数据结构与算法-绪论

数据结构基本概念

不直接考察，只是理清考题中的数据结构

一、数据结构

存储、组织和管理数据的方式——> 决定数据的存储方式，影响数据访问和操作的效率

1.1 分类

二、算法

解决问题的一系列步骤或方法——> 操作数据结构，实现具体功能

e.g

• 用数组实现栈 → 可以快速访问栈顶

• 用链表实现队列 → 插入删除都很快

• 用堆实现优先队列 → 可以快速找最大/最小值

• 用图 + BFS → 可以找最短路径

算法基本概念

考察复杂度分析

一、算法

一个明确规定了操作步骤的有限指令集——>计算函数、处理数据、解决一个特定问题或执行某个任务

算法 的基本属性：

1. 明确性：每一步骤必须有明确且不含糊的定义。
2. 有输入和输出：算法 应有 0 个或更多的 输入 和 1 个或更多的 输出。输入 是在 算法 开始之前提供的，而 输出 是在 算法 结束时产生的。
3. 有限性：如果 算法 在执行完有限步骤后终止，那么它就是 有限的。换句话说，一个 算法 必须总是在执行有限次操作后结束。
4. 可行性：算法 中的每一步都应该是简单且基本的，这样它们可以在有限的时间内完成并由计算机执行。
5. 独立性：算法 的指令应该有普适性，也就是说，它们不应依赖于任何特定的编程语言或模型。相反，算法 应该足够通用，可以在任何编程环境中实现。

二、效率度量

2.1 时间复杂度

衡量算法执行时间随输入规模增长的变化趋势的指标，不关心算法跑了多少毫秒，只关心当输入数据量变大时，执行时间会 “以多快的速度增长”

常见时间复杂度（按增长速度从慢到快排序）

复杂度	名称	例子	特点
O(1)	常数阶	访问数组第 k 个元素	执行时间和 n 无关，固定次数
O(logn)	对数阶	二分查找	每次操作让问题规模减半，增长极慢
O(n)	线性阶	遍历数组	执行时间和 n 成正比
O(nlogn)	线性对数阶	归并排序、快速排序	比线性阶慢，但比平方阶快
O(n²)	平方阶	冒泡排序、双重循环	执行时间和 n 的平方成正比
O(2ⁿ)	指数阶	斐波那契递归暴力解法	增长极快，n 稍大就无法运行

通俗例子理解

• O(1) ：查字典直接翻到目录页，不管字典有 100 页还是 10000 页，都是 1 步到位。

• O(logn) ：猜数字游戏（1~100），每次猜中间数排除一半，最多猜 7 次（log₂100≈7），n 翻倍时，次数只多 1。

• O(n) ：在 100 个人里找一个人，最坏要挨个问 100 次；n 变成 200，最坏就要问 200 次，时间跟着 n 翻倍。

• O(n²) ：两两握手，10 个人要握 45 次（10×9/2）；20 个人要握 190 次，n 翻倍，时间变成原来的 4 倍。

2.2 空间复杂度

衡量算法运行过程中，临时占用的额外 内存 随输入规模增长的变化趋势的指标，核心是看 “额外用了多少内存”，不包括输入数据本身的内存

组成

1. 固定部分

   1. 包括常量、程序代码本身、简单变量、常量数组等。
   2. 这一部分的空间大小与输入数据规模无关，通常记为 O(1)O(1) 。

2. 可变部分

   1. 随着输入数据量的变化而变化的空间，主要包括：

      • 输入数据本身（如数组、链表）

      • 辅助空间（如临时数组、栈、队列等）

      • 递归 调用栈（递归深度对空间占用有直接影响）

常见空间复杂度

常见的 空间复杂度（按增长速度排序）有：

空间复杂度	描述	示例
O(1)O(1)	使用常量额外空间	交换两个变量、求最大值/最小值
O(n)O(n)	需要与输入规模成线性关系的额外空间	复制数组、链表逆序
O(n2)O(n2)	二维数组或矩阵存储	Floyd-Warshall 算法的距离矩阵
O(log⁡n)O(logn)	递归调用栈空间	二分查找的递归实现、平衡二叉树的遍历