一些相关的数学概念

在理解RSA算法之前，我们必须理解一些相关的数学概念。

质数及互质

质数(Prime number)又称素数,指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数。

如果两个或两个以上的整数的最大公约数是 1，则称它们为互质(也叫互素)。两个整数 a 与 b 互质，记为 a ⊥ b。

互质的两个数，有如下性质

整数a和b互质当且仅当存在整数x,y使得xa+yb=1。

也就是说，如果a、b互质，那么xa+yb=1必然有解。如果xa+yb=1有解，则a、b必然互质；如果xa+yb=1无解，则a、b必然不是互质。

这个性质涉及扩展欧几里德算法，我们后面会提到。

互质的判别方法主要有：

两个不同的质数一定互质。例如，2与7、13与19。
较大的数是质数，则两数互质。如33与51
一个素数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。例如，3与10、5与 26。
相邻两个自然数互质。即，如果p是大于1整数，则p与p-1、p+1互质。如15与16、14互质
相邻两个奇数互质。如19与21、17互质

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法，可以用于我们后面说的模反元素的计算，及一些性质的证明。

欧几里得算法

欧几里得算法，又叫辗转相除法，是求最大公约数的一种算法。

假设

a = q*b + r

其中a、b、q、r都是整数，gcd为计算公约数函数，则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

即

gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

这样，我们就可以以log(n)的时间复杂度求解a、b的最大公约数。用swift实现为：

func gcd(a:Int,b:Int)->Int{
    return b == 0 ? a : gcd(a:b, b:a%b)
}

扩展欧几里得算法

而扩展欧几里德算法基本过程如下：

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得

a*x + b*y = gcd(a，b)

如果x0、y0是上述二元一次不定方程的解，那么该方程的通解为：

x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t

扩展欧几里得算法的计算过程

如果已知任意整数a、b，求未知数x、y，使得：

a*x + b*y = gcd(a，b)

用swift实现为：

static func gcdEx(a:Int,b:Int,x:inout Int,y:inout Int)->Int{
    if b == 0 { // 递归直到 b == 0
        x = 1
        y = 0
        return a
    }else{
        let r = gcdEx(a:b, b:a % b, x: &x, y: &y)
        let t = x
        x = y
        y = t - a/b * y
        return r
    }
}

计算过程，大致如下：

每次取a=b，b=a%b，进行相同欧几里得扩展算法，然后压栈。此时不知道x、y，所以x、y还是初始值
当碰到一个特例b=0时，因为0与任何数的公约数是该数本身。即，当b=0时，a * 1 + 0 * 0 = a，也就是说x=1，y=0。
得到x=1、y=0之后，依次出栈。如果栈顶的解为x1、y1，栈下面的一个解（前一个解）为x0、y0，那么两组解有如下关系：

x0  = y1
y0  = x1 - (a0/b0) * y1

最后栈低出栈，得到原始的a、b的解：x、y

对与两组解的关系，简单证明如下：

对整数a0、b0，存在x0、y0使得：

a0 * x0 + b0 * y0 = gcd(a0,b0) (等式一)

我们令

a1 = b0   (等式二)
b1 = a0%b0  (等式三)

对整数a1、b1，存在x1、y1使得：

a1 * x1 + b1 * y1 = gcd(a1,b1) (等式四)

在计算机中，有

a0 % b0 = a0 - (a0/b0) * b0 (等式五）

由欧几里得算法有：

gcd(a0,b0) = gcd(b0,a0%b0)   (等式六)

联立上面六个等式得：

x0  = y1
y0  = x1 - (a0/b0) * y1

欧拉函数

欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler' totient function )：用φ(n)表示，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

例如小于8的数中，与8互质的有1、3、5、7，一共4个，那么φ(8)=4。

欧拉函数的一些定理

当n为1时，φ(1)=1。
当n为质数时，φ(n)=n-1。因为，两个数中较大一个数是质数，则两个数互质。那么质数n与所有小于自己的数互质。而小于n的正整数有n-1个
如果整数m、n互质，则 φ(m*n)=φ(m)*φ(n);也就是说欧拉函数是积性函数
当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
如果n是质数p的k次幂，则φ(n)=φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数的计算

将n表示为若干质数的乘积

n = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 ... * pn^kn

其中p1、p2、p3...pn是都是质数

则欧拉函数通式为：

φ(n)=n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * (1-1/p3) ... * (1-1/pn)

由上式，我们可以实现一个求欧拉函数的方法：

static func euler(n:Int)->Int{
    var n  = n
    var i  = 2
    var result  = Double(n)
    while i*i <=  n {
        if n % i == 0 { // 如果i是n的因子
            result = result * (1.0 - 1.0 / Double(i))
            while n % i == 0 { // 除去n所有i因子
                n /= i
            }
            print("i=\(i) n=\(n) reuslt=\(result)")
        }
        i += 1
    }
    // 处理最后一个质因子
    result = result * (1 - 1 / Double(n))
    return Int(result)
}

该函数的时间复杂度为O(sqrt(n))

需要注意的是：

计算欧拉函数的核心是找到n所有的质因子，也就是对n进行因数分解
由于任何一个合数，它大于sqrt(n)的质因素最多只有一个。我们在函数末尾已经处理了最后一个质因子。所以只需遍历到sqrt(n)即可。

模反元素

模运算

模运算，又称取模、模除，它用mod表示，也就是求余数运算。在程序里通常表示为%运算符。譬如：

17 mod 5 = 17 % 5 = 2

单位元素

单位元素的定义是：任意一个元素和单位元素做了某种二元运算之后，得到的结果等于原本那个元素。

譬如加法的单位元素是0，任何数n与0进行加法运算后，得到的还是n

依此，我么知道乘法的单位元素是1，矩阵乘法的单位元素是单位方阵

反元素

如果一个元素x和另一个元素y做某种运算f，得到的结果是该运算f的单位元素，那么y就是x在这种情况下的反元素。

譬如，3的加分反元素是-3，因为 3+（-3）= 0

3的乘法反元素是1/3，因为 3 * 1/3 = 1

模反元素

模反元素也叫模逆元。

按照上面我们说的反元素，它应该是在模运算下的反元素。而模运算的单位元素是1，即任意数n有n%1=n。那么如果整数a的模反元素是b，则有：

a % b = 1  <=>  a ≡ 1 (mod b)

而实际上，模反元素除了模运算之后还有乘法运算，描述的是三个数之前的关系。

，或者可以说是在模运算下的乘法反元素

如果一个整数a对模数(同余数)n的模反元素是b，则有

a * b = 1 (mod n)

也就是说，如果a、b的乘积，对n取模的余数是1，即

(a * b) % n = 1

则，b是整数a对同余数n的模反元素。

譬如，在同余数为n=5时，整数a=3的模反元素是b=2，因为(3*2)%5=1

必然存在系数k，使得：

a * b - k*n + 1

这相当于一个二元一次方程：

a * x +  n * y = 1

模反元素的性质

整数 a 对模数 n 之模逆元存在的充分必要条件是 a 和 n 互质

也就是说，如果a 和 n 互质，那么整数 a 对模数 n 的模反元素必然存在。反之，如果a、n最大公约数不是1，那么模反元素必然不存在。

简单证明一下：

如果a对模数n的模反元素为x，根据上一节我们推出的二元一次方程，有

a * x + n * y = 1   (等式一)

根据欧几里得扩展算法有：

a * x + n * y = gcd(a,n)  (等式二)

如果a、n互质，则gcd(a,n)=1，那么我们前面的到的二元一次方程必然是有解的，模反元素d存在。

如果gcd(a,n) != 1，等式一和二是矛盾的，等式一无解。

模反元素的计算

根据上面的推倒，我们可以得到一个二元一次方程：

a * d + (-k) * n = 1

对于这个二元一次方程，我们可以用扩展欧几里得算法求解。

func gcdEx(a:Int,b:Int,x:inout Int,y:inout Int)->Int{
    if b == 0 {
        x = 1
        y = 0
        return a
    }else{
        // r = GCD(a,b) = GCD(b,a%b)
        // 递归直到a % b == 0
        let r = gcdEx(a:b, b:a % b, x: &x, y: &y)
        let t = x
        x = y
        y = t - a/b * y
        return r
    }
}

则，求整数a对于模数n的模反元素d，即a*d + (-k)*n = 1的解，有

static func modularInverse(a:Int,n:Int,d:inout Int,k:inout Int){
    var x : Int = 0
    var y : Int = 0
    _  = gcdEx(a: Int(a), b:Int(n), x: &x, y: &y)
    d  = x
    k  = -y
}

需要注意的是，这样计算的到的模反元素d有可能是负数，而我们期望的是在整数范围取值。也就是说，我们期望d和k都是大于0的。即x=d=>0、y=-k<=0

而二元一次不定方程的解，不止一个，我们可以根据通解：

x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t

找到满足我们预期的最小的一组解，则求a对于同余数n的模反元素

static func modularInverse(a:UInt,n:UInt)->UInt{
    var x : Int = 0
    var y : Int = 0
    _ = gcdEx(a: Int(a), b:Int(n), x: &x, y: &y)
    if x < 0  || y > 0{
        let t0 = ceil((0 - Float(x)) / Float(n))
        let t1 = ceil((0 - Float(y)) / Float(a))
        let t  = Int(max(t0, t1))
        x = x + Int(n) * t
        y = y - Int(a) * t
    }
    let d  = UInt(x)
    let k  = UInt(-y)
    print("modular inverse a=\(a) n=\(n) d=\(d) k=\(k)")
    return d
}

欧拉定理

欧拉定理，也称费马-欧拉定理，是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n、a为正整数，且n与a互质，则：

a ^ φ(n) = 1 (mod n)

即：

a ^ φ(n) % n = 1

也就是说a的φ(n)次方，对n取模得到余数是1.

由欧拉定理有：

a * a ^ (φ(n) - 1) = 1

也就是说，如果整数a、n互质，那么必然存在a对于模数n的模反元素d

d = a ^ (φ(n) - 1)

费马小定理

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况。也就是当模数n为质数的情况，此时：

φ(n) = n - 1

则

a ^ (n-1) = 1 (mod n)

密钥的生成

1、随机选择两个不相等的大质数p、q。假设我们取

p=61，q=53

2、计算p和q的乘积n；n的二进制长度是密钥长度，一般是1024位，重要场合位2048位

n = p * q = 61 * 53 = 3233

3、计算n的欧拉函数φ(n)。

欧拉函数φ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

一个数的欧拉函数，等于其各个因子的欧拉函数之积，即

φ(n) = φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。所以

φ(p) = p - 1
φ(q) = q - 1

则：

φ(n) = φ(p*q) = φ(p) * φ(q) = (p-1)(q-1) = 60 * 52 = 3120

4、随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。假设我们选择了17，即e=17。（实际应用中，常常选择65537。）
5、计算e对于φ(n)的模反元素d。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

即

17 * d ≡ 1 (mod 3120)  <=> 17 * d - k * 3120 = 1

用"扩展欧几里得算法"求解，用我们上面的函数modularInverse(a:n:)计算，最后得到d=2753、k=15

6、将(e,n)封装成公钥，(d,n)封装成私钥，即公钥(17, 3233)，私钥(2753,3233)

加密算法

用公钥(e,n)对明文M进行加密，得到密文C

C = M^e mod n

如果假设M=65，之前我们得到的公钥是(17,3233)，则：

C = 65^17 % 3233  = 2790

需要注意的是：

1、明文M必须是整数。而使用中M经常是字符串，我们需要转化为相应的ascii值或unicode值，即转化为Data类型进行运算。
2、M必须小于n。如果M大于n，我们需要分块进行运算。即如果n是1024位，如果M大于1024位，需要切分成若干小于1024位的块。而后面我们会说到Padding，每块还需要减去Padding的大小。

解密算法

用私钥解密密文C，得到明文M

M = C^d mod n

即：

M = 2790 ^ 2753 % 3233 = 65

签名算法

用私钥(d,n)对信息M进行签名，得到签名S

S = M^d mod n

相当于用私钥对信息进行加密

验证签名算法

验证算法，先用公钥(e,n)对签名S进行下列运算得到M'

M' = S^d mod n

相当于用公钥对签名进行解密

然后对比M和M'，如果相等则验证成功

算法的简单证明

那么，如何保证用用私钥解密出来的数就是原来的明文呢。

根据加密规则

C ≡ M^e mod n (等式一)

即：

M^e % n = C

可以写成：

M^e - kn = C  (等式二)

将上式带入解密算法：

M ≡ C^d mod n  (等式三)

有

M ≡ (M1^e - kn)^d mod n

则：

M^(ed) -k^dn^d - k2*n = M

化简得

M^(ed) - (k^dn^(d-1) - k2)*n = M

相当于

M^(ed) - k3*n = M

也就是求：

M^(ed) ≡ M (mod n)  (等式四)

密钥生成时有：

ed ≡ 1 (mod φ(n))  (等式五)

则

ed = hφ(n) + 1   (等式六)

将上式带入等式四，有

M^(hφ(n) + 1) =  M (mod n) (等式七)

化简得

M^hφ(n)  = 1 (mod n) (等式八)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

######（1）m与n互质。

因为m与n互质，根据欧拉定理有：

M^φ(n) ≡ 1 (mod n) (等式九)

联立等式八、等式九，有

hφ(n) = φ(n)

当h=1时，等式成立，原式得到证明。

######（2）m与n不是互质关系。

因为M与n不是互质关系，所以M与n必然有大于一得公约数。而n的是质数p与q的乘积，所以n因数只有p、q。那么M与n的p、q之一必然是M与n的公约数。则 M=kp和M=kq，必然有一个成立。

如果M同时是p、q的倍数，那么M=ln>=n，与RSA加密对明文的要求M<n互斥。所以M对于p、q，肯定是一个的倍数，与另一个互质。

假设M是p的倍数，与q互质，则有

M = kp  (等式十)

因为M、q互质，由欧拉定理有

M^(φ(q) = 1 (mod q) (等式十一)

则：

M^(φ(q) = 1 + l*q

两边同时取h次幂，有

(M^(φ(q))^h = (1 + l*q)^h (等式十二)

因为对(1 + l*q)^h拆分之后，只有第一项1不含n，所以

(1 + l*q)^h % q = 1

即

(1 + l*q)^h = 1 (mod q)  (等式十三)

联立等式十二、十三，有

(M^(φ(q))^h = 1 (mod q)  (等式十四)

令h=j(p-1)，并将M=kp、(φ(q)=q-1带入(等式十四)，有

((kp)^(q-1))^(j(p-1)) ≡ 1 mod q (等式十五)

将φ(n)=(p-1)(q-1)带入上式,有

kp^jφ(n) ≡ 1 mod q => kp^(jφ(n) + 1)  ≡ kp (mod q)

有上面的等式六，有jφ(n) + 1 = ed，带入上式，得

kp^ed = kp (mod q)

则

kp^ed   = tq + kp  (等式十六)

两边同时对p取模，

kp^ed % p  = tq % p + kp % p

得

tq % p = 0

因为p、q互质，所以t必然是p的倍数，即

t = rq

带入等式十六

kp^ed   = rpq + kp

因为M=kp、 n=pq，所以：

M^ed = rn + M => M^ed ≡ M (mod n)

在生成密钥时

ed ≡ 1(modφ(n)) => ed=hφ(n)+1

则

M^(hφ(n)+1) ≡ M (mod n)

则

M^hφ(n)  ≡  1 (mod n)

最后证明等式八成立，原式得以证明。

算法的安全性

(n,e)作为公钥，是可以通过网络公开传播的。最主要是保证私钥(n,d)的安全性。而n是在公钥和私钥中都存在的，那么d就最为关键了。

算法的安全性取决于由(n,e)计算出d的难度。而e我们已经知道，只要求出(n)，就能得到d。

前面我们给出了求φ(n)的一种算法，属于暴力破解，它的时间复杂度为O(sqr(n))。看似很简单，也很快，但是n每增加一位时间复杂度会指数增长，想象一下当n达到1024位时，需要的算力是多么恐怖。

而对极大数进行质因数分解，至今还是世界级难题。

即便是超级计算机，也很难有效对两个质数相乘得到的合数进行质因数分解，所以这样的原理可以用于加密算法。

当合数所有的因子都很大时，采用强力方式得到具体的因子是很困难的，而这也正是 RSA体制理论的核心。

截止2000年，RSA模数分解的最大位数是768位。

截至目前，分解 1024 bit 以上的 RSA number 仍然是一项耗资巨大的工程难题，大整数分解问题仍然被认为是困难的。

所以，目前来说普通应该场景采用1024位的是相对安全的，一些比较机密的场景需要采用2048位。

我们可以在苹果的钥匙串中看到，大部分RSA整数基本都已经是2018。而通常我们应用时大多采用1024位就够了。位数越多加解密消耗的性能越高。

参考资料