前端 BezierCurves 相关知识

代码 github

什么是贝塞尔曲线

只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线(更加具体的解释可以搜索一下)

Photoshop的钢笔工具

感知一下

一般不会用到的高深专业参考书

挂钩的前端技术

canvas

canvas绘制二次贝塞尔曲线 -- quadraticCurveTo(demo2_1)

    var myCanvas = document.getElementById('myCanvas');
    var myCtx = myCanvas.getContext('2d');

    myCtx.beginPath();
    myCtx.moveTo(P0.x, P0.y);

    //利用quadraticCurveTo 绘制canvas 二次贝塞尔曲线
    // 填入控制点(P1) 和 终点(p2)
    myCtx.quadraticCurveTo(P1.x, P1.y, P2.x, P2.y);

    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();

topic_c5_5.png

canvas绘制三次贝塞尔曲线 -- bezierCurveTo(demo2_2)

    var myCanvas = document.getElementById('myCanvas');
    var myCtx = myCanvas.getContext('2d');

    myCtx.beginPath();
    myCtx.moveTo(P0.x, P0.y);

    //利用bezierCurveTo 绘制canvas 三次贝塞尔曲线
    // 填入控制点(P1,P2) 和 终点(p3)
    myCtx.bezierCurveTo(P1.x, P1.y, P2.x, P2.y, P3.x, P3.y);

    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();

topic_c5_6.png

svg(demo2_3)

svg -- path 可以绘制贝塞尔曲线

C 后面参数为控制点P1,控制点P2,以及终点P3
S 后面参数为控制点P1 和终点P3 (省略了P2)
Q 后面为控制点P1 和终点P2
T 后面为终点P2(省略P1)
L 直线

<svg width="190px" height="860px">
    <!--M moveTo  C 三次贝塞尔曲线  S 简化的三次贝塞尔曲线  Q 二次贝塞尔曲线 T 简化的二次贝塞尔曲线  L  直线-->

    <path d="M10 10 C 20 20, 40 20, 50 10" style="fill:none;stroke:red;"/>

    <path d="M10 50 S 150 150, 200 50" style="fill:none;stroke:red;"/>

    <path d="M10 150 Q 150 250, 200 150" style="fill:none;stroke:red;"/>

    <path d="M10 250 T 50 350 T 200 200" style="fill:none;stroke:red;"/>

    <path d="M10 350 L 50 450 L 200 300" style="fill:none;stroke:red;"/>
</svg>

topic_c5_8.png

动画缓动效果(demo2_4)

css ease 目前chrome浏览器有内置的工具

特殊的缓懂可以实现一些特殊的效果,例如(Out · Back)

![Uploading topic_c5_1_669418.png . . .]

canvas 动画也需要 ease效果,各个canvas 动画库都有支持,也涉及一系列动画的算法,不在此展开。

贝塞尔曲线绘制原理(demo1_1)

初始化二次贝塞尔曲线的起始点,控制点和终点

    var myCanvas = document.getElementById('myCanvas');
    var myCtx = myCanvas.getContext('2d');

    //初始化3个点
    var P0 = {
        x: 30,
        y: 30,
        name: 'P0'
    };
    var P1 = {
        x: 300,
        y: 300,
        name: 'P1'
    };
    var P2 = {
        x: 500,
        y: 30,
        name: 'P2'
    };


    var PointList = [P0, P1, P2];
    //绘制三个点
    for (var i = 0; i < PointList.length; i++) {
        var point = PointList[i];
        fillPoint(myCtx, point);
    }

    //连线P0,P1,P2
    linePoint(myCtx, PointList);

     function fillPoint(ctx, point) {
            if (!ctx || !point) {
                return false;
            }
            ctx.beginPath();
            ctx.arc(point.x, point.y, 2, 0, 2 * Math.PI, true);
            ctx.fill();
            ctx.font = "36px";
            ctx.fillText(point.name + '(' + point.x + ',' + point.y + ')', point.x + 10, point.y);
            ctx.closePath();
        }

     function linePoint(ctx, PointList) {
              if (!ctx || !PointList.length) {
                  return false;
              }
              ctx.beginPath();
              for (var i = 0; i < PointList.length; i++) {
                  var point = PointList[i];

                  if (i == 0) {
                      ctx.moveTo(point.x, point.y);
                  } else {
                      ctx.lineTo(point.x, point.y);
                  }
              }
              ctx.stroke();
              ctx.closePath();
          }

topic_c5_1.png

确定贝塞尔曲线上的某一点

          // 随意设置一个比例
          var t = 1 / 5;

          // 在线段P0P1 上找到t比例的点P3, 即 P0P3:P0P1=t;
          var P3 = {
              name: 'P3',
              x: P0.x + (P1.x - P0.x) * t,
              y: P0.y + (P1.y - P0.y) * t,
          }
          fillPoint(myCtx, P3);

          //在线段P1P2 上找到t距离的点 P4, 即P1P4:P1P2=t;
          var P4 = {
              name: 'P4',
              x: P1.x + (P2.x - P1.x) * t,
              y: P1.y + (P2.y - P1.y) * t,
          }
          fillPoint(myCtx, P4);

          //连线P3P4
          linePoint(myCtx, [P3, P4]);

          //在线段P3P4 上找到t距离的点P5  即P3P5:P3P4=t;
          var P5 = {
              name: 'P5',
              x: P3.x + (P4.x - P3.x) * t,
              y: P3.y + (P4.y - P3.y) * t,
          }
          fillPoint(myCtx, P5);
          console.log('P5 在P0P2 为起点终点,P1为控制点的 二次贝塞尔曲线上');

topic_c5_2.png

将一个点循环成曲线

      var precision = 500;
      for (var i = 0; i < precision; i++) {
          var t = i / precision;
          getBezierPoint(t);
      }

      // 根据t获得贝塞尔曲线上面的点
      function getBezierPoint(t) {
          // 在线段P0P1 上找到t比例的点P3, 即 P0P3:P0P1=t;
          var P3 = getTPoint(myCtx, P0, P1, t, {needfill: false})

          //在线段P1P2 上找到t距离的点 P4, 即P1P4:P1P2=t;
          var P4 = getTPoint(myCtx, P1, P2, t, {needfill: false});

          //在线段P3P4 上找到t距离的点P5  即P3P5:P3P4=t;
          var P5 = getTPoint(myCtx, P3, P4, t);

          return P5;
      }

      /*
       *  在线段P0P1 上找到点TP, 使P0TP:P0P1=t, 并绘制出来然后返回点
       * */

      function getTPoint(myCtx, P0, P1, t, option) {
          var needfill = true, name = '';

          if (option) {
              needfill = typeof option.needfill == 'boolean' ? option.needfill : true;
              name = option.name || '';
          }

          var TP = {
              name: name,
              x: P0.x + (P1.x - P0.x) * t,
              y: P0.y + (P1.y - P0.y) * t,
          }
          if (needfill) {
              fillPoint(myCtx, TP);
          }

          return TP;
      }

topic_c5_3.png

依次类推到三次贝塞尔曲线

由二次贝塞尔曲线变成多次贝塞尔曲线,原理是一样的,一层套一层,一个迭代的关系

将 getBezierPoint 重写,plist将大于等于3 (demo1_4)

// 根据t获得贝塞尔曲线上面的点
function getBezierPoint(plist, t) {
    var newlist = [];
    for (var i = 0; i < plist.length - 1; i++) {
        var p = getTPoint(myCtx, plist[i], plist[i + 1], t, {needFill: false});
        newlist.push(p);
    }

    if (newlist.length > 1) {
        return getBezierPoint(newlist, t);
    } else {
        return newlist[0];
    }
}

topic_c5_4.png

代码仓库(https://github.com/Lotuslwb/BezierCurves)

使用公式绘制贝塞尔曲线

topic_c5_9.png

topic_c5_10.png

topic_c5_11.png

(n k) 是什么呢

Binomial_coefficient

topic_c5_12.png

n=5:第一个系数（5 0）=5！/（0！5！）=1。第二个系数（5 1）=5！/（1！4！）=5。第三个系数（5 2）=5！/（2！3！）=10。接下来是对称的

    function binomial(n, k) {
         if ((typeof n !== 'number') || (typeof k !== 'number'))
      return false;
        var coeff = 1;
        for (var x = n-k+1; x <= n; x++) coeff *= x;
        for (x = 1; x <= k; x++) coeff /= x;
        return coeff;
    }

多次贝塞尔曲线的公式js版本

        function BezierFunction(plist, t) {

            if (t > 1 || t < 0) {
                return false;
            }


            // B(t)=P0*(1-t)^5 + 5*P1*t*(1-t)^4+10*P2*t^2(1-t)^3+10*P3*t^3(1-t)^2+ 5*P4*t^4*(1-t)^1+P5*t^5
            // 从 0 开始 到 P(n-1) ~~  3个点 为 2次贝塞尔曲线
            var n = plist.length - 1;
            var bt = 0;

            for (var i = 0; i <= n; i++) {
                bt += getBinomial(n, i) * plist[i] * Math.pow((1 - t), (n - i)) * Math.pow(t, i);
                return bt;
            }
        }

绘制贝塞尔曲线动画(demo4_1)

只需要将曲线的实现简化为点的运动就可以了

    drawKeyframe()

    function drawKeyframe() {
        currentPrecision++;
        if (currentPrecision <= maxPrecision) {
            myCtx.clearRect(0, 0, myCanvas.width, myCanvas.height);

            //绘制三个点
            for (var i = 0; i < PointList.length; i++) {
                var point = PointList[i];
                fillPoint(myCtx, point);
            }
            //连线P0,P1,P2
            linePoint(myCtx, PointList);
            var p = getBezierPoint(currentPrecision/maxPrecision);

            drawBall(myCtx, p, 10);


            window.requestAnimationFrame(drawKeyframe);
        }
    }

    function drawBall(ctx, point, r) {
        ctx.beginPath();
        ctx.arc(point.x, point.y, r, 0, 2 * Math.PI, true);
        ctx.fill();
        ctx.closePath();
    }


    // 根据t获得贝塞尔曲线上面的点
    function getBezierPoint(t) {
        var p = {
            x: quadraticBezierFunction(P0.x, P1.x, P2.x, t),
            y: quadraticBezierFunction(P0.y, P1.y, P2.y, t)
        };
        return p;
    }

如何绘制平滑的贝塞尔曲线(获取合理的控制点)

百度地图计算获取控制点(demo4_2)

        function getControlPoint() {
            var p0 = PointList[0]; //起始点
            var p2 = PointList[1]; //终止点
            var curveness = 0.3; //边的曲度
            var inv = 1;
            var p1 = {
                'name': 'P1',
                'x': (p0.x + p2.x) / 2 - inv * (p0.y - p2.y) * curveness,
                'y': (p0.y + p2.y) / 2 - inv * (p0.x - p2.x) * curveness
            };
            p2.name = 'P2';

            PointList.splice(1, 0, p1);
            for (var i = 0; i < PointList.length; i++) {
                var p = PointList[i];
                PointListX.push(p.x);
                PointListY.push(p.y);
            }
        }

贝塞尔曲线的一些应用

canvas 大波浪动效

用大波浪做loading, qq的例子如下, 文章链接

topic_c5_4.gif

先用canvas + quadraticCurveTo 画出波浪曲线(demo5_1)

        var myCanvas = document.getElementById('myCanvas');
        var myCtx = myCanvas.getContext('2d');
        var canvasHeight = myCanvas.height, canvasWidth = myCanvas.width;
        var animationFrame;
        //半波长
        var waveLen = 100, waveHeight = 30;
        //水位线初始点
        var p0 = {
            x: 0,
            y: canvasHeight / 2
        };

        drawKeyframe();

        function drawKeyframe() {
            //记录当前位置
            var currentX = p0.x, currentY = p0.y;
            myCtx.clearRect(0, 0, canvasWidth, canvasHeight);
            myCtx.beginPath();
            myCtx.moveTo(p0.x, p0.y);
            for (var i = 0; currentX <= canvasWidth + waveLen; i++) {
                if (i % 2 == 0) {
                    //上半部波
                    myCtx.quadraticCurveTo(currentX + waveLen, currentY - waveHeight, currentX + waveLen * 2, currentY);
                } else {
                    //下半部波
                    myCtx.quadraticCurveTo(currentX + waveLen, currentY + waveHeight, currentX + waveLen * 2, currentY);
                }
                currentX += waveLen * 2;
                myCtx.moveTo(currentX, currentY)
            }
            myCtx.lineWidth = 5;
            myCtx.fillStyle = "red";
            myCtx.lineTo(canvasWidth, canvasHeight);
            myCtx.lineTo(0, canvasHeight);
            myCtx.lineTo(0, canvasHeight / 2);
            myCtx.fill();
            myCtx.closePath();
            p0.x -= 5;
            animationFrame = window.requestAnimationFrame(drawKeyframe);
        }

增加动画效果 (demo5_2)

topic_c5_13.gif

贝塞尔曲线拟合计算

贝塞尔曲线有一个非常常用的动画效果——MetaBall算法。
相信很多开发者都见过类似的动画，例如QQ的小红点消除，下拉刷新loading等等。
要做好这个动画，实际上最重要的就是通过贝塞尔曲线来拟合两个图形。

topic_c5_14.png

矩形拟合 (demo5_3)

控制点为两圆圆心连线的中点，
连接线为图中的这样一个矩形，
当圆比较小时，这种通过矩形来拟合的方式几乎是没有问题的。
我们把圆放大,就会不拟合。


    // 圆R0 圆点
    var p0 = {
        x: 120,
        y: 120,
        r: 20
    };
    // 圆R1 圆点
    var p1 = {
        x: 400,
        y: 400,
        r: 20
    };
    //获得  R0 和 R1 的中点
    var p2 = {
        x: (p0.x + p1.x) / 2,
        y: (p0.y + p1.y) / 2,
        name: 'p2'
    };

    myCtx.beginPath();
    //画出2个圆
    myCtx.arc(p0.x, p0.y, p0.r, 0, 2 * Math.PI, true);
    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();

    myCtx.beginPath();
    myCtx.arc(p1.x, p1.y, p1.r, 0, 2 * Math.PI, true);
    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();


    //画出中点和圆心连线
    linePoint(myCtx, [p0, p1]);
    fillPoint(myCtx, p2);

    // p0 的2个端点
    var p0_1 = {
        x: p0.x - p0.r / Math.sqrt(2),
        y: p0.y + p0.r / Math.sqrt(2),
        name: 'p0_1'
    }, p0_2 = {
        x: p0.x + p0.r / Math.sqrt(2),
        y: p0.y - p0.r / Math.sqrt(2),
        name: 'p0_2'
    };
    linePoint(myCtx, [p0_1, p0_2]);
    fillPoint(myCtx, p0_1);
    fillPoint(myCtx, p0_2);

    //p1 的2个端点
    var p1_1 = {
        x: p1.x - p1.r / Math.sqrt(2),
        y: p1.y + p1.r / Math.sqrt(2),
        name: 'p1_1'
    }, p1_2 = {
        x: p1.x + p1.r / Math.sqrt(2),
        y: p1.y - p1.r / Math.sqrt(2),
        name: 'p1_2'
    };
    linePoint(myCtx, [p1_1, p1_2]);
    fillPoint(myCtx, p1_1);
    fillPoint(myCtx, p1_2);

    // 连接2个圆的端点
    linePoint(myCtx, [p0_1, p1_1]);
    linePoint(myCtx, [p0_2, p1_2]);


    //绘制曲线
    myCtx.beginPath();
    myCtx.strokeStyle = 'red';
    myCtx.moveTo(p0_1.x, p0_1.y);
    myCtx.quadraticCurveTo(p2.x, p2.y, p1_1.x, p1_1.y);
    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();

    myCtx.beginPath();
    myCtx.strokeStyle = 'red';
    myCtx.moveTo(p0_2.x, p0_2.y);
    myCtx.quadraticCurveTo(p2.x, p2.y, p1_2.x, p1_2.y);
    myCtx.stroke();
    myCtx.closePath();

切线拟合(demo5_5)

如前面所说，矩形拟合在半径较小的情况下，是可以实现完美拟合的，而当半径变大后，就会出现贝塞尔曲线与圆相交的情况，导致拟合失败。

那么如何来实现完美的拟合呢？实际上，也就是说贝塞尔曲线与圆的连接点到贝塞尔曲线的控制点的连线，一定是圆的切线，这样的话，无论圆的半径如何变化，贝塞尔曲线一定是与圆拟合的，具体效果如图所示：

topic_c5_15.jpeg

    // 获取切点坐标 数组,经过圆外一点有2个切点
    //p0 为圆心1, p1圆心1, p2为2圆中点,r为圆的半径
    function getTangencyPoint(p0, p1, p2, r, sencond) {
        //获取小角 角度
        var x = Math.abs(p0.x - p1.x);
        var y = Math.abs(p0.y - p1.y);
        var angles1 = Math.atan(y / x);

        if (sencond) {
            angles1 = Math.PI - angles1;
        }

        //获取大角 角度
        //中点到圆点的距离
        var len = Math.sqrt((p0.x - p2.x) * (p0.x - p2.x) + (p0.y - p2.y) * (p0.y - p2.y));
        var angles2 = Math.acos(r / len);

        //获得需要的角度
        var angles3 = Math.abs(angles2 - angles1);
        //获取距离圆心的距离
        var diffx = Math.cos(angles3) * r;
        var diffy = Math.sin(angles3) * r;


        return [{
            x: p0.x - diffy,
            y: p0.y + diffx
        }, {
            x: p0.x + diffx,
            y: p0.y - diffy
        }]

    }

最终效果 (demo5_7)

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