人工智能之数学基础离散数学：第三章组合数学人工智能之数学基础离散数学第三章组合数学前言组合数学是离散数学的

人工智能之数学基础离散数学

第三章组合数学

前言

组合数学是离散数学的核心分支，研究离散对象的计数、构造与优化。它在密码学、算法设计、概率论、机器学习特征工程、AI 组合优化等领域有广泛应用。本文系统讲解：

基本计数原理（加法/乘法原理）
排列与组合（含重复、环排列）
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）
生成函数（Generating Functions）简介
AI 中的组合优化问题（如子集选择、超参数组合）
配套 Python 代码实现（math、itertools、自定义函数、实际案例）

一、基本计数原理

1. 加法原理（Sum Rule）

若完成一件事有 $m$ 种互斥方式，另一件事有 $n$ 种互斥方式，则完成其中任一件事共有 $m + n$ 种方式。

✅ 示例：从 A 到 B 有 3 条路，从 A 到 C 有 2 条路，则从 A 到 B 或 C 共有 $3 + 2 = 5$ 种走法。

2. 乘法原理（Product Rule）

若完成一件事需分两步，第一步有 $m$ 种方式，第二步有 $n$ 种方式，则总共有 $m \times n$ 种方式。

✅ 示例：3 件上衣 × 4 条裤子 = 12 套搭配。

二、排列与组合

1. 排列（Permutation）— 顺序重要

(1) 无重复排列

从 $n$ 个不同元素中选 $r$ 个进行排列：

P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}

全排列： $P(n, n) = n!$

(2) 有重复排列

若元素可重复（如密码），则 $n$ 个位置每个有 $k$ 种选择 → $k^n$

(3) 环排列（Circular Permutation）

$n$ 个不同元素围成一圈的排列数为：

(n - 1)!

💡 因旋转视为相同（固定一人，其余排列）

2. 组合（Combination）— 顺序无关

从 $n$ 个不同元素中选 $r$ 个（不考虑顺序）：

C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}

性质：

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}$
帕斯卡恒等式： $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$
二项式定理： $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$

3. 重复组合（Stars and Bars）

从 $n$ 类物品中选 $r$ 个（允许重复，顺序无关）：

\binom{n + r - 1}{r}

✅ 示例：将 5 个相同球放入 3 个不同盒子 → $\binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = 21$

三、容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）

用于计算多个集合的并集大小，避免重复计数。

1. 两个集合

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

2. 三个集合

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

3. 一般形式（n 个集合）

\left| \bigcup_{i=1}^n A_i \right| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} |A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}|

📌 经典应用：错位排列（Derangement）

问题： $n$ 封信装入 $n$ 个信封，全部装错的方案数 $D_n$
公式： $D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{n!}\right)$
近似： $D_n \approx \frac{n!}{e}$

四、AI 中的组合优化问题

组合数学在 AI 中常以组合优化（Combinatorial Optimization） 形式出现：

问题类型	描述	组合数学工具
特征子集选择	从 $d$ 个特征中选 $k$ 个	$\binom{d}{k}$ 枚举或启发式
超参数组合搜索	网格搜索所有参数组合	笛卡尔积（乘法原理）
任务分配	将 $n$ 个任务分配给 $n$ 个工人	排列 $n!$
聚类标签分配	$k$ 个簇标记 $n$ 个点	$k^n$ （允许空簇）
路径规划	TSP 旅行商问题	全排列 $(n-1)!/2$

⚠️ 挑战：组合爆炸（Combinatorial Explosion）例如： $\binom{100}{10} \approx 1.7 \times 10^{13}$ ，无法穷举 → 需启发式（遗传算法、模拟退火）或剪枝。

五、Python 代码实现

1. 导入库

import math
from itertools import permutations, combinations, product
from functools import lru_cache

2. 基本计数函数

# 阶乘
def factorial(n):
    return math.factorial(n)

# 排列 P(n, r)
def perm(n, r):
    if r > n or r < 0:
        return 0
    return math.perm(n, r)  # Python 3.8+

# 组合 C(n, r)
def comb(n, r):
    if r > n or r < 0:
        return 0
    return math.comb(n, r)  # Python 3.8+

# 重复组合
def comb_with_replacement(n, r):
    return comb(n + r - 1, r)

# 环排列
def circular_perm(n):
    if n <= 1:
        return 1
    return factorial(n - 1)

# 测试
print("P(5,3) =", perm(5, 3))          # 60
print("C(5,3) =", comb(5, 3))          # 10
print("重复组合 C(3,5) =", comb_with_replacement(3, 5))  # 21
print("5人环排列 =", circular_perm(5))  # 24

3. 容斥原理：错位排列（Derangement）

@lru_cache(maxsize=None)
def derangement(n):
    """递归计算错位排列数 D_n"""
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return 0
    return (n - 1) * (derangement(n - 1) + derangement(n - 2))

# 或使用容斥公式
def derangement_inclusion(n):
    total = 0
    for k in range(n + 1):
        sign = (-1) ** k
        total += sign * comb(n, k) * factorial(n - k)
    return total

# 测试
for n in range(1, 8):
    print(f"D({n}) = {derangement(n)} (递归), {derangement_inclusion(n)} (容斥)")

输出：

D(1) = 0, D(2) = 1, D(3) = 2, D(4) = 9, D(5) = 44, ...

4. itertools 实战：生成所有组合/排列

items = ['A', 'B', 'C']

# 所有排列（全排列）
print("全排列:", list(permutations(items)))
# [('A','B','C'), ('A','C','B'), ...]

# 选2个的组合
print("C(3,2):", list(combinations(items, 2)))
# [('A','B'), ('A','C'), ('B','C')]

# 选2个的排列
print("P(3,2):", list(permutations(items, 2)))
# [('A','B'), ('A','C'), ('B','A'), ...]

# 笛卡尔积（网格搜索基础）
params = {
    'lr': [0.01, 0.1],
    'batch_size': [32, 64]
}
keys, values = zip(*params.items())
configurations = [dict(zip(keys, v)) for v in product(*values)]
print("超参数组合:")
for cfg in configurations:
    print(cfg)

5. AI 应用案例：特征子集选择（暴力 vs 启发式）

import numpy as np
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import cross_val_score

# 生成高维数据
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=10, n_informative=3, random_state=42)
n_features = X.shape[1]

# 暴力搜索：所有大小为 k 的子集
def brute_force_feature_selection(X, y, k=3):
    best_score = -1
    best_subset = None
    for subset in combinations(range(n_features), k):
        X_sub = X[:, subset]
        score = np.mean(cross_val_score(LogisticRegression(), X_sub, y, cv=3))
        if score > best_score:
            best_score = score
            best_subset = subset
    return best_subset, best_score

# 测试（仅适用于小规模）
if n_features <= 12:  # 避免组合爆炸
    subset, score = brute_force_feature_selection(X, y, k=3)
    print(f"最佳特征子集: {subset}, CV Score: {score:.4f}")
else:
    print("特征数过多，跳过暴力搜索")

💡 实际中常用 递归特征消除（RFE） 或 L1 正则化 替代暴力搜索。

6. 容斥原理：计算“至少一个”的概率

问题：从 1~100 中随机选一个数，能被 2、3 或 5 整除的概率？

def count_divisible(n, divisors):
    """使用容斥原理计算 [1,n] 中能被任意 divisor 整除的数的个数"""
    from itertools import combinations
    total = 0
    m = len(divisors)
    for r in range(1, m + 1):
        for combo in combinations(divisors, r):
            lcm = np.lcm.reduce(combo)  # 最小公倍数
            count = n // lcm
            if r % 2 == 1:
                total += count
            else:
                total -= count
    return total

n = 100
divisors = [2, 3, 5]
count = count_divisible(n, divisors)
prob = count / n
print(f"能被 2,3,5 中至少一个整除的数: {count}/{n} → 概率 ≈ {prob:.4f}")
# 输出: 74/100 → 0.74

六、高级话题：生成函数（简要）

生成函数将序列 $\{a_n\}$ 编码为幂级数：

G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n

普通生成函数：用于组合计数
指数生成函数：用于排列计数

✅ 示例： $(1 + x)^n$ 是 $\binom{n}{k}$ 的生成函数。

# 使用 sympy 计算生成函数系数
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
n = 5
gf = (1 + x)**n
coeffs = [sp.expand(gf).coeff(x, k) for k in range(n+1)]
print(f"(1+x)^{n} 的系数:", coeffs)  # [1, 5, 10, 10, 5, 1]

七、总结

概念	公式	应用场景
排列	$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$	密码、调度
组合	$\binom{n}{r}$	抽样、子集选择
重复组合	$\binom{n+r-1}{r}$	资源分配
容斥原理	$\\|\cup A_i\\| = \sum (-1)^{k+1} \\|\cap A_{i_k}\\|$	概率、错排
错位排列	$D_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$	密码学、匹配问题

💡 关键洞见：

组合爆炸是 AI 的核心挑战之一，需平衡精确性与效率；

itertools 是 Python 处理组合问题的利器；

容斥原理是处理“至少/至多”问题的通用框架；

在特征工程、超参调优、强化学习动作空间设计中，组合思维至关重要。

后续

python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新。

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