专栏 | 九章算法
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题目描述

给一个nums[]数组,如[1, 2, 4]
将这些数组合使得：这些数的和是给出的一个target，如使这些数的和等于4
求这样的组合有多少个？

样例
[1, 1, 1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 2, 1]
[2, 1, 1]
[2, 2]
[4]

这些组合都可以，他们的和都是4
所以答案是6

算法分析

1.直观的想法就是把所有的组合全都找出来，再计算他们的个数就可以了。那么，怎么找所有的组合呢？首先你有一个nums数组，一个target。首先想，能不能把这个问题分解成子问题？可以。以题目描述为例，需要[1,2,4]组合成4，可以分解为3个子问题:

序列的第一个数为1，让[1,2,4]组合成3
序列的第一个数为2，让[1,2,4]组合成2
序列的第一个数为4，让[1,2,4]组合成0

2.上述的想法用DFS就可以实现，设N为nums数组的长度，M为target，但是复杂度达到了O(N^M)，这个复杂度太高了。换一个角度来想一想，假设dp[i]为让[1,2,4]为i的组合的数目，如果我dp[1],dp[2],dp[3]都已经求出来了，如何去求dp[4]呢？dp[4]可以由哪些子问题得到呢？这个思路和上面的过程是一样的。

序列的第一个数为1,加dp[3]得到
序列的第一个数为2,加dp[2]得到
序列的第一个数为4,加dp[0]得到

3.dp[0] = 1

dp[1] = 第一个数为1，然后加dp[0]得到 = dp[0] = 1
dp[2] = 第一个数为1，然后加dp[1] + 第一个数为2，然后加dp[0] = dp[1] + dp[0] = 2
dp[3] = 第一个数为1，然后加dp[2] + 第一个数为2，然后加dp[1] = dp[2] + dp[1] = 3
dp[4] = 第一个数为1，然后加dp[3] + 第一个数为2，然后加dp[2] + 第一个数为3，然后加dp[1] = dp[3] + dp[2] + dp[1] = 6

4.于是dp方程为dp[i] = dp[i-nums[1]] + dp[i-nums[2]] + ... + dp[i-nums[N]]，初始化dp[0] = 1。复杂度O(NM)。

可以发现，第一种思路和第二种思路其实很相近，他们的区别就是，第二种思路对所有的子过程只计算了一遍，第一种思路可能对一个子过程计算很多遍，例：设dfs(i)可以求出目标为i的结果，dfs(4) = dfs(3) + dfs(2) + dfs(0) = dfs(2) + dfs(1) + dfs(2) + dfs(0) 展开到这一步的时候就可以发现dfs(2)已经被计算了2遍了，而在第二种思路中，每个子过程只会被计算一遍，那么，可不可以让第一种想法计算子过程的时候只计算一遍呢？可以，那就是记忆化搜索。

5.因为题目没说数据是否是递增，可以考虑给数组排序，排序过后一旦遇到 i - nums[j] < 0的，就可以直接退出循环。

参考代码

面试官角度分析

这道题目的是背包问题当中比较难的面试题目，如果会做01背包，能够拓展想到这道题目多重背包怎么样处理n个背包数目，那么这道题目就能够迎刃而解，能够想出O(n*target)时间复杂度的算法那么久可以达到hire

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