（！！！超多gif图片预警）

（本文旨在优化一维函数，实际上模型参数有数百万维以上，差距很大，因此本文最好作为辅助法的理解，而非对算法优劣的判断依据。）

8.13更新算法6：二阶算法牛顿法，算法7：牛顿法+正则化

在深度学习中，有很多种优化算法，这些算法需要在极高维度（通常参数有数百万个以上）也即数百万维的空间进行梯度下降，从最开始的初始点开始，寻找最优化的参数，通常这一过程可能会遇到多种的情况，诸如：

1.提前遇到局部最小值从而卡住，再也找不到全局最小值了

2.遇到极为平坦的地方：“平原”，在这里梯度极小，经过多次迭代也无法离开。同理，鞍点也是一样的，在鞍点处，各方向的梯度极小，尽管沿着某一个方向稍微走一下就能离开。

3.“悬崖”，某个方向上参数的梯度可能突然变得奇大无比，在这个地方，梯度可能会造成难以预估的后果，可能让已经收敛的参数突然跑到极远地方去。

为了可视化&更好的理解这些优化算法，我首先拼出了一个很变态的一维函数：

f(x)=(0.15x)^2+cos(x)+sin(3x)/3+cos(5x)/5+sin(7x)/7

其导数具有很简单的形式

f’(x) = 0.045x -sin(x)+cos(3x)-sin(5x)+cos(7x)

具体长得像：

具有悬崖和大量的局部最小值，足以模拟较为复杂的优化情况了。

算法1：纯粹的梯度下降法

该算法很简单，表述如下：

          首先给出学习率lr，初始x        
           while True：
                  x = x - lr*df/dx

根据学习率的不同，可以看到不同的效果。学习率过小，卡在局部极小值，学习率过大，压根不收敛。

算法2：梯度下降法+动量

算法在纯粹的梯度下降法之上，外加了梯度，从而记录下了历史的梯度情况，从而减轻了卡在局部最小值的危险，在梯度=0的地方仍然会有一定的v剩余，从而在最小值附近摇摆

       首先给出学习率lr，动量参数m
       初始速度v=0,初始x
       while True：
                  v = m * v - lr * df/dx
                  x += v

下面可以看图：

从中我们可以看出：

lr越小越稳定，太大了很难收敛到最小值上，但是太小的话收敛就太慢了
动量参数不能太小，0.9以上表现比较好，但是又不能太大，太大了无法停留在最小值处

算法3：AdaGrad算法

AdaGrad算法的思想是累计历史上出现过的梯度（平方），用积累的梯度平方的总和的平方根，去逐元素地缩小现在的梯度。某种意义上是在自行缩小学习率，学习率的缩小与过去出现过的梯度有关。

缺点是：刚开始参数的梯度一般很大，但是算法在一开始就强力地缩小了梯度的大小，也称学习率的过早过量减少。

算法描述：

给出学习率lr，delta=1e-7
累计梯度r=0，初始x
while True：
      g = df/dx
      r  = r + g*g
      x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g

效果并不是很好......

算法4：RMSProp

AdaGrad算法在前期可能会有很大的梯度，自始至终都保留了下来，这会使得后期的学习率过小。RMSProp在这个基础之上，加入了平方梯度的衰减项，只能记录最近一段时间的梯度，在找到碗状区域时能够快速收敛。

算法描述：

给出学习率lr，delta=1e-6，衰减速率p
累计梯度r=0，初始x
while True：
      g = df/dx
      r  = p*r + （1-p）*g*g
      x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g

衰减速率情况复杂，建议自行调参.......

算法5：Adam算法

Adam算法和之前类似，也是自适应减少学习率的算法，不同的是它更新了一阶矩和二阶矩，用一阶矩有点像有动量的梯度下降，而用二阶矩来降低学习率。

此外还使用了类似于s = s / (1-p1^t)这样的公式，这样的公式在t较为小的时候会成倍增加s，从而让梯度更大，参数跑的更快，迅速接近期望点。而后续t比较大的时候，s = s / (1-p1^t)基本等效于s=s，没什么用。

算法如下：

给出学习率lr，delta=1e-8，衰减速率p1=0.9，p2=0.999 
累计梯度r=0，初始x ,一阶矩s=0，二阶矩r=0
时间t = 0
while True：       
    t += 1
    g = df/dx 
    s = p1*s + (1-p1) *g
    r = p2*r +（1-p2）*g*g   

    s = s / (1-p1^t)
    r = r / (1-p2^t)    

    x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * s

是的，你没有看错，这玩意压根不收敛......，表现极差

在算法中仔细研究后才发现，是在t很小的前几步的时候，p2=0.999太大了，导致r = r / (1-p2^t) 中，1-p2^t接近0，r迅速爆炸，百步之内到了inf。后来修改p2=0.9后效果就好的多了

最后还是Adam效果最好了：)，尽管学习率还是需要相当的调参

算法6：牛顿法

牛顿法是二阶近似方法的一种，其原理类似于将某函数展开到二次方（二次型）项：

$L(x)=L(x_0) + (x-x_0)^{T}▽L(x_0) + \frac{1}{2}(x-x_0)^{T}H(x-x_0)$

如果幸运的话，这个展开式是一个开口向上的曲面，一步就走到这个曲面的最低点：

$x=x_0 - H^{-1}▽L(x_0)$

初始x 
while True：            
        g = df(x)  # 一阶导数
        gg = ddf(x)   # 二阶导数
        x = x - g/gg   # 走到曲面的最低点

图片如上，看了真可怜........其实牛顿法要求的是H矩阵正定（一维情况下是二阶导数大于零），在多维中，这样的情况难以满足，大量出现的极小值，悬崖，鞍点都会造成影响，导致无法顺利进行下去，为了更好地进行牛顿法，我们需要正则化它。

算法7：牛顿法+正则化

牛顿法加上正则化可以避免卡在极小值处，其方法也很简单：更新公式改成如下即可

$x=x_0 - (H+\alpha\times I)^{-1}▽L(x_0)$

一维的算法如下：

初始x  ，正则化强度alpha
while True：                     
       g = df(x)  # 一阶导数         
       gg = ddf(x)   # 二阶导数         
       x = x - g/（gg+alpha）   # 走到曲面的最低点

效果图：

看了真可怜.........二次方法真心在非凸情况很糟糕。此外算法涉及H矩阵的逆，这需要O（n^3）的计算量，非深度学习可用。

参考文献：

[1]Ian Goodfellow，深度学习Deep Learning，人民邮电出版社,170-190

代码：

#coding:utf-8
from __future__ import print_function
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return (0.15*x)**2 + np.cos(x) + np.sin(3*x)/3 + np.cos(5*x)/5 + np.sin(7*x)/7

def df(x):
    return (9/200)*x - np.sin(x) -np.sin(5*x) + np.cos(3*x) + np.cos(7*x)

points_x = np.linspace(-20, 20, 1000)
points_y = f(points_x)


# 纯粹的梯度下降法,GD
for i in range(10):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(2,-i)*16
    x = -20.0
    GD_x, GD_y = [], []
    for it in range(1000):
        GD_x.append(x), GD_y.append(f(x))
        dx = df(x)
        x = x - lr * dx

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(GD_x, GD_y, c="r", linestyle="-")
    plt.title("Gradient descent,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("Gradient descent,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()


# 动量 + 梯度下降法
for i in range(10):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = 0.002
    m = 1 - pow(0.5,i)
    x = -20
    v = 1.0
    GDM_x, GDM_y = [], []
    for it in range(1000):
        GDM_x.append(x), GDM_y.append(f(x))
        v = m * v - lr * df(x)
        x = x + v

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(GDM_x, GDM_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(GDM_x[-1],GDM_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m))
    plt.savefig("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m) + ".png")
    plt.clf()


# AdaGrad
for i in range(15):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.5,-i)*32
    delta = 1e-7
    x = -20
    r = 0
    AdaGrad_x, AdaGrad_y = [], []
    for it in range(1000):
        AdaGrad_x.append(x), AdaGrad_y.append(f(x))
        g = df(x)
        r = r + g*g # 积累平方梯度
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(AdaGrad_x, AdaGrad_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(AdaGrad_x[-1],AdaGrad_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("AdaGrad,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("AdaGrad,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()


# RMSProp
for i in range(15):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.5,-i)*32
    delta = 1e-6
    rou = 0.8
    x = -20
    r = 0
    RMSProp_x, RMSProp_y = [], []
    for it in range(1000):
        RMSProp_x.append(x), RMSProp_y.append(f(x))
        g = df(x)
        r = rou * r + (1-rou)*g*g # 积累平方梯度
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(RMSProp_x, RMSProp_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(RMSProp_x[-1],RMSProp_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou))
    plt.savefig("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou) + ".png")
    plt.clf()

# Adam
for i in range(48):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.2,-i)*2
    rou1,rou2 = 0.9,0.9  # 原来的算法中rou2=0.999，但是效果很差
    delta = 1e-8
    x = -20
    s,r = 0,0
    t = 0
    Adam_x, Adam_y = [], []
    for it in range(1000):
        Adam_x.append(x), Adam_y.append(f(x))
        t += 1
        g = df(x)
        s = rou1 * s + (1 - rou1)*g
        r = rou2 * r + (1 - rou2)*g*g # 积累平方梯度
        s = s/(1-pow(rou1,t))
        r = r/(1-pow(rou2,t))
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * s

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(Adam_x, Adam_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(Adam_x[-1],Adam_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Adam,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("Adam,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()

# 牛顿法
for i in range(72):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    alpha= pow(1.2,-i)*20
    x = -20.0
    Newton_x, Newton_y = [], []
    for it in range(1000):
        Newton_x.append(x), Newton_y.append(f(x))
        g = df(x)
        gg = ddf(x)
        x = x - g/(gg+alpha)

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(Newton_x, Newton_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(Newton_x[-1],Newton_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Newton,alpha=%f"%(alpha))
    plt.savefig("Newton,alpha=%f"%(alpha) + ".png")
    plt.clf()