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前言

在前端开发中，贝赛尔曲线无处不在：

它可以用来绘制曲线，在svg和canvas中，原生提供的曲线绘制都是使用贝赛尔曲线
它也可以用来描述一个缓动算法，设置css的transition-timing-function属性，可以使用贝塞尔曲线来描述过渡的缓动计算
几乎所有前端2D或3D图形图表库(echarts，d3，three.js)都会使用到贝塞尔曲线

这篇文章我准备从实现一个非常简单的曲线动画效果入手，帮助大家彻底地弄懂什么是贝塞尔曲线，以及它有哪些特性，文章中有一点点数学公式，但是都非常简单:)。

实现这样一个曲线动画

可以点击这里查看在线演示

在写代码之前，先了解一下什么是贝塞尔曲线吧。

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线（Bezier curve）是计算机图形学中相当重要的参数曲线，它通过一个方程来描述一条曲线，根据方程的最高阶数，又分为线性贝赛尔曲线，二次贝塞尔曲线、三次贝塞尔曲线和更高阶的贝塞尔曲线。

下面详细介绍一下用得比较多的二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由三个点P0,P1,P2来确定，这些点也被称作控制点。曲线的方程为：

这个方程其实有它的几何意义，它表示可以通过这样的步骤来绘制一条曲线：

选定一个0-1的t值
通过P0和P1计算出点Q0，Q0在P0 P1连成的直线上，并且length( P0, Q0 ) = length( P0, P1 ) * t
同样，通过P1和P2计算出Q1，使得length( P1, Q1 ) = length( P1, P2 ) * t
再重复一次这个步骤，通过Q1和Q2计算出B，使得length( Q0, Q1 ) = length( Q0, B ) * t。B就为当前曲线上的点

注：上面的length表示两点之间的长度

图：二次贝塞尔曲线结构

有了曲线方程，我们直接代入具体的t值就能算出点B了。

如果将t的值从0过渡到1，不断计算点B，就可以得到一条二次贝塞尔曲线：

图：二次贝塞尔线绘制过程

在canvas中，绘制二次贝塞尔曲线的方法为

ctx.quadraticCurveTo( p1x, p1y, p2x, p2y )

其中p1x, p1y, p2x, p2y为后两个控制点（P1和P2）的横纵坐标，它默认将当前路径的起点作为一个控制点（P0）。

三次贝塞尔曲线

三次贝塞尔曲线需要四个点P0,P1,P2,P3来确定，曲线方程为

它的计算过程和二次贝塞尔曲线类似，这里不再赘述，可以看下图：

图：三次贝塞尔曲线结构

同样，将t的值从0过渡到1，就可以绘制出一条三次贝塞尔曲线：

图：三次贝塞尔曲线绘制过程

在canvas中，绘制三次贝塞尔曲线的方法为

ctx.bezierCurveTo( p1x, p1y, p2x, p2y, p3x, p3y )

其中p1x, p1y, p2x, p2y, p3x, p3y为后三个控制点（P1,P2和P3）的横纵坐标，它默认将当前路径的起点作为一个控制点（P0）。

贝塞尔曲线的特征

在三次贝塞尔曲线后面，还有更高阶的贝塞尔曲线，同样它们绘制的过程也更加复杂

四次贝塞尔曲线

图：四次贝塞尔曲线

五次贝塞尔曲线

图：五次贝塞尔曲线

我们可以归纳出贝塞尔曲线有几个重要的特征：

n阶贝塞尔曲线需要n+1个点来确定
贝塞尔曲线是平滑的
贝塞尔曲线的起点和终点与对应控制点的连线相切

绘制贝塞尔曲线

复习完基础概念，接下来就要讲如果绘制贝塞尔曲线啦

为简单起见，我们选择使用二次贝塞尔曲线。

我们先不考虑动画的事，我们先将问题简化成：给定一个起点和一个终点，需要实现一个函数，它能够绘制出一条曲线。

也就是说我们需要实现一个函数drawCurvePath，除渲染上下文ctx外（不清楚ctx是什么的同学可以先熟悉下canvas的基本概念），它接受三个参数，分别为二次贝塞尔曲线的三个控制点。我们将样式控制移到函数外，drawCurvePath只用来绘制路径。

/**
 * 绘制二次贝赛尔曲线路径
 * @param  {Object} ctx
 * @param  {Array<number>} p0
 * @param  {Array<number>} p1
 * @param  {Array<number>} p2
 */
function drawCurvePath( ctx, p0, p1, p2 ) {
    // ...
}

前文提到过，在canvas中，绘制二次贝赛尔曲线的方法是quadraticCurveTo，所以只要短短两行就能完成这个方法。

/**
 * 绘制二次贝赛尔曲线路径
 * @param  {CanvasRenderingContext2D} ctx
 * @param  {Array<number>} p0
 * @param  {Array<number>} p1
 * @param  {Array<number>} p2
 */
function drawCurvePath( ctx, p0, p1, p2 ) {
    ctx.moveTo( p0[ 0 ], p0[ 1 ] );
    ctx.quadraticCurveTo( 
        p1[ 0 ], p1[ 1 ],
        p2[ 0 ], p2[ 1 ]
    );
}

这样就完成了基本的绘制二次贝塞尔曲线的方法了。

但是函数这样设计有点小问题

如果我们是在做一个图形库，我们想给使用者提供一个绘制曲线的方法。

对于使用者来说，他只想在给定的起点和终点间间绘制一条曲线，他想要得到的曲线尽量美观，但是又不想关心具体的实现细节，如果还需要给第三个点，使用者会有一定的学习成本（至少需要弄明白什么是贝塞尔曲线）。

看到这里你可能会比较疑惑，即使是二次贝塞尔曲线也需要三个控制点，只有起点和终点怎么绘制曲线呢。

我们可以在起点和终点的垂直平分线上选一点作为第三个控制点，可以提供给使用者一个参数来控制曲线的弯曲程度，现在函数就变成了这样

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {CanvasRenderingContext2D} ctx
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
    // ...
}

我们用curveness来表示曲线的弯曲程度，也就是第三个控制点的偏离程度。这样很容易就能计算出中间点。
现在完整的函数变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
    // 计算中间控制点
    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];
    ctx.moveTo( start[ 0 ], start[ 1 ] );
    ctx.quadraticCurveTo( 
        cp[ 0 ], cp[ 1 ],
        end[ 0 ], end[ 1 ]
    );
}

对，就这么短短几行，接下来我们就可以通过它来绘制一条曲线了，代码如下

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <title>draw curve</title>
    </head>
    <body>
        <canvas id="canvas" width="800" height="800"></canvas>
        <script>
            var canvas = document.getElementById( 'canvas' );
            var ctx = canvas.getContext( '2d' );
            
            ctx.lineWidth = 2;
            ctx.strokeStyle = '#000';
            ctx.beginPath();
    
            drawCurvePath( 
                ctx,
                [ 100, 100 ],
                [ 200, 300 ],
                0.4
            );
            
            ctx.stroke();
            
            function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness ) {
                // ...
            }
        </script>
    </body>
</html>

绘制结果：

绘制一条曲线

绘制贝塞尔曲线动画

终于来到文章的本体啦，我们的目的不是绘制一条静态的曲线，我们想绘制一条有过渡效果的曲线。

简化一下问题，那就是我们希望绘制曲线的函数还接受另一个参数，表示绘制曲线的百分比。我们定时去调用这个函数，递增百分比这个参数，就能画出动画了。

我们新增一个参数percent来表示百分比，现在函数变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {
    // ...
}

但是canvas提供的quadraticCurveTo方法只能绘制一条完整的二次贝赛尔曲线，没有办法去控制它只画一部分。

画完后用clearRect擦除掉一部分？这不太可行，因为很难确定要擦除的范围。如果曲线的线宽比较宽，就还需要保证擦除的边界和曲线末端垂直，问题就变得很复杂了。

现在再重新看看这张图

我们是不是可以将percent这个参数理解成t值，然后通过贝赛尔曲线方程去计算出中间所有的点，用直线连接起来，以此模拟绘制贝赛尔曲线的一部分呢？

方法一

我们不再用canvas提供的quadraticCurveTo来绘制曲线，而是通过贝赛尔曲线的方程计算出一系列点，用多端直线来模拟曲线。

这样做的好处时，我们可以很容易的控制绘制的范围。

那么函数实现就变成了这样：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {

    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];
    
    ctx.moveTo( start[ 0 ], start[ 1 ] );
    
    for ( var t = 0; t <= percent / 100; t += 0.01 ) {

        var x = quadraticBezier( start[ 0 ], cp[ 0 ], end[ 0 ], t );
        var y = quadraticBezier( start[ 1 ], cp[ 1 ], end[ 1 ], t );
        
        ctx.lineTo( x, y );
    }
    
}

function quadraticBezier( p0, p1, p2, t ) {
    var k = 1 - t;
    return k * k * p0 + 2 * ( 1 - t ) * t * p1 + t * t * p2;    // 这个方程就是二次贝赛尔曲线方程
}

接下来就可以通过设置定时器，每隔一段时间调用一次这个方法，并且递增percent

为了动画更加平滑，我们使用requestAnimationFrame来代替定时器

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
    <head>
        <title>draw curve</title>
    </head>
    <body>
        <canvas id="canvas" width="800" height="800"></canvas>
        <script>
            var canvas = document.getElementById( 'canvas' );
            var ctx = canvas.getContext( '2d' );
            
            ctx.lineWidth = 2;
            ctx.strokeStyle = '#000';
            
            var percent = 0;
            
            function animate() {
                
                ctx.clearRect( 0, 0, 800, 800 );
                ctx.beginPath();

                drawCurvePath( 
                    ctx,
                    [ 100, 100 ],
                    [ 200, 300 ],
                    0.2,
                    percent
                );
    
                ctx.stroke();
    
                percent = ( percent + 1 ) % 100;
                
                requestAnimationFrame( animate );
                
            }
            
            animate();
            
            function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {
                // ...
            }
        </script>
    </body>
</html>

得到的结果：

这样基本实现了我们的需求，但它有一个问题：

测试发现，进行一次lineTo的时间和一次quadraticCurveTo的时间差不多，但是quadraticCurveTo只需要一次就能画出曲线，而使用lineTo则需要数十次。

换言之，用这样的方式绘制曲线，和我们前面的实现方式相比性能下降了数十倍之多。在绘制一条曲线时可能感觉不到区别，但是如果需要同时绘制上千条曲线，性能就会受到很大的影响。

方法二

那有没有什么方法可以做到用quadraticCurveTo来实现绘制完整曲线的一部分呢？

我们再次回到这张图

在中间的某一时刻，例如t=0.25时，它是这样的：

我们注意到，曲线P0-B这一段似乎也是贝赛尔曲线，它的控制点变成了P0，Q0，B。

现在问题就迎刃而解了，我们只需要每次计算出Q0，B，就能得到其中一小段贝赛尔曲线的控制点，然后就可以通过quadraticCurveTo来绘制它了。

代码如下：

/**
 * 绘制一条曲线路径
 * @param  {Object} ctx canvas渲染上下文
 * @param  {Array<number>} start 起点
 * @param  {Array<number>} end 终点
 * @param  {number} curveness 曲度(0-1)
 * @param  {number} percent 绘制百分比(0-100)
 */
function drawCurvePath( ctx, start, end, curveness, percent ) {

    var cp = [
         ( start[ 0 ] + end[ 0 ] ) / 2 - ( start[ 1 ] - end[ 1 ] ) * curveness,
         ( start[ 1 ] + end[ 1 ] ) / 2 - ( end[ 0 ] - start[ 0 ] ) * curveness
    ];
    
    var t = percent / 100;
    
    var p0 = start;
    var p1 = cp;
    var p2 = end;
    
    var v01 = [ p1[ 0 ] - p0[ 0 ], p1[ 1 ] - p0[ 1 ] ];     // 向量<p0, p1>
    var v12 = [ p2[ 0 ] - p1[ 0 ], p2[ 1 ] - p1[ 1 ] ];     // 向量<p1, p2>

    var q0 = [ p0[ 0 ] + v01[ 0 ] * t, p0[ 1 ] + v01[ 1 ] * t ];
    var q1 = [ p1[ 0 ] + v12[ 0 ] * t, p1[ 1 ] + v12[ 1 ] * t ];
    
    var v = [ q1[ 0 ] - q0[ 0 ], q1[ 1 ] - q0[ 1 ] ];       // 向量<q0, q1>

    var b = [ q0[ 0 ] + v[ 0 ] * t, q0[ 1 ] + v[ 1 ] * t ];
    
    ctx.moveTo( p0[ 0 ], p0[ 1 ] );

    ctx.quadraticCurveTo( 
        q0[ 0 ], q0[ 1 ],
        b[ 0 ], b[ 1 ]
    );

}

将前面写的页面替换成上面的代码，可以看到得到的结果是一样的：

绘制动画

现在已经解决了最关键的问题，我们可以绘制动画啦。不过这一部分并不重要，我就不贴代码了。

完整代码可以看这里

结束

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我会在这里分享我的学习成果和经验，特别是canvas/WebGL/svg这方面的技术。如果有对前端图形绘制感兴趣的同学可以关注一下我的博客，收藏点star，订阅点watch。

最近才将博客搬到github，所以文章并不多，我会坚持写下去的！