选择排序

核心思想

选择最小元素，与第一个元素交换位置；剩下的元素中选择最小元素，与当前剩余元素的最前边的元素交换位置。

分析

选择排序的比较次数与序列的初始排序无关，比较次数都是N(N-1)/2。

移动次数最多只有n-1次。

因此，时间复杂度为O(N^2)，无论输入是否有序都是如此，输入的顺序只决定了交换的次数，但是比较的次数不变。

选择排序是不稳定的，比如5 6 5 3的情况。

代码

public class SelectionSort {
    public void selectionSort(int[] nums){
        if(nums==null)
            return;
        for(int i=0;i<nums.length;i++) {
            int index = i;
            for (int j = i; j < nums.length; j++) {
                if (nums[j] < nums[index]) {
                    index = j;
                }
            }
            swap(nums, i, index);
        }
    }
}

冒泡排序：

核心思想

从左到右不断交换相邻逆序的元素，这样一趟下来把最大的元素放到了最右侧。不断重复这个过程，知道一次循环中没有发生交换，说明已经有序，退出。

分析

当原始序列有序，比较次数为 n-1 ，移动次数为0，因此最好情况下时间复杂度为 O(N)。
当逆序排序时，比较次数为 N(N-1)/2，移动次数为 3N(N-1)/2，因此最坏情况下时间复杂度为 O(N^2)。
平均时间复杂度为 O(N^2)。

元素两两交换时，相同元素前后顺序没有改变，因此具有稳定性。

代码

public class BubbleSort {
    public void bubbleSort(int[] nums){
        for(int i=nums.length-1;i>0;i--){
            boolean sorted=false;
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]>nums[j+1]){
                    Sort.swap(nums,j,j+1);
                    sorted=true;
                }
            }
            if(!sorted)
                break;
        }
    }

插入排序

核心思想

每次将当前元素插入到左侧已经排好序的数组中，使得插入之后左侧数组依然有序。

分析

因为插入排序每次只能交换相邻元素，令逆序数量减少1，因此交换次数等于逆序数量。

因此，插入排序的复杂度取决于数组的初始顺序。

数组已经有序，需要 N-1 次比较和0次交换，时间复杂度为 O(N)。
数组完全逆序，需要 N(N-1)/2 次比较和交换 N(N-1)/2 次，时间复杂度为 O(N^2)
平均情况下，时间复杂度为 O(N^2)

插入排序具有稳定性

代码

public class InsertionSort {
    public void insertionSort(int[] nums){
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            for(int j=i;j>0;j--){
                if(nums[j]<nums[j-1])
                    swap(nums,j,j-1);
                else
                    break;//已经放到正确位置上了
            }
        }
    }
}

希尔排序

对于大规模的数组，插入排序很慢，因为它只能交换相邻的元素，每次只能将逆序数量减少1。

核心思想

希尔排序为了解决插入排序的局限性，通过交换不相邻的元素，每次将逆序数量减少大于1。希尔排序使用插入排序对间隔为 H 的序列进行排序，不断减少 H 直到 H=1 ，最终使得整个数组是有序的。

时间复杂度

希尔排序的时间复杂度难以确定，并且 H 的选择也会改变其时间复杂度。

希尔排序的时间复杂度是低于 O(N^2) 的，高级排序算法只比希尔排序快两倍左右。

稳定性

希尔排序不具备稳定性。

代码

public class ShellSort {
    public void shellSort(int[] nums){
        int N=nums.length;
        int h=1;

        while(h<N/3){
            h=3*h+1;
        }

        while(h>=1){
            for(int i=h;i<N;i++){
                for(int j=i;j>0;j--){
                    if(nums[j]<nums[j-1]){
                        swap(nums,j,j-1);
                    }else{
                        break;//已经放到正确位置上了
                    }
                }
            }
        }
    }
}

归并排序

核心思想

将数组分为两部分，分别进行排序，然后进行归并。

归并方法

public void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        int p1 = left, p2 = mid + 1;
        int[] tmp = new int[right-left+1];
        int cur=0;
        
        //两个指针分别指向左右两个子数组，选择更小者放入辅助数组
        while(p1<=mid&&p2<=right){
            if(nums[p1]<nums[p2]){
                tmp[cur++]=nums[p1++];
            }else{
                tmp[cur++]=nums[p2++];
            }
        }
        
        //将还有剩余的数组放入到辅助数组
        while(p1<=mid){
            tmp[cur++]=nums[p1++];
        }
        while(p2<=right){
            tmp[cur++]=nums[p2++];
        }

        //拷贝
        for(int i=0;i<tmp.length;i++){
            nums[left+i]=tmp[i];
        }
    }

代码实现

递归方法：自顶向下

通过递归调用，自顶向下将一个大数组分成两个小数组进行求解。

public void up2DownMergeSort(int[] nums, int left, int right) {
        if(left==right)
            return;
        int mid=left+(right-left)/2;
        mergeSort(nums,left,mid);
        mergeSort(nums,mid+1,right);
        merge(nums,left,mid,right);
    }

非递归：自底向上

public void down2UpMergeSort(int[] nums) {
        int N = nums.length;
       
        for (int sz = 1; sz < N; sz += sz) {
            for (int lo = 0; lo < N - sz; lo += sz + sz) {
                merge(nums, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + sz + sz - 1, N - 1));
            }
        }
    }

分析

把一个规模为N的问题分解成两个规模分别为 N/2 的子问题，合并的时间复杂度为 O(N)。T(N)=2T(N/2)+O(N)。

得到其时间复杂度为 O(NlogN)，并且在最坏、最好和平均情况下时间复杂度相同。

归并排序需要 O(N) 的空间复杂度。

归并排序具有稳定性。

快速排序

核心思想

快速排序通过一个切分元素 pivot 将数组分为两个子数组，左子数组小于等于切分元素，右子数组大于等于切分元素，将子数组分别进行排序，最终整个排序。

partition

取 a[l] 作为切分元素，然后从数组的左端向右扫描直到找到第一个大于等于它的元素，再从数组的右端向左扫描找到第一个小于它的元素，交换这两个元素。不断进行这个过程，就可以保证左指针 i 的左侧元素都不大于切分元素，右指针 j 的右侧元素都不小于切分元素。当两个指针相遇时，将切分元素 a[l] 和 a[j] 交换位置。

private int partition(int[] nums, int left, int right) {
        int p1=left,p2=right;
        int pivot=nums[left];
        while(p1<p2){
            while(nums[p1++]<pivot&&p1<=right);
            while(nums[p2--]>pivot&&p2>=left);
            swap(nums,p1,p2);
        }
        swap(nums,left,p2);
        return p2;
    }

代码实现

public void sort(T[] nums, int l, int h) {
        if (h <= l)
            return;
        int j = partition(nums, l, h);
        sort(nums, l, j - 1);
        sort(nums, j + 1, h);
    }

分析

最好的情况下，每次都正好将数组对半分，递归调用次数最少，复杂度为 O(NlogN)。

最坏情况下，是有序数组，每次只切分了一个元素，时间复杂度为 O(N^2)。为了防止这种情况，在进行快速排序时需要先随机打乱数组。

不具有稳定性。

改进

切换到插入排序：递归的子数组规模小时，用插入排序。
三数取中：最好的情况下每次取中位数作为切分元素，计算中位数代价比较高，采用取三个元素，将中位数作为切分元素。

三路快排

对于有大量重复元素的数组，将数组分为小于、等于、大于三部分，对于有大量重复元素的随机数组可以在线性时间内完成排序。

public void threeWayQuickSort(int[] nums,int left,int right){
        if(right<=left)
            return;

        int lt=left,cur=left+1,gt=right;
        int pivot=nums[left];
        while(cur<=gt){
            if(nums[cur]<pivot){
                swap(nums,lt++,cur++);
            }else if(nums[cur]>pivot){
                swap(nums,cur,gt--);
            }else{
                cur++;
            }
        }
        threeWayQuickSort(nums,left,lt-1);
        threeWayQuickSort(nums,gt+1,right);
    }

基于 partition 的快速查找

利用 partition() 可以在线性时间复杂度找到数组的第 K 个元素。

假设每次能将数组二分，那么比较的总次数为 (N+N/2+N/4+..)，直到找到第 k 个元素，这个和显然小于 2N。

public int select(int[] nums, int k) {
    int l = 0, h = nums.length - 1;
    while (h > l) {
        int j = partition(nums, l, h);

        if (j == k) {
            return nums[k];

        } else if (j > k) {
            h = j - 1;

        } else {
            l = j + 1;
        }
    }
    return nums[k];
}

堆排序

堆

堆可以用数组来表示，这是因为堆是完全二叉树，而完全二叉树很容易就存储在数组中。位置 k 的节点的父节点位置为 k/2，而它的两个子节点的位置分别为 2k 和 2k+1。在这里，从下标为1的索引开始的位置，是为了更清晰地描述节点的位置关系。

上浮和下沉

当一个节点比父节点大，不断交换这两个节点，直到将节点放到位置上，这种操作称为上浮。

private void shiftUp(int k) {
        while (k > 1 && heap[k / 2] < heap[k]) {
            swap(k / 2, k);
            k = k / 2;
        }
    }

当一个节点比子节点小，不断向下进行比较和交换，当一个基点有两个子节点，与最大节点进行交换。这种操作称为下沉。

private void shiftDown(int k){
        while(2*k<=size){
            int j=2*k;
            if(j<size&&heap[j]<heap[j+1])
                j++;
            if(heap[k]<heap[j])
                break;
            swap(k,j);
            k=j;
        }
    }

堆排序

把最大元素和当前堆中数组的最后一个元素交换位置，并且不删除它，那么就可以得到一个从尾到头的递减序列。

构建堆 建立堆最直接的方法是从左到右遍历数组进行上浮操作。一个更高效的方法是从右到左进行下沉操作。叶子节点不需要进行下沉操作，可以忽略，因此只需要遍历一半的元素即可。

交换堆顶和最坏一个元素，进行下沉操作，维持堆的性质。

public class HeapSort {
    public void sort(int[] nums){
        int N=nums.length-1;
        for(int k=N/2;k>=1;k--){
            shiftDown(nums,k,N);
        }

        while(N>1){
            swap(nums,1,N--);
            shiftDown(nums,1,N);
        }
        System.out.println(Arrays.toString(nums));
    }

    private void shiftDown(int[] heap,int k,int N){
        while(2*k<=N){
            int j=2*k;
            if(j<N&&heap[j]<heap[j+1])
                j++;
            if(heap[k]>=heap[j])
                break;
            swap(heap,k,j);
            k=j;
        }
    }

    private void swap(int[] nums,int i,int j){
        int t=nums[i];
        nums[i]=nums[j];
        nums[j]=t;
    }
}

分析

建立堆的时间复杂度是O(N)。

一个堆的高度为 logN, 因此在堆中插入元素和删除最大元素的复杂度都是 logN。

在堆排序中，对N个节点进行下沉操作，复杂度为 O(NlogN)。

现代操作系统很少使用堆排序，因为它无法利用局部性原理进行缓存，也就是数组元素很少和相邻的元素进行比较和交换。

比较

排序算法	最好时间复杂度	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	稳定性	适用场景
冒泡排序	O(N)	O(N^2)	O(N^2)	O(1)	稳定
选择排序	O(N)	O(N^2)	O(N^2)	O(1)	不稳定	运行时间和输入无关，数据移动次数最少，数据量较小的时候适用。
插入排序	O(N)	O(N^2)	O(N^2)	O(1)	稳定	数据量小、大部分已经被排序
希尔排序	O(N)	O(N^1.3)	O(N^2)	O(1)	不稳定
快速排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(N^2)	O(logN)-O(N)	不稳定	最快的通用排序算法，大多数情况下的最佳选择
归并排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(NlogN)	O(N)	稳定	需要稳定性，空间不是很重要
堆排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(NlogN)	O(1)	O(1)	不稳定

当规模较小，如小于等于50，采用插入或选择排序。
当元素基本有序，选择插入、冒泡或随机的快速排序。
当规模较大，采用 O(NlogN)排序算法。
当待排序的关键字随机分布时，快速排序的平均时间最短。
当需要保证稳定性的时候，选用归并排序。

非比较排序

之前介绍的算法都是基于比较的排序算法，下边介绍两种不是基于比较的算法。

计数排序

已知数据范围 x1 到 x2, 对范围中的元素进行排序。可以使用一个长度为 x2-x1+1 的数组，存储每个数字对应的出现的次数。最终得到排序后的结果。

桶排序

桶排序假设待排序的一组数均匀独立的分布在一个范围中，并将这一范围划分成几个桶。然后基于某种映射函数，将待排序的关键字 k 映射到第 i 个桶中。接着将各个桶中的数据有序的合并起来，对每个桶中的元素可以进行排序，然后输出得到一个有序序列。