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二叉树的一种应用是无歧义地表示代数、关系或逻辑表达式。在上个世纪20年代初期，波兰的逻辑学家发明了一种命题逻辑的特殊表示方法，允许从公式中删除所有括号，称之为波兰表示法。但是，与原来带括号的公式相比，使用波兰表示法降低了公式的可读性，没有得到广泛的使用。在计算机出现后，这一表示…

承接上文，探讨kd二叉查找树的平衡、删除改进以及运用。 无论是普通的二叉查找树还是kd二叉查找树，频繁的添加以及删除操作都可能破坏整棵树的平衡，怎么办呢？对于普通的二叉查找树，可以通过DSW算法或者AVL算法进行平衡，相关内容可以看这里，数据结构与算法-二叉查找树(DSW)和数…

前面探讨的各种二叉树，使用一个键值在树中导航以执行必要的操作，二叉树中每个节点都有唯一的一个key值，通过key我们可以组织二叉查找树、平衡树、自适应树、堆等，从某种意义上讲，这是一维的二叉树。假如我们现在要研究二维平面上n个点的性质，怎么将它们组织成二叉树呢？如果是3维空间或…

上图是大顶堆，如果每个节点小于等于其每个子节点的值，那它就是小顶堆。 有趣的是，堆可以通过数组来实现。例如，数组 data = [50 43 49 15 28 40 30 5 10 23 15 20] 可以表示上面的堆。数组中元素的排放顺序表示节点按照从顶到底、每一层从左到右的…

平衡树主要关心的是使树不要倾向一方，理想状况下，叶节点只出现在一两个层次上。因此，新近到达的元素威胁到树的平衡，就要立即在局部重新构造树(AVL方法)或重新创建树(DSW方法)，从而纠正这一问题。然后，这样的重新构造是否总是必要？二叉查找树用来快速插入、检索和删除元素，重要的是…

上节讨论的DSW算法可以从全局重新平衡树：每个节点都可能参与树的重新平衡，或者从节点中移除数据，或者重新设置指针的值。但是，当插入或删除元素时，将只影响树的一部分，此时树的重新平衡可以只在局部进行。局部平衡二叉查找树有一个鼎鼎大名的算法，叫做AVL算法，由AVL算法构建出来的二…

上一节探讨了二叉查找树的基本操作，二叉查找树的查找效率在理想状态下是O(lgn)，使用该树进行查找总是比链表快得多。但是，该论点并不总是正确，因为查找效率和二叉树的形状息息相关。就像这样： 图1-1给出了3颗二叉查找树，它们存储着相同的数据，但很明显，图1-1(A)的树是最好的…

了解二叉树的定义以及二叉树遍历之后，我们继续探讨二叉树的使用。二叉树是一种数据结构，是用来处理数据的。数据处理最简单的需求是查找、添加、删除，有一种二叉查找树可以满足以上需求。 二叉查找树也可以称之为有序二叉树。二叉查找树具有如下特性： 对于树中的每个节点n，其左子树中的值都小…

树的遍历是当且仅当访问树中每个节点一次的过程。遍历可以解释为把所有的节点放在一条线上，或者将树线性化。 遍历的定义只指定了一个条件：每个节点仅访问一次，没有指定这些节点的访问顺序。因此，节点有多少种排列方式，就有多少种遍历方法。对于有n个节点的树，共有n！个不同的遍历方式。然而…