你可做过这几道题？

在面试的准备过程中，刷算法题算是必修课，当然我也不例外。某天，我刷到了一道神奇的题目：

# 136. 只出现一次的数字
给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

示例 1:
输入: [2,2,1]
输出: 1

示例 2:
输入: [4,1,2,1,2]
输出: 4

我不禁眉头一皱，心说，这还不简单，三下五除二写下如下代码：

  /**
   * HashMap
   *
   * @param nums 数组
   * @return 结果
   */
  public int solution(int[] nums) {
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    for (int num : nums) {
      if (map.containsKey(num)) {
        map.remove(num);
      } else {
        map.put(num, 1);
      }
    }
    return map.entrySet().iterator().next().getKey();
  }

接着，我看到了另外一道题目：

# 137. 只出现一次的数字 II
给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。

说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

示例 1:
输入: [2,2,3,2]
输出: 3

示例 2:
输入: [0,1,0,1,0,1,99]
输出: 99

我不禁眉头又一皱，心说，好像是同样的套路，便写下了如下代码：

  /**
   * 使用Map，存储key以及出现次数
   *
   * @param nums 数组
   * @return 出现一次的数字
   */
  public int singleNumber(int[] nums) {
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    for (int num : nums) {
      if (map.containsKey(num)) {
        map.put(num, map.get(num) + 1);
      } else {
        map.put(num, 1);
      }
    }
    for (Integer key : map.keySet()) {
      if (map.get(key) == 1) {
        return key;
      }
    }
    return 0;
  }

然后，就出现了终极题目：

# 260. 只出现一次的数字 III
给定一个整数数组 nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。

示例 :
输入: [1,2,1,3,2,5]
输出: [3,5]

注意：
1. 结果输出的顺序并不重要，对于上面的例子， [5, 3] 也是正确答案。
2. 你的算法应该具有线性时间复杂度。你能否仅使用常数空间复杂度来实现？

我不禁又皱了一下眉头，心说，嗯……接着便写下如下代码：

  /**
   * 使用Map，存储key以及出现次数
   *
   * @param nums 数组
   * @return 出现一次的数字的数组
   */
  public int[] singleNumber(int[] nums) {
    int[] result = new int[2];
    Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    for (int num : nums) {
      if (map.containsKey(num)) {
        map.put(num, map.get(num) + 1);
      } else {
        map.put(num, 1);
      }
    }
    int i = 0;
    for (Integer key : map.keySet()) {
      if (map.get(key) == 1) {
        result[i] = key;
        i++;
      }
    }
    return result;
  }

用几乎同一种思路做了三道题，不得不夸一下自己：

做完这三道题目，提交了答案之后，执行用时和内存消耗都只超过了 10% 的解题者。不由得眉头紧锁（终于知道自己为啥抬头纹这么深了），发现事情并没有这么简单……

之后我又找了一下其他解法，如下：

  /**
   * #136 根据题目描述，由于加上了时间复杂度必须是 O(n) ，并且空间复杂度为 O(1) 的条件，因此不能用排序方法，也不能使用 map 数据结构。答案是使用 位操作Bit Operation 来解此题。
   * 将所有元素做异或运算，即a[1] ⊕ a[2] ⊕ a[3] ⊕ …⊕ a[n]，所得的结果就是那个只出现一次的数字，时间复杂度为O(n)。
   * 根据异或的性质 任何一个数字异或它自己都等于 0
   *
   * @param nums 数组
   * @return 结果
   */
  private int solution(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int num : nums) {
      res ^= num;
    }
    return res;
  }

  /**
   * #137 嗯……这个我们下面再做详解
   * 这里使用了异或、与、取反这些运算
   *
   * @param nums 数组
   * @return 出现一次的数字
   */
  public int singleNumber2(int[] nums) {
    int a = 0, b = 0;
    int mask;
    for (int num : nums) {
      b ^= a & num;
      a ^= num;
      mask = ~(a & b);
      a &= mask;
      b &= mask;
    }
    return a;
  }

  /**
   * #260 在这里把所有元素都异或，那么得到的结果就是那两个只出现一次的元素异或的结果。
   * 然后，因为这两个只出现一次的元素一定是不相同的，所以这两个元素的二进制形式肯定至少有某一位是不同的，即一个为 0 ，另一个为 1 ，现在需要找到这一位。
   * 根据异或的性质 任何一个数字异或它自己都等于 0 ，得到这个数字二进制形式中任意一个为 1 的位都是我们要找的那一位。
   * 再然后，以这一位是 1 还是 0 为标准，将数组的 n 个元素分成两部分。
   * 1. 将这一位为 0 的所有元素做异或，得出的数就是只出现一次的数中的一个
   * 2. 将这一位为 1 的所有元素做异或，得出的数就是只出现一次的数中的另一个。
   * 这样就解出题目。忽略寻找不同位的过程，总共遍历数组两次，时间复杂度为O(n)。
   * 
   * 使用位运算
   *
   * @param nums 数组
   * @return 只出现一次数字的数组
   */
  public int[] singleNumber2(int[] nums) {
    int diff = 0;
    for (int num : nums) {
      diff ^= num;
    }
    // 得到最低的有效位，即两个数不同的那一位
    diff &= -diff;
    int[] result = new int[2];
    for (int num : nums) {
      if ((num & diff) == 0) {
        result[0] ^= num;
      } else {
        result[1] ^= num;
      }
    }
    return result;
  }

看完上面的解法，我脑海中只有问号的存在，啥意思啊？！

下面就让我们简单了解一下位运算并解析一下这三道题目。

简单介绍一下位运算

1. 异或运算（^）

异或逻辑的关系是：当AB不同时，输出P=1；当AB相同时，输出P=0。“⊕”是异或数学运算符号，异或逻辑也是与或非逻辑的组合，其逻辑表达式为：P=A⊕B。在计算机语言中，异或的符号为“ ^ ”。

异或运算 A ⊕ B 的真值表如下：

A	B	⊕
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	F

所以我们从 #136 题解中了解，通过异或运算，两个相同的元素结果为 0，而 任何数 与 0 进行异或操作，结果都为其本身。

2. 与操作（&）

“与”运算是计算机中一种基本的逻辑运算方式，符号表示为 “&”，参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。运算规则：0&0=0；0&1=0；1&0=0；1&1=1；即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0。另，负数按补码形式参加按位与运算。

与运算 A & B 的真值表如下：

A	B	&
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

“与运算”的特殊用途：

清零。如果想将一个单元清零，即使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。
取一个数的指定位

方法：找一个数，对应X要取的位，该数的对应位为1，其余位为零，此数与X进行“与运算”可以得到X中的指定位。例：设 X=10101110，取X的低4位，用 X & 0000 1111 = 0000 1110 即可得到；还可用来取 X 的2、4、6位。

3. 或操作（|）

参加运算的两个对象，按二进制位进行“或”运算。运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；即：参加运算的两个对象只要有一个为1，其值为1。另，负数按补码形式参加按位或运算。

或运算 A | B 的真值表如下：

A	B	\|
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	T

或运算”特殊作用：

常用来对一个数据的某些位置1。

方法：找到一个数，对应X要置1的位，该数的对应位为1，其余位为零。此数与X相或可使X中的某些位置1。

例：将 X=10100000 的低4位置为1 ，用 X | 0000 1111 = 1010 1111 即可得到。

4. 取反操作（~）

参加运算的一个数据，按二进制位进行“取反”运算。运算规则：~1=0； ~0=1；即：对一个二进制数按位取反，即将0变1，1变0。

使一个数的最低位为零，可以表示为：a&~1。~1 的值为 1111111111111110，再按“与”运算，最低位一定为0。因为“~”运算符的优先级比算术运算符、关系运算符、逻辑运算符和其他运算符都高。

OK，截止到这儿，三道题目中使用的位运算介绍完毕，那么这里我们插入一下 #137 的详细题解。

public int singleNumber2(int[] nums) {
    // 这里我们改一下变量名
    // 用 one 记录到当前处理的元素为止，二进制1出现“1次”（mod 3 之后的 1）的有哪些二进制位；
    // 用 two 记录到当前计算的变量为止，二进制1出现“2次”（mod 3 之后的 2）的有哪些二进制位。
    int one = 0, two = 0;
    int mask;
    for (int num : nums) {
      // 由于 two 要考虑，one 的已有状态，和当前是否继续出现。所以要先算
      two ^= one & num;
      // one 就是一个0,1的二值位，在两个状态间转换
      one ^= num;
      // 当 one 和 two 中的某一位同时为1时表示该二进制位上1出现了3次，此时需要清零。
      mask = ~(one & two);
      // 清零操作
      one &= mask;
      two &= mask;
    }
    // 即用 二进制 模拟 三进制 运算。最终 one 记录的是最终结果。
    return one;
  }

首先考虑一个相对简单的问题，加入输入数组里面只有 0 和 1，我们要统计 1 出现的次数，当遇到 1 就次数加 1，遇到 0 就不变，当次数达到 k 时，统计次数又回归到 0。我们可以用 m 位来做这个计数工作，即 x_m, x_m−1, …, x₁，只需要确保 2^m > k 即可，接下来我们要考虑的问题就是，在每一次check元素的时候，做什么操作可以满足上述的条件。在开始计数之前，每一个计数位都初始化位0，然后遍历nums，直到遇到第一个1，此时 x₁ 会变成1，继续遍历，直到遇到第二个1，此时 x₁=0, x₂=1，直到这里应该可以看出规律了。每遇到一个1，对于 x_m, x_m−1, …, x₁，只有之前的所有位都为1的时候才需要改变自己的值，如果本来是1，就变成0，本来是0，就变成1 ，如果遇到的是0，就保持不变。搞清楚了这个逻辑，写出表达式就不难了。这里以 m = 3 为例给出 java 代码：

for(int num: nums) {
    x3 ^= x2 & x1 & num;
    x2 ^= x1 & num;
    x1 ^= num;
    // other operations
}

但是到这里还没有解决当 1 的次数到 k 时，计数值要重新返回到 0，也就是所有计数位都变成 0 这个问题。解决办法也是比较巧妙。

假设我们有一个标志变量，只有当计数值到 k 的时候这个标志变量才为 0，其余情况下都是 1，然后每一次check元素的时候都对每个计数位和标志变量做与操作，那么如果标志变量为 0，也就是计数值为 k 的时候，所有位都会变成 0，反之，所有位都会保持不变，那么我们的目的也就达到了。

好，最后一个问题是怎么计算标志变量的值。将 k 转变为二进制，只有计数值达到 k，所有计数位才会和 k 的二进制一样，所以只需要将 k 的二进制位做 与操作 ，如果某个位为 0，就与该位取反之后的值做与操作。

以 k=3, m=2 为例，简要的 java 代码如下：

// where yj = xj if kj = 1, 
// and yj = ~xj if kj = 0, 
// k1, k2是 k 的二进制表示(j = 1 to 2). 
mask = ~(y1 & y2); 
x2 &= mask;
x1 &= mask;

将这两部分合起来就是解决这个问题的完整算法了。

5. 左移运算符（<<）

将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。

例：a = a<< 2将a的二进制位左移2位，右补0，左移1位后a = a *2;

若左移时舍弃的高位不包含1，则每左移一位，相当于该数乘以2。

代码示例，本代码中的整数为32位整数，所以为负数的话，二进制表示其长度为32：

    /**
     * << 表示左移，如果该数为正，则低位补0，若为负数，则低位补1。如：5<<2的意思为5的二进制位往左挪两位，右边补0，5的二进制位是0000 0101 ， 就是把有效值101往左挪两位就是0001 0100
     */
    @Test
    public void leftShiftTest() {
        int number1 = 5;
        System.out.println("左移前的十进制数为：" + number1);
        System.out.println("左移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number1));
        int number2 = number1 << 2;
        System.out.println("左移后的十进制数为：" + number2);
        System.out.println("左移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number2));
        System.out.println();
        int number3 = -5;
        System.out.println("左移前的十进制数为：" + number3);
        System.out.println("左移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number3));
        int number4 = number3 << 2;
        System.out.println("左移后的十进制数为：" + number4);
        System.out.println("左移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number4));
    }

结果如下：

左移前的十进制数为：5
左移前的二进制数为：101
左移后的十进制数为：20
左移后的二进制数为：10100

左移前的十进制数为：-5
左移前的二进制数为：11111111111111111111111111111011
左移后的十进制数为：-20
左移后的二进制数为：11111111111111111111111111101100

6. 右移运算符（>>）

>> 表示右移，表示将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。操作数每右移一位，相当于该数除以2。

>>> 表示无符号右移，也叫逻辑右移，即若该数为正，则高位补0，而若该数为负数，则右移后高位同样补0。

例如：a = a >> 2 将a的二进制位右移2位，左补0 or 补1得看被移数是正还是负。

代码示例，本代码中的整数为32位整数，所以为负数的话，二进制表示其长度为32：

    @Test
    public void rightShift() {
        int number1 = 10;
        System.out.println("右移前的十进制数为：" + number1);
        System.out.println("右移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number1));
        int number2 = number1 >> 2;
        System.out.println("右移后的十进制数为：" + number2);
        System.out.println("右移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number2));
        System.out.println();
        int number3 = -10;
        System.out.println("右移前的十进制数为：" + number3);
        System.out.println("右移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number3));
        int number4 = number3 >> 2;
        System.out.println("右移后的十进制数为：" + number4);
        System.out.println("右移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(number4));

        System.out.println("***********************逻辑右移**********************");

        int a = 15;
        System.out.println("逻辑右移前的十进制数为：" + a);
        System.out.println("逻辑右移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(a));
        int b = a >>> 2;
        System.out.println("逻辑右移后的十进制数为：" + b);
        System.out.println("逻辑右移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(b));
        System.out.println();
        int c = -15;
        System.out.println("逻辑右移前的十进制数为：" + c);
        System.out.println("逻辑右移前的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(c));
        int d = c >>> 2;
        System.out.println("逻辑右移后的十进制数为：" + d);
        System.out.println("逻辑右移后的二进制数为：" + Integer.toBinaryString(d));
    }

结果如下：

右移前的十进制数为：10
右移前的二进制数为：1010
右移后的十进制数为：2
右移后的二进制数为：10

右移前的十进制数为：-10
右移前的二进制数为：11111111111111111111111111110110
右移后的十进制数为：-3
右移后的二进制数为：11111111111111111111111111111101
***********************逻辑右移**********************
逻辑右移前的十进制数为：15
逻辑右移前的二进制数为：1111
逻辑右移后的十进制数为：3
逻辑右移后的二进制数为：11

逻辑右移前的十进制数为：-15
逻辑右移前的二进制数为：11111111111111111111111111110001
逻辑右移后的十进制数为：1073741820
逻辑右移后的二进制数为：111111111111111111111111111100

总结

以上就是我们常见的几种位运算了，其中左移、右移等操作，在 HashMap的源码中也会经常看到，理解了这些位操作，对于理解源码也是有一定帮助的，当然也会帮助我们写出执行效率更高的代码。

从上面的部分示例中可以看出，位运算通常用来降低包含排列，计数等复杂度比较高的操作，当然也可以用来代替乘 2 除 2，判断素数，偶数，倍数等基本操作，但是我认为其意义在于前者，即用计数器来降低设计到排列或者计数的问题的复杂度。

最后一点，三道算法题中，#136 、#260 理解起来倒还好，#137 Single Number II 的题解可能需要费一点功夫，至少我还没有完全理解，但不能轻易放弃对不对，继续啃啊！

以上便是我个人的简单总结，如果有纰漏或者错误，欢迎进行指出及纠正。

参考：