专栏 | 九章算法
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今天，九章算法为大家悉心准备了史上最强的位运算知识点大总结！

1. 位运算基本操作知识小结

1.1 左移操作 a << b

将A的二进制表示的每一位向左移B位，左边超出的位截掉，右边不足的位补0

A = 1100  B = 2
A << B = 110000

1.2 右移操作分为算数右移和逻辑右移

算术右移是带符号的右移，逻辑右移是不带符号的右移。

算术右移：将A的二进制表示的每一位向右移B位，右边超出的位截掉，左边不足的位补符号位的数。

逻辑右移：将A的二进制表示的每一位向右移B位，右边超出的位截掉，左边不足的位补0。

C语言：只有逻辑右移 A >> B

JAVA 和 Python中：算术右移 A >> B , 逻辑右移 A >>> B

A = 11111111111111111111111110000001
B = 2
A >> B = 11111111111111111111111111100000
A >>> B = 00111111111111111111111111100000

1.3 按位与操作 a & b

将A和B的二进制表示的每一位进行与操作，只有两个对应的二进制位都为1时，结果位才为1，否则为0.

A = 001010
B = 101100
A & B = 001000

1.4 按位或操作 a | b

将A和B的二进制表示的每一位进行或操作，只要两个对应的二进制位有一个为1，结果位就为1，否则为0.

A = 001010
B = 101100
A | B = 101110

1.5 按位非操作 ~ a

将A的二进制表示每一位进行取反操作，如果对应的二进制位为0，结果位为1，否则为0.

 A = 00000000000000000000000000001010
~A = 11111111111111111111111111110101

1.6 按位异或操作 a ^ b

将A和B的二进制表示的每一位进行异或操作，如果对应的二进制位不同，结果位为1，否则为0.

A = 001010
B = 101100
A ^ B = 100110

2. 应用实战练习

2.1 应用一

给出两个32位的整数N和M，以及两个二进制位的位置i和j。写一个方法来使得N中的第i到j位等于M（M会是N中从第i为开始到第j位的子串）。

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/update-bits/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/update-bits/

思路解析：

根据题意，可以有一个想法，将n中第i位到第j位的先置为0，然后，按位或m << i即可。

现在问题是如何将n中第i位到第j位置为0，可以考虑构造一个数，这个数从第i位到第j位是0，其他位都为1。

这样的数并不是很好构造，所以，我们构造一个数从第i位到第j位都是1，其他位为0的数，然后将这个数取反，就可以得到从第i位到第j位是0，其他位是1的数。

-1的二进制表示是所有位为1，我们以这个数为起点。需要的做的是将高(31-j)位置0，将低i位置0。

将-1先左移(31-j)位，因为高(31-j)位都是不需要的。

然后再将((-1) << (31 - j))逻辑右移(31 - j + i)位，因为要将低i位置0.

然后再将(((-1) <<(31 - j)) >>> (31 - j + i))左移i位，将1恢复到正确的位置即可。即得到第i位到第j位是1，其他位是0的数。

2.2 应用二

给出两个整数a和b, 求他们的和, 但不能使用 + 等数学运算符。

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/a-b-problem/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/a-b-problem/

思路解析：
这里引用九章算法的答案：九章算法LeetCode答案查询

3. 有用小技巧

3.1 技巧一

x & (x - 1) 用于消去x最后一位的1

x = 1100
x - 1 = 1011
x & (x - 1) = 1000

应用一

用 O(1) 时间检测整数 n 是否是 2 的幂次。

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/o1-check-power-of-2/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/o1-check-power-of-2/

思路解析：
N如果是2的幂次，则N满足两个条件。

1.N >0
2.N的二进制表示中只有一个1

因为N的二进制表示中只有一个1，所以使用N & (N - 1)将N唯一的一个1消去，应该返回0。

应用二

计算在一个 32 位的整数的二进制表式中有多少个 1。

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/count-1-in-binary/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/flip-bits/count-1-in-binary/

思路解析：

由x & (x - 1)消去x最后一位的1可知。不断使用 x & (x - 1) 消去x最后一位的1，计算总共消去了多少次即可。

应用三

如果要将整数A转换为B，需要改变多少个bit位？

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/flip-bits/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/flip-bits/

解题思路：
这个应用是上面一个应用的拓展。

思考将整数A转换为B，如果A和B在第i（0<=i<32）个位上相等，则不需要改变这个BIT位，如果在第i位上不相等，则需要改变这个BIT位。所以问题转化为了A和B有多少个BIT位不相同。联想到位运算有一个异或操作，相同为0，相异为1，所以问题转变成了计算A异或B之后这个数中1的个数。

3.2 技巧二

使用二进制进行子集枚举

应用

给定一个含不同整数的集合，返回其所有的子集。

在线测试网址：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/subsets/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/subsets/

解题思路：

思路就是使用一个正整数二进制表示的第i位是1还是0，代表集合的第i个数取或者不取。

所以从0到2^n-1总共2^n个整数，正好对应集合的2^n个子集。

S = {1,2,3}
N bit Combination
0 000 {}
1 001 {1}
2 010 {2}
3 011 {1,2}
4 100 {3}
5 101 {1,3}
6 110 {2,3}
7 111 {1,2,3}

3.3 技巧三

a ^ b ^ b = a

应用一

数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数

在线测试网址：http://www.lintcode.com/en/problem/single-number/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/single-number/

思路解析：
因为只有一个数恰好出现一个，剩下的都出现过两次，所以只要将所有的数异或起来，就可以得到唯一的那个数。

应用二

数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的数

在线测试网址：http://www.lintcode.com/en/problem/single-number-iii/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/single-number-iii/

思路解析：

因为数是出现三次的，也就是说，对于每一个二进制位，如果只出现一次的数在该二进制位为1，那么这个二进制位在全部数字中出现次数无法被3整除。

膜3运算只有三种状态：00,01,10，因此我们可以使用两个位来表示当前位%3，对于每一位，我们让Two，One表示当前位的状态，B表示输入数字的对应位，Two+和One+表示输出状态。

0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
One+ = (One ^ B) & (~Two)
Two+ = (~One+) & (Two ^ B)

应用三

数组中，只有两个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数

在线测试网址：http://www.lintcode.com/en/problem/single-number-iii/
参考答案网址：http://www.jiuzhang.com/solutions/single-number-iii/

思路解析：

有了第一题的基本的思路，我们可以将数组分成两个部分，每个部分里只有一个元素出现一次，其余元素都出现两次。那么使用这种方法就可以找出这两个元素了。

不妨假设出现一个的两个元素是x，y，那么最终所有的元素异或的结果就是res = x^y。并且res！=0，那么我们可以找出res二进制表示中的某一位是1。对于原来的数组，我们可以根据这个位置是不是1就可以将数组分成两个部分。x，y在不同的两个子数组中。而且对于其他成对出现的元素，要么在x所在的那个数组，要么在y所在的那个数组。

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