人工智能之数学基础 离散数学：第一章 集合论与逻辑推理

咚咚王
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人工智能之数据基础 离散数学

第一章 集合论与逻辑推理

前言

离散数学是计算机科学、人工智能和形式化方法的理论基石。集合论提供了数据结构的抽象基础，命题逻辑和谓词逻辑则是知识表示、自动推理和规则系统的核心工具。本文系统讲解：

  • 集合的基本概念与运算
  • 命题逻辑：语法、真值表、等价与推理规则
  • 谓词逻辑：量词、AI 中的知识表示（如专家系统）
  • 配套 Python 代码实现（使用 sympy.logic、自定义类、规则引擎示例）

一、集合论（Set Theory）

1. 基本概念

  • 集合（Set）：无序、互异元素的汇集，记作 A={a,b,c}A = \{a, b, c\}
  • 元素（Element）：x∈Ax \in A 表示 xx 属于 AA
  • 空集：∅\emptyset 或 {}\{\}
  • 全集：讨论范围内的所有元素，记为 UU

2. 集合运算

运算符号定义Python
并集A∪BA \cup B{x∣x∈A 或 x∈B}\{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}A | B
交集A∩BA \cap B{x∣x∈A 且 x∈B}\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}A & B
差集A−BA - B{x∣x∈A 且 x∉B}\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}A - B
对称差A△BA \triangle B(A−B)∪(B−A)(A - B) \cup (B - A)A ^ B
补集AcA^cU−AU - AU - A
幂集P(A)\mathcal{P}(A)AA 的所有子集itertools.chain.from_iterable(...)

3. 集合恒等式（定律）

  • 交换律：A∪B=B∪AA \cup B = B \cup A
  • 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
  • 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  • 德·摩根律：
    (A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc(A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

✅ Python 实现：集合运算与幂集

from itertools import chain, combinations

# 基本集合运算
U = set(range(1, 11))  # 全集 {1,2,...,10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

print("A =", A)
print("B =", B)
print("A ∪ B =", A | B)
print("A ∩ B =", A & B)
print("A - B =", A - B)
print("A △ B =", A ^ B)
print("Aᶜ =", U - A)

# 幂集生成
def powerset(s):
    s = list(s)
    return list(chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1)))

print("\n𝒫(A) =", powerset(A))

二、命题逻辑（Propositional Logic）

1. 基本概念

  • 命题（Proposition）：可判断真假的陈述句，如 “今天下雨”（记为 PP）
  • 逻辑联结词：
    • 否定：¬P\neg P（非 P）
    • 合取：P∧QP \land Q（P 且 Q）
    • 析取：P∨QP \lor Q（P 或 Q）
    • 蕴涵：P→QP \to Q（若 P 则 Q）
    • 等价：P↔QP \leftrightarrow Q（P 当且仅当 Q）

💡 蕴涵 P→QP \to Q 等价于 ¬P∨Q\neg P \lor Q

2. 真值表（Truth Table）

PQ¬P\neg PP∧QP \land Q P∨QP \lor QP→QP \to Q P↔QP \leftrightarrow Q
TTFTTTT
TFFFTFF
FTTFTTF
FFTFFTT

3. 逻辑等价（Logical Equivalences）

  • 双重否定：¬(¬P)≡P\neg(\neg P) \equiv P
  • 德·摩根律：
    ¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q,¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q, \quad \neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q
  • 蕴涵等价：P→Q≡¬P∨QP \to Q \equiv \neg P \lor Q
  • 逆否命题：P→Q≡¬Q→¬PP \to Q \equiv \neg Q \to \neg P

4. 推理规则（Rules of Inference）

  • 假言推理（Modus Ponens）：
    P→Q, P∴Q\frac{P \to Q,\ P}{\therefore Q}
  • 拒取式（Modus Tollens）：
    P→Q, ¬Q∴¬P\frac{P \to Q,\ \neg Q}{\therefore \neg P}
  • 假言三段论：
    P→Q, Q→R∴P→R\frac{P \to Q,\ Q \to R}{\therefore P \to R}

✅ Python 实现：命题逻辑（使用 SymPy）

from sympy import symbols
from sympy.logic import And, Or, Not, Implies, Equivalent
from sympy.logic.boolalg import truth_table

# 定义命题变量
P, Q, R = symbols('P Q R')

# 构造复合命题
expr1 = Implies(P, Q)          # P → Q
expr2 = Equivalent(P, Q)       # P ↔ Q
expr3 = And(P, Or(Q, Not(R)))  # P ∧ (Q ∨ ¬R)

print("表达式1:", expr1)
print("表达式2:", expr2)
print("表达式3:", expr3)

# 生成真值表
print("\n真值表 (P → Q):")
for row in truth_table(expr1, [P, Q]):
    print(row)

三、谓词逻辑（Predicate Logic）

1. 为什么需要谓词逻辑？

命题逻辑无法表达个体、属性和关系。 例如：“所有人类都会死” —— 需要量词和谓词。

2. 基本构件

  • 个体常量：Socrates, Alice
  • 谓词：Human(x), Mortal(x), Loves(x, y)
  • 量词：
    • 全称量词：∀x P(x)\forall x\, P(x)（对所有 x，P(x) 成立）
    • 存在量词：∃x P(x)\exists x\, P(x)（存在 x 使得 P(x) 成立）

3. 示例：经典三段论

  1. ∀x (Human(x)→Mortal(x))\forall x\, (\text{Human}(x) \to \text{Mortal}(x))
  2. Human(Socrates)\text{Human}(\text{Socrates})
  3. ∴ Mortal(Socrates)\text{Mortal}(\text{Socrates})

✅ 这是一阶逻辑（First-Order Logic, FOL） 的典型推理

4. 量词的否定

  • ¬∀x P(x)≡∃x ¬P(x)\neg \forall x\, P(x) \equiv \exists x\, \neg P(x)
  • ¬∃x P(x)≡∀x ¬P(x)\neg \exists x\, P(x) \equiv \forall x\, \neg P(x)

四、AI 中的逻辑应用：规则表示与推理

1. 专家系统（Expert Systems）

使用产生式规则（Production Rules）：

IF Human(X) THEN Mortal(X)
IF Parent(X, Y) AND Male(X) THEN Father(X, Y)

2. 知识图谱与逻辑查询

  • 谓词 LivesIn(Alice, Paris) 可用于推理
  • 查询：∃x (LivesIn(x, Paris) ∧ WorksAt(x, Google))

3. 自动定理证明

  • 输入公理和目标，系统自动推导是否成立
  • 如：Coq, Prolog, Z3 求解器

✅ Python 实现：简单规则引擎（基于谓词逻辑）

# 知识库：事实 + 规则
facts = {
    ('Human', 'Socrates'),
    ('Human', 'Plato'),
    ('Parent', 'Zeus', 'Athena'),
    ('Male', 'Zeus')
}

# 规则：(前提列表, 结论)
rules = [
    # Rule 1: ∀x (Human(x) → Mortal(x))
    ([('Human', 'X')], ('Mortal', 'X')),
    
    # Rule 2: ∀x∀y (Parent(x,y) ∧ Male(x) → Father(x,y))
    ([('Parent', 'X', 'Y'), ('Male', 'X')], ('Father', 'X', 'Y'))
]

def unify(var, value, theta):
    """合一：将变量 var 替换为 value"""
    if var in theta:
        return unify(theta[var], value, theta)
    elif value in theta:
        return unify(var, theta[value], theta)
    else:
        theta[var] = value
        return theta

def match_rule(rule, facts):
    premises, conclusion = rule
    matches = []
    for fact in facts:
        theta = {}
        if len(fact) == len(premises[0]) and premises[0][0] == fact[0]:
            # 简单匹配（仅处理单前提规则）
            for i in range(1, len(fact)):
                if premises[0][i].startswith('?') or premises[0][i].isupper():
                    theta = unify(premises[0][i], fact[i], theta)
                elif premises[0][i] != fact[i]:
                    theta = None
                    break
            if theta is not None:
                # 应用 theta 到结论
                new_fact = [conclusion[0]]
                for term in conclusion[1:]:
                    new_fact.append(theta.get(term, term))
                matches.append(tuple(new_fact))
    return matches

# 推理：应用规则生成新事实
new_facts = set()
for rule in rules:
    inferred = match_rule(rule, facts)
    new_facts.update(inferred)

print("原始事实:")
for f in facts: print(f)
print("\n推理出的新事实:")
for f in new_facts: print(f)

📌 输出：

推理出的新事实:
('Mortal', 'Socrates')
('Mortal', 'Plato')
('Father', 'Zeus', 'Athena')

✅ 使用 Z3 求解器进行自动推理（高级）

# pip install z3-solver
from z3 import *

# 声明类型和函数
Person = DeclareSort('Person')
Human = Function('Human', Person, BoolSort())
Mortal = Function('Mortal', Person, BoolSort())

socrates = Const('socrates', Person)

# 公理
axiom1 = ForAll([Person], Implies(Human(Person), Mortal(Person)))
fact1 = Human(socrates)

# 创建求解器
solver = Solver()
solver.add(axiom1)
solver.add(fact1)

# 查询：Mortal(socrates) 是否成立？
query = Mortal(socrates)
solver.add(Not(query))  # 反证法：假设不成立

if solver.check() == unsat:
    print("✅ 可推导出: Mortal(socrates)")
else:
    print("❌ 无法推导")

五、逻辑在 AI 中的实际应用

应用领域逻辑形式工具/系统
专家系统产生式规则（IF-THEN）CLIPS, Drools
知识图谱推理描述逻辑（DL）OWL, SPARQL
程序验证霍尔逻辑Coq, Isabelle
约束满足问题命题逻辑/SMTZ3, MiniSat
自然语言理解谓词逻辑Prolog, λ-演算

💡 现代趋势：神经符号系统（Neuro-Symbolic AI）结合深度学习与逻辑推理

六、总结

主题核心思想计算机意义
集合论数据的抽象容器数据结构、数据库理论基础
命题逻辑真假组合与推理电路设计、布尔搜索、SAT 求解
谓词逻辑个体、关系与量词知识表示、自动推理、语义网

🔚 关键洞见：

  • 集合是数据的“骨架”，逻辑是推理的“引擎”；
  • AI 不仅需要学习，还需要推理——逻辑提供可解释、可验证的推理机制；
  • 从规则引擎到神经符号 AI，逻辑始终是智能系统不可或缺的一环。

后续

python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新。

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