums数组
        for (int k2 = 0; k2 < temp.length; k2++) {
            nums[k2 + low] = temp[k2];
        }
    }

堆排序

原理

堆排序在 top K 问题中使用比较频繁。堆排序是采用二叉堆的数据结构来实现的，虽然实质上还是一维数组。二叉堆是一个近似完全二叉树。

二叉堆具有以下性质：

父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
每个节点的左右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

步骤：

构造最大堆（Build_Max_Heap）：若数组下标范围为0~n，考虑到单独一个元素是大根堆，则从下标n/2开始的元素均为大根堆。于是只要从n/2-1开始，向前依次构造大根堆，这样就能保证，构造到某个节点时，它的左右子树都已经是大根堆。
堆排序（HeapSort）：由于堆是用数组模拟的。得到一个大根堆后，数组内部并不是有序的。因此需要将堆化数组有序化。思想是移除根节点，并做最大堆调整的递归运算。第一次将heap[0]与heap[n-1]交换，再对heap[0...n-2]做最大堆调整。第二次将heap[0]与heap[n-2]交换，再对heap[0...n-3]做最大堆调整。重复该操作直至heap[0]和heap[1]交换。由于每次都是将最大的数并入到后面的有序区间，故操作完后整个数组就是有序的了。
最大堆调整（Max_Heapify）：该方法是提供给上述两个过程调用的。目的是将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点。