作为一名有追求的程序员，对于计算机基础的理论一定要有所了解。最近几年，随着分布式、云计算等技术的发展，函数式编程语言也趋于流行。如果要学习函数式编程，一定要深入理解它背后的理论知识。从收益的角度上讲，这些基础理论知识几十年不变，是十分值得花时间进行学习的。lambda演算(Lambda Calculus)就属于这样一套理论，可以说它在函数式编程领域就如牛顿万有引力定律一样基础。接下来这篇文章我将主要介绍lambda演算的基本知识，最后我还会尝试用es6的箭头函数来演示如何利用lambda演算来实现编程语言中的基本组成要素。

lambda演算是什么？

要了解一个事物，先了解它的历史一定是重中之重。lamda表达式最初是由一个美国普林斯顿大学的数学家Alonzo Church在1932年所发明的。他也是"计算机科学之父"——图灵的博士生导师。

我们都知道现代的计算机基本上都是基于图灵机的。在图灵机中，所有的计算过程其实都是基于状态的，这也是为什么我们平常写代码要声明并使用变量的原因：变量主要作用就是用来存储状态。而Alonzo Church所提出的lamda演算(lamda calcus)模型实际上是基于函数的。图灵机模型和Lambda演算模型虽然是两种不同的理论模型，但它们实际上是等价的，这也意味着，任何基于图灵机的计算机程序都能等价地翻译成基于lambda演算模型的程序。

lambda演算是一套研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它基本的组成部分就是三种表达式: 1. 函数定义 2. 标识符引用 3.函数应用。

那么到底什么是lamda表达式呢，它又是由哪些基本组成要素构成的呢？我们都知道在函数式编程语言里面，最基本的组成单位就是函数。lambda表达式从定义上来讲可以看做是一个匿名的纯函数。ES6中引入了箭头函数，它的本质实际上就是我们这里所说的lambda表达式:

const lambda = x => x + 1;

实际上现在大部分的编程语言都引入了lambda表达式这一特性，如Java, c#和es6等。我们通常将lambda表达式，看作是一个黑盒，只关心它的输入和输出。由于没有内部状态，用函数式编程的思想写代码就与用命令式语言写代码截然不同。作为一个纯函数，每一次运行定义好的lambda表达式的时候，结果都应该是一致的。

在纯粹的lambda演算中实际上是没有任何内置的数据结构和逻辑控制语句的，但是我们可以使用函数来建构整个编程语言的所有要素。

lambda演算中的一些基本规则，可以类比到我们比较熟悉的ES6语法:

	lambda表达式	ES6 箭头函数
定义函数	λx.x	x => x
柯里化 curry	λx. λy.x+y	x => y => x + y
应用 application	(λx. λy.x+y) 5 1	(x => y => x + y) (5) (1)

如何实现

在实现具体的逻辑之前，我们需要明确的一点是：在lambda演算中，lambda表达式本身既可以是操作数也可以是函数，就好像一只鸡(lambda表达式），既可以吃虫子（另一个lambda表达式)，也可以被狐狸(还有一个lambda表达式) 吃（请原谅我这糟糕的类比），它们统称为动物(lambda表达式）。归根结底就是，在这个封闭的概念世界里，只有一类事物，那就是lambda表达式(函数)，我们可以利用这个最基础的概念生成其它的概念和运算逻辑。

在纯粹的函数式编程世界里，没有1,2,3这样的数字也没有+-*/这样的基本运算符，所以这些我们都需要自己手动去实现。

数字

首先作为一门计算机设计语言，数字是关键，所谓”数是万物本源“在计算机世界里简直就是真理。那么我们如何利用lamda表达式来表示数呢？在这里，我们采用函数调用次数来表示自然数，用这样的编码方式表示的自然数也叫邱奇数。

有了理论的指导，我们很容易就能写出下面的代码：

const ZERO = f => x => x;
const ONE = f => x => f(x);
const TWO = f => x => f(f(x));
...

有了数字后，然后还需要再定义一个转换函数，它可以将ZERO和ONE这种函数式定义转成我们所熟悉的数字，方便调试。

const toNumber = n => n(i => i+1)(0);
console.log(toNumber(ONE));
// 1

计算

经过上面的步骤，我们就定义了最基本的数字。有了这些数字，我们应该如何去做一些简单的加减乘除运算呢？既然数字表示的是调用函数次数的多少，那么在这里对于加法运算，我们也可以将它定义成调用函数的次数的相加。例如，要表示1+2等于3这一过程，输入的函数就应该调用三次。

const add = n => m => fn => x => m(fn)(n(fn)(x));

const TWO = add(ONE)(ONE);
const THREE = add(ONE)(TWO);
toNumber(THREE);
// 3

其中n和m表示add操作的两个操作数。

接着我们再来实现乘法，回顾一下大家小时候学习乘法的过程。n * m的一个朴素定义可以表示成： n个m相加。那么在这里，我们需要实现的就是先调用n次函数，将它的结果再调用m次。表示到代码中就像这样:

const multiply = n => m => fn => x => m(n(fn))(x);

const result = toNumber(multiply(TWO)(THREE));
console.log(result);
// 6

至于减法和除法，实现起来相对来说比较复杂，大家如果感兴趣的话，可以参考其他的资料进行学习。

控制语句

接下来我们再进一步考虑一下如何实现条件分支语句。条件分支语句中一个很重要的元素就是布尔值，先来定义TRUE和FALSE这两个基本的布尔值类型:

const TRUE = first => second => first;
const FALSE = first => second => second;

它表示的是从两个事物中选择其中一个事物，TRUE表示选择的第一个，而FALSE与之相反，选择的是第二个。

定义好基本的布尔值类型，再实现条件分支语句就很简单了：

const ifElse = boolFn => first => second => boolFn(first)(second);
// ifElse(TRUE)(x)(y) ===> x
// ifElse(FALSE)(x)(y) ===> y

再增加一个转换函数：

const toBoolean = boolFn => boolFn(true)(false);

console.log(toBoolean(TRUE));
// true

大功告成，Bingo!

逻辑

利用上述定义的布尔值，推导出三大逻辑运算：与（and)、或（or)、非（not)就顺理成章了。反转逻辑最简单，只要将上面定义条件分支语句的逻辑反过来就可以了。这与布尔值的定义也是强联系，如果说TRUE表示的是选择第一个分支条件，那么not就要反转这种逻辑:

const not = boolFn => first => second => boolFn(second)(first);
toBoolean(not(TRUE));
// false

至于或运算符，实质上应该是个带有两个操作数的运算，所以我们需要定义个高阶函数，需要调用两次，每次接收一个操作数。根据之前的定义，我们知道TRUE会返回第一个变量，FALSE会返回第二个变量。而或运算(or)的意思是只要两个操作数中有一个TRUE，就返回TRUE。那么我们只要使变量应用的顺序和调用顺序一致，就能保证当TRUE作为第一个参数时，正好应用到TRUE函数上, 当FALSE作为第一个参数时，函数返回第二个参数的值。

const or = first => second => first(first)(second);
toBoolean(or(TRUE)(FALSE)); // true
toBoolean(or(FALSE)(FALSE)); // false
toBoolean(or(TRUE)(FALSE)) // true

与操作与或操作相似，我们要保证当两个操作数都是TRUE的时候才会返回TRUE。将上面的实现逻辑反转一下，就能得到下面的代码：

const and = first => second => first(second)(first);
toBoolean(and(FALSE)(FALSE)); // false
toBoolean(and(FALSE)(TRUE)); // false
toBoolean(and(TRUE)(TRUE)); // true

这块逻辑可能比较绕，大家可以用心体会一下。

递归(Y组合子)

我们先从一个最简单的递归定义说起，下面这个故事想必大家都有听说过:

从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚和小和尚，有一天老和尚对小和尚讲故事，讲的什么故事呢？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚和小和尚…

这样一个不停的引用自身的概念，其实就是递归的简单定义。

有了递归的定义后，我们再来深入思考一下，如何用lambda表达式来实现递归的基本逻辑。

这里我举一个简单的斐波那契数列的例子(1, 2, 6, 24…)，如果语言中已经支持递归，很容易可以写出这样的代码：

const factrial => n => n == 0 ? 1 : n * factrial(n - 1);

如果语言中不支持递归，那么在lambda表达式中，我们并不能直接利用factorial这个名字来引用其自身。

不过可以换个思路，既然不能在函数声明里面使用未定义的函数名，那么我们可以将这个函数定义以参数的形式传进去：

const makeFactorial = factroial => n => n == 0 ? 1 : n * factroial(n - 1);

有了一个makeFactorial后，怎么使用呢? 假设，现在已经有了一个seed函数：

const seed = n => n;

它其实啥都没干，不过我们可以利用seed函数生成factorial0：

const factorial0 = makeFactorial(seed)

很容易知道，factorial0函数展开后是这样的:

const factorial0 = n => n == 0 ? 1 : n * (n => n)(n - 1);

我们知道这个函数在参数n等于0的时候结果是对的，而n等于其它数值的时候结果是0，显然不正确。不过，别着急，我们可以利用factorial0进一步构造factorial1：

const factorial1 = makeFactorial(factorial0)

它展开后:

const factorial1 = n => n == 0 ? 1 : n * factorial0(n - 1);

这个函数在n等于1的时候结果等于 1 * factorial0(0), 已知n 等于 0 时候，factorial0的结果是正确的，所以factorial1在n 等于0 和 n等于1的时候也都能正常工作。

同样的原理，我们可以继续构造出factorail2, factorial3, factorial4….

所以可以归纳出通用的factorial函数定义应该是长这个样子的：

const factorialn = makeFactorial(makeFactorial(...)); // 无穷个makeFactorial

到这里，我们进一步思考🤔，有没有什么办法能让这个makeFactorial函数不停递归下去呢？

我们先定义一个基本循环函数:

const loop = x => x(x);

这样当我用这个函数调用makeFactorial的时候，就会调用makeFactorial(makeFactorial)，不过这样的定义好像缺少动力。要让它不停循环下去，我们可以让它再自身调用一次：

const loop = (x => x(x))(x => x(x))

可以看到当你将x = x => x(x)代入到loop函数后，展开结果如下:

const loop = (x => x(x))(x => x(x))

是不是又回到之前的定义了？

不过这样一个函数在javascript中使用是不行的，因为在javascript中参数是计算完后再传入到函数中去的，所以我们要延迟参数的计算，将代码改成如下:

const loop = (x => x(x))(y => x(x)(y))

引入参数y后，只有最终展开到最后一层的时候，才会开始计算值，这也是延迟计算的思想。

有了这个loop函数后，我们最终的factorial函数就很容易构造了：

const factorial = loop(makeFactorial);

我们在控制台试一下效果:

factorial(4) = 24

实际上上面定义的那个loop函数，它就叫做Y组合子（Y combinator)。这也是在lambda演算中非常著名的一个概念，它是在不支持递归的编程语言中实现递归的关键，也是学习lambda演算理论的一个难点。要彻底理解它可能还需要多花点时间思考。

总结

至此，我们已经实现了数据，计算，逻辑和控制语句还有最重要的递归。这几个部分其实是编程语言中最核心的组成部分。从一个基本的组成元素——函数，再通过几个法则，就可以构建成整个计算机编程语言的核心要素，这就是lambda演算的神奇之处。

当然，整个lambda演算的理论要彻底理解肯定是不那么容易的，这篇文章也只是个人学习后的一些思路梳理，难免有所错漏。大家如果在阅读过程中，发现有不对的地方，欢迎交流指正。

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参考资料

http://cgnail.github.io/academic/lambda-1/

http://mindhacks.cn/2006/10/15/cantor-godel-turing-an-eternal-golden-diagonal/

https://mvanier.livejournal.com/2897.html

https://zh.wikipedia.org/wiki/邱奇数?wprov=sfla1

https://zh.wikipedia.org/wiki/不动点组合子?wprov=sfla1

https://zh.wikipedia.org/wiki/不动点?wprov=sfla1