一、背景

最近公司在安全方面的要求比较严格，需要自查业务有无安全问题，有则改之，无则加勉。

所以很多接口都需要将数据进行加密处理，所以就用到RSA加密了！

说到RSA并不陌生了，但是要是需要说明清楚，那也是很困难的，之前对RSA的了解也就局限在是非对称加密，有公钥和私钥，公钥用于加密，然后私钥用于解密。

于是乎有了本次的学习记录。

二、RSA官方定义

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的，RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

三、数论知识

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
互质又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。
模运算 即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。
欧拉函数 计算小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，以φ(n)表示。

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则φ(n) = φ(p^k) = p^k - p^(k-1)。

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

如果n可以分解成两个互质的整数之积，即 n = p * k ，则φ(n) = φ(p * k) = φ(p1)*φ(p2)

欧拉定理 对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有：
费马小定理 当m是质数p时，此式则为：
模反元素 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的“模反元素”。

四、最终公式（加密解密算法）

根据欧拉定理经过一系列转换得到的公式：

使用迪菲赫尔曼密钥交换得到最终RSA加密公式：

现在可以知道，加密解密的算法为：
加密：m^e % n = c
解密：c^d % n = m
m就是原始数据，c是密文，公钥是n和e，私钥是n和d，只有n和e是公开的。
由此可知如果想要破解RSA则需要知道φ(n)的值,只能对n进行因数分解。如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
大整数的因数分解，目前是一件非常困难的事情。除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。
所以只要n足够大，就可以认为RSA是安全的。

五、公钥和私钥生成过程

1.随机选择两个不相等的质数p和q。

2.计算p和q的乘积n。

3.计算n的欧拉函数φ(n)。

4.随机选择一个整数e，也就是公钥当中用来加密的那个数字

5.计算e对于φ(n)的模反元素d。也就是密钥当中用来解密的那个数字

6.将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

六、验证

p=3 q=5
n=15
φ(15)=(3-1)*(5-1) =8
e=3------->随机选
d=11-------3*11%8=1

公钥(15,3)  私钥(15,11)

m=3
3^3%15=12
12^11%15=3

m=6
6^3%15=6
6^11%15=6

搞定收工！

七、安全性

1999年，RSA-155 (512 bits)被成功分解，花了五个月时间（约8000 MIPS年）和224 CPU hours在一台有3.2G中央内存的Cray C916计算机上完成。

2009年12月12日，编号为RSA-768（768 bits, 232 digits）数也被成功分解。这一事件威胁了现通行的1024-bit密钥的安全性，普遍认为用户应尽快升级到2048-bit或以上。

现在1024的还是安全的，但是还是建议选择更大位数的。

八、RSA加密限制

RSA算法本身要求加密内容也就是明文长度m必须0<m<密钥长度n，

并且实际明文长度需要减去padding字节长度。

我们一般使用的padding标准有NoPPadding、OAEPPadding、PKCS1Padding等，其中PKCS#1建议的padding就占用了11个字节。

以PKCS#1为例，对于1024长度的密钥，128字节（1024bits）-减去11字节正好是117字节，但对于RSA加密来讲，padding也是参与加密的，所以，依然按照1024bits去理解，但实际的可以加密的明文只有117字节了。

那么问题来了，如果需要加密的明文大于限制应该如何去做？

（1）分段加密，将明文分割为117字节的多段，逐一进行加密

（2）只传递重要部分，比如改用对称加密，密文用RSA加密后传递

八、后记

本次学习并没有涉及到具体的代码实现，仅是了解了下原理，后面看个人兴趣吧~

数学家们真的是太强了，学好数学走遍天下都不怕！