写在前面

二进制位运算是最贴近计算机真实运算操作，通过位运算，我们可以高效的完成各种基础运算（加减乘除取余等），我们还可以使用位运算巧妙的完成原本很复杂的工作，真正理解计算机，我们才能更好的使用计算机。在这一片文章，我将通过基础理解开始，讲解到 Java 中的一些实际应用。

机器数和机器数的真值

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为 0，负数为 1。举个例子，比如在机器字长为 8 位的情况下（机器字长是指计算机直接处理的二进制数据的位数，它决定了计算机的运算精度，一般是 8 的整数倍，8 位、16 位、32 位、64 位、128 位），十进制中的+3，转换成二进制就是 0000 0011，如果是-3，转换成二进制就是 1000 0011。转换的二进制数 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。

这里我们还需要知道的就是机器数的真值，由于机器数的第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位 1 代表负，其真正数值是-3，而不是形式值 131（1000 0011 转换成十进制等于 131），所以，为了区别起见，将带符号的机器数对应的真正数值成为机器数的真值。比如 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1

原码、反码和补码的基础概念和计算方法

上面我们了解了机器数，也就是二进制数，不过计算机要使用一定的编码方法进行储存，原码、反码和补码就是机器存储一个具体数字的编码方式。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如：如果 8 位二进制：

[+1]原= 0000 0001

[-1]原= 1000 0001

第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以 8 位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）[1111 1111 , 0111 1111]，也就是十进制的[-127 , 127]（小声哔哔，其实可以说成原码是带符号的机器数）。

反码

正数的反码就是其本身，负数的反码是其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反

补码

补码的表示方法是，正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（也就是在其反码的基础上+1）

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补

[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补

知道了这三个基本概念之后，值得一提的是，如果用反码相加，会产生两个零的问题（-0 和+0），所以我们使用补码，不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么 8 位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的有符号的 32 位 int 类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

Java 中的运算符

注意了，以下所有的位运算都是通过补码进行的，正数的补码就是它本身，负数自己对应算，两个操作数都为正数，则结果直接取二进制转十进制，如果两个操作数其中有一个是负数或者两个都为负数，则结果如果符号位是 1（即负的），则得到的是补码，需要从补码转到原码，再转换成十进制，如果结果符号位是 0，直接取二进制转十进制。也就是运算时逢负取补，结果是逢负取原。可以自己先把下面十进制数全部转换成二进制补码，然后带进去算，看一下是不是正确结果。

异或运算符号是“^”，相同的为 0，不同的为 1，代码举例如下：

public static void main(String[] args) {
    System.out.println("2^3 运算的结果是 :"+(2^3));
    //打印的结果是:   2^3 运算的结果是 :1
}

//2 的二进制 0010，3 的二进制 0011，2^3 就为 0001，结果就是 1

public static void main(String[] args) {
    System.out.println("-2^3 运算的结果是 :"+(-2^3));
    //打印的结果是:   -2^3 运算的结果是 :-3
}

//-2 的二进制补码 1110，3 的二进制 0011，-2^3 就为 0001，结果就是-3

与运算符号是“&”，只要有一个为 0 就为 0，代码举例如下：

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("2&3 运算的结果是 :"+(2&3));
     //打印的结果是:   2&3 运算的结果是 :2
}

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("-2&3 运算的结果是 :"+(-2&3));
     //打印的结果是:   -2&3 运算的结果是 :2
}

或运算符是“|”，只要有一个为 1 就是 1，代码举例如下：

public static void main(String[] args){
    System.out.println("2|3 运算的结果是 ："+(2|3));
    //打印的结果是： 2|3 运算的结果是 ： 3
}

public static void main(String[] args){
    System.out.println("-2|3 运算的结果是 ："+(-2|3));
    //打印的结果是： -2|3 运算的结果是 ： -1
}

非运算符是“~”，就是各位取反，代码举例如下：

public static void main(String[] args){
    System.out.println("~5 运算的结果是 ："+(~5));
    //打印的结果是： ~5 运算的结果是 ： -6
}

public static void main(String[] args){
    System.out.println("~(-5)运算的结果是 ："+(~(-5)));
    //打印的结果是： ~(-5)运算的结果是 ： 4
}

向左位移符号“<<，二进制向左移动 n 位，后面用 0 补齐

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("2<<3 运算的结果是 :"+(2<<3));
     //打印的结果是:   2<<3 运算的意思是，向左移动 3 位，其结果是 :16
}

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("-2<<3 运算的结果是 :"+(-2<<3));
     //打印的结果是:   -2<<3 运算的意思是，向左移动 3 位，其结果是 :-16
}

向右位移符号“>>”，二进制向右移动 n 位，若值为正，则在高位插入 0，若值为负，则在高位插入 1

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("2>>3 运算的结果是 :"+(2>>3));
     //打印的结果是:   2>>3 运算的意思是，向右移动 3 位，其结果是 :0
}

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("-2>>3 运算的结果是 :"+(-2>>3));
     //打印的结果是:   -2>>3 运算的意思是，向右移动 3 位，其结果是 :-1
}

无符号右移符号“>>>”，忽略符号位，空位都以 0 补齐。 “>>>”与“>>”唯一的不同是它无论原来的最左边是什么数，统统都用 0 填充。比如，byte 是 8 位的，-1 表示为 byte 型是 11111111(补码表示法） b>>>4 就是无符号右移 4 位，即 00001111，这样结果就是 15。(小声哔哔，别问我有没有无符号左移，等你真正融会贯通之后，你会发现这是一个很 low 的问题。）

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("16>>2 运算的结果是 :"+((16)>>2));
     //打印的结果是:   16>>2 运算的结果是 :4
}
public static void main(String[] args) {
     System.out.println("-16>>2 运算的结果是 :"+((-16)>>2));
     //打印的结果是:   -16>>2 运算的结果是 :-4
}

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("16>>>2 运算的结果是 :"+((16)>>>2));
     //打印的结果是:   16>>>2 运算的结果是 :4
}

public static void main(String[] args) {
     System.out.println("-16>>>2 运算的结果是 :"+((-16)>>>2));
     //打印的结果是:   -16>>>2 运算的结果是 :1073741820
}

不用乘除算乘除

加法

以 13+9 为例，我们像这样来拆分这个运算过程：

步骤一：不考虑进位，分别对各位数进行相加，结果为存为 sum，个位数 3 加上 9 为 2；十位数 1 加上 0 为 1；最终结果为 12；
步骤二：只考虑进位，结果存为 carry，3 + 9 有进位，进位的值为 10；
步骤三：如果步骤二所得进位结果 carry 不为 0，对步骤一所得 sum 以及步骤二所得 carry，重复步骤一、二、三。如果 carry 为 0 则结束，最终结果为步骤一所得 sum。

这里其实就是对 sum = 12 和 carry = 10 重复以上三个步骤

(a) 不考虑进位，分别对各位数进行相加，sum = 22;
(b) 只考虑进位: 上一步没有进位，所以 carry = 0； (c) 步骤 2carry = 0，结束，结果为 sum = 22.

这是我们在十进制中进行的运算演示，那我们换成二进制看看是不是一样，13 的二进制为 0000 1101，9 的二进制为 0000 1001:

第一步：不考虑进位，分别对各位数进行相加，sum = 0000 1101 + 0000 1001 = 0000 0100
第二步：考虑进位，有两处进位，第 0 位和第 3 位，只考虑进位的结果为： carry = 0001 0010
第三步：carry == 0 ?，不为 0，重复步骤一、二、三；为 0 则结束，结果为 sum。

本例中

不考虑进位 sum = 0001 0110;
只考虑进位 carry = 0;
carry == 0，结束，结果为 sum = 0001 0110

转换成十进制刚好是 22。其实就是三个步骤，用形象的伪代码来理解如下，这次用 3+9 举例。

a = 0011, b = 1001;
    start;

    first loop;
    1.1 sum = 1010
    1.2 carry = 0010
    1.3 carry != 0 , go on;

    second loop;
    2.1 sum = 1000;
    2.2 carry = 0100;
    2.3 carry != 0, go on;

    third loop;
    3.1 sum = 1100;
    3.2 carry = 0000;
    3.3 carry == 0, stop; result = sum;

end

//1、递归形式实现
int add(int a ,int b){
    if (b == 0)
        return a;
    else{
        int carry = (a & b) << 1;
        a = a ^b;
        return add(a,carry);
    }
}

//非递归形式实现
int add2(int a ,int b){
   int carry;
   while (b != 0){
   carry = (a & b) << 1;
       a = a ^b;
       b = carry;
   }
   return a;
}

减法

我们知道了位运算实现加法运算，那减法运算就相对简单一些了。我们实现了加法运算，自然的，我们会想到把减法运算 11 - 6 变形为加法运算 11 + (-6)，即一个正数加上一个负数。是的，很聪明，其实我们的计算机也是这样操作的，那有的人会说为什么计算机不也像加法器一样实现一个减法器呢？对的，这样想当然是合理的，但是考虑到减法比加法来的复杂，实现起来比较困难。为什么呢？我们知道加法运算其实只有两个操作，加、进位，而减法呢，减法会有借位操作，如果当前位不够减那就从高位借位来做减法，这里就会问题了，借位怎么表示呢？加法运算中，进位通过与运算并左移一位实现，而借位就真的不好表示了。所以我们自然的想到将减法运算转变成加法运算。怎么实现呢？

刚刚我们说了减法运算可转变成一个正数加上一个负数，那首先就要来看看负数在计算机中是怎么表示的。

+8 在计算机中表示为二进制的 1000，那-8 怎么表示呢？很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于 0 时就表示正数，等于 1 时就表示负数。比如，在 8 位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8 就是 00001000，而-8 则是 10001000。这只是直观的表示方法，其实计算机是通过 2 的补码来表示负数的，那什么是 2 的补码（同补码，英文是 2’s complement，其实应该翻译为 2 的补码）呢？它是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，求取步骤：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0 变成 1，1 变成 0（即反码）。
第二步，将上一步得到的值（反码）加 1。

简单来说就是取反加一！

int subtraction(int a ,int b){
     b = ~b+1;
     return this.add(a,b);
 }

乘法

考虑我们现实生活中手动求乘积的过程，这种方式同样适用于二进制，下面我以 13*14 为例，向大家演示如何用手动计算的方式求乘数和被乘数绝对值的乘积。

从上图的计算过程可以看出，如果乘数当前位为 1，则取被乘数左移一位的结果加到最终结果中；如果当前位为 0，则取 0 加到乘积中（加 0 也就是什么也不做）

判断乘数是否为 0，为 0 跳转至步骤(4)
将乘数与 1 作与运算，确定末尾位为 1 还是为 0，如果为 1，则相加数为当前被乘数；如果为 0，则相加数为 0；将相加数加到最终结果中；
被乘数左移一位，乘数右移一位；回到步骤(1)
确定符号位，输出结果；

      //a 被乘数，b 乘数
      int multiplication(int a,int b){
          int i = 0;
          int res = 0;
          //乘数不为 0
          while (b != 0){
              //处理当前位
              //当前位是 1
             if ((b & 1) == 1){
                 res += (a << i);
                 b = b >> 1;
                 //记录当前是第几位
                 i++;
             }else {
                 //当前位是 0
                 b = b >> 1;
                 i++;
             }
         }
         return res;
     }

除法

除法运算很容易想到可以转换成减法运算，即不停的用除数去减被除数，直到被除数小于除数时，此时所减的次数就是我们需要的商，而此时的被除数就是余数。这里需要注意的是符号的确定，商的符号和乘法运算中乘积的符号确定一样，即取决于除数和被除数，同号为证，异号为负；余数的符号和被除数一样。计算机是一个二元的世界，所有的 int 型数据都可以用[2^0, 2^1,…,2^31]这样一组基来表示（int 型最高 31 位）。不难想到用除数的 2^31,2^30,…,2^2,2^1,2^0 倍尝试去减被除数，如果减得动，则把相应的倍数加到商中；如果减不动，则依次尝试更小的倍数。这样就可以快速逼近最终的结果。

2 的 i 次方其实就相当于左移 i 位，为什么从 31 位开始呢？因为 int 型数据最大值就是 2^31 啊。

    int division(int a,int b){
          int res;
          if(a<b){
              return 0;
          }else{
              res=division(subtraction(a, b), b)+1;
          }
          return res;
     }

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