一. 定义：

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n) 是关于问题规模n的函数，进而分析T(n) 随 n 的变化情况并确认T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n)). 它表示随问题规模的增大，算法执行时间的增长率和f(n) 的增长率相同称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度. 其中f(n)是问题规模n 的的某个函数

二. 推导大O阶方法

用常数1 取代运行时间中的所有加法常数
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
如果最高阶项相乘一个常数且不是1，则去掉这个常数

1. 常数阶时间复杂度： O(1)

以下程序片段的时间复杂度函数：f(n) = 1+1+1 = 3
根据推导大O阶方法第一条: 用1 代替常数项
所以，时间复杂度为O(f(n)) = O(1); 称为常数阶

int sum = 0, n= 100;  //执行一次
int sum = 0, n= 100;  //执行一次
int sum = 0, n= 100;  //执行一次

2. 线性阶时间复杂度: O(n)

以下程序片段的时间复杂度函数：f(n) = n
根据推导大O阶方法第二条: 只保留最高阶项
所以，时间复杂度为O(f(n)) = O(n); 称为线性阶

for (int i = 0; i < n ; i++) {
    System.out.println("i = "+i); // 执行n次
}

3. 对数阶时间复杂度 :O(logn)

以下程序片段的时间复杂度函数：f(n) = log(2)n
所以，时间复杂度为O(f(n)) = O(logn); 称为对数阶

int count = 1; 
while(count < n ){
    // 每执行一次，count 乘 2 
    // 设x次后， count 大于 n ； 终止程序
    // 所以函数; 2^x = n   --> x = log(2)n
    count = count*2;  // 这里执行 log(2)n 次
}

4. 平方阶时间复杂度:O(n^2)

example 1:

以下程序片段为双重循环，所以执行次数为每个循环次数的乘积；时间复杂度函数：f(n) = n^2
根据推导大O阶方法第二条: 只保留最高阶项
所以，时间复杂度为O(f(n)) = O(n^2),称为平方阶

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n ; j++) {
         System.out.println("i = "+i+" j="+j);  //执行n*n次 
    }
}

example 2:

以下程序片段时间复杂度函数：f(n) = n^2/2+n/2
根据推导大O阶方法第二条: 只保留最高阶项：f(n) = n^2/2
根据推导大O阶方法第三条: 如果最高阶项相乘一个常数且不是1，则去掉这个常数：f(n) = n^2
所以，时间复杂度为O(f(n)) = O(n^2),称为平方阶

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i; j < n ; j++) {
          // 注意; 内层的j = i，
          //所以，每次i 增加 1， 内层循环就减少一次
          // 则， 
          // 当i=0; 时，内层循环执行 n次
          // 当i=1时， 内层循环执行 n-1 次
          //....
          //当i=n-1, 内层循环执行 1 次
          // 所以，总执行次数相加为： n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n(n+1)/2 【高斯求和】
         System.out.println("i = "+i+" j="+j);  
    }
}

三、常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(1)	平方阶
5log(2)n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog(2)n+19	O(nlogn)	nlogn阶
6n^3+2n^2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶