复杂度的概念

算法是一段执行的程序, 可以理解成几行代码，或者一个方法; 算法的时间复杂度是指这段代码需要消耗的时间资源；算法的空间复杂度是指这段代码需要消耗的空间资源(空间资源通常是指占用的内存)。

大O复杂度表示法

通常我们在讨论一个算法时会说，这个算法时间复杂度是O( $n$ ), 那个O( $n^2$ )。而这个O( $n$ )、O( $n^2$ )就是大O复杂度表示法。这个 $n$ 和 $n^2$ 具体是怎么来的呢，下面简单举个例子：

int cal(int n) { 
  int sum = 0;									(1)
  for(int i = 1;i <= n; ++i){ 	(2)
    sum = sum + i;							(3)
  }															(4)
  return sum;									
}

上面的代码是计算 1， 2， 3… n 的和一个方法，我们假设每一行代码cpu的时间都是相同的，每一行代码执行时间为run_time, 那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少 ? 第1行为run_time, 第2行和第3行代码循环n次，时间为2 * n * run_time。所有总时间：

	T(n) = （2 * n + 1）* run_time

根据规律，可以总结成一个公式:

T(n) = O (f(n))

所以, 上面的O( $n$ )、O( $n^2$ )例子中， $f(n) = n$ 以及 $f(n) = n^2$ 。 $（2 * n + 1）* run_time$ 中run_time是常数, 当n足够大, 公式中的低阶、常量、系数都可以忽略不计，所有这段计算 1， 2， 3… n总和的代码时间复杂度是O( $n$ )。

常见时间复杂度有： $O(1)、O(n)、O(logn )、O(nlogn ) 、O(n2) 、O(n^{3})$

下面在举个空间复杂度的例子：

void print(int n){
  int i = 0;							 (1)
  int[] arr = new int[n];  (2)
  int j = 0;							 (3)
}

第1行和第3行代码中都是分别申请了一个空间存储变量, 都有数据规模n无关，所有可以忽略，第2行中申请了数量为n的数组空间。所有整段代码的空间复杂度是 $O(n)$ 。

常见空间复杂度有: $O(1)、O(n)、O(n2 )$

掌握算法的时间复杂度与空间复杂度有什么用

首先，对比几个算法的好坏需要结合使用场景，比如数据量，内存，数据特征等。同样一段代码，在不同机器上运行速度也是不同的。通常比较几个算法的性能，就需要在同一个机器，同一批数据，同一个环境下去运行对比测试它们所需要的运行时间。

但是，但开发者是使用或者选择一个算法时，通常是没办法精准的对比算法的优劣，并且时间成本也不允许。所有我们需要一个不用具体数据来测试, 就可以粗略估算出算法的执行效率, 这就是算法的时间复杂度与空间复杂度作用啦。

最好、最坏情况时间复杂度

什么情况下，一段代码会出现有最好、最坏的情况呢; 举个例子，比如在一个长度为n的整数数组中去找一个数，找到就立马返回数组的下表。在循环查找的过程中，最好的情况就是数组第一个就要找的，所有最好情况时间复杂度为 $O(1)$ ; 如果数组最后一个是要找的, 这时就是最坏的情况，最坏情况时间复杂度为 $O(n)$ 。

平均情况时间复杂度

像上面一个例子，在一个长度为n的整数数组中去找一个数, 有最好和最坏情况，最好、最坏情况时间复杂度无法衡量一段代码的执行效率，这时就需要用到平均情况时间复杂度。平均=所有情况总和/总次数。

那么平均情况时间复杂度怎么算出来呢，要找的数要么在数组里，要么不在，假设在与不在的概率是 $\frac{1}{2}$ , 查找的数出现在0 ~ n-1 的位置概率是一样的，为 $\frac{1}{n}$ , 所有查找的数在数组里概率为 $\frac{1}{2n}$ 。总过程为：

$T(n) = 1 * \frac{1}{2n} + 2 * \frac{1}{2n} + 3 * \frac{1}{2n} + .. + n * \frac{1}{2n} = \frac{1 + n }{4}$

去掉常量，复杂度为O(n)。

均摊时间复杂度

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，只能在特殊的场景才能是使用。不多说，举个例子，会java的对容器arraylist不陌生吧，arraylist有个默认长度的数组，add方法里，如果数组长度不够，是需要扩容的。下面以一段add方法伪代码为例:(为了代码简单易懂，以添加int为例)

int arr[] = new int[10]; //初始默认长度为10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出长度，数组需要扩容，并复制值到一个新数组里
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申请2倍的数组
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
		}
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}

当不扩容时, 这个add方法时间复杂度就是 $O(1)$ , 当扩容时, if里面复制到新数组需要遍历一次，

int arr[] = new int[10]; //初始默认长度为10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出长度，数组需要扩容，并复制值到一个新数组里
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申请2倍的数组
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
    }
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}

当不扩容时, 这个add方法时间复杂度就是, 当扩容时, if里面复制到新数组需要遍历一次，

int arr[] = new int[10]; //初始默认长度为10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出长度，数组需要扩容，并复制值到一个新数组里
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申请2倍的数组
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
    }
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}

当不扩容时, 这个add方法时间复杂度就是O(1), 当扩容时, if里面复制到新数组需要遍历一次，数组默认长度假设是n, 扩容时的时间复杂度是O(n)。平均情况时间复杂度是多少呢，如果像上一个例子用概率论去计算也是可以，但是麻烦。我们假设需要添加11个数，添加第11个数时需要扩容，循环10次把前10个数复制到新的数组中然后把第11个数添加进去。添加前10个数时间复杂度都是O(1), 如果把扩容时循环10次分摊到添加前10个数操作中，那么添加前10个数操作都只是都运行了一行代码而已，还是常量级别的，所有这个add方法的平均时间复杂度就是O(1)。通过分摊分析时间复杂度就叫做均摊时间复杂度。