【Numpy数据运算】数学：矩阵

1 矩阵和向量

1.1 矩阵

矩阵，英文matrix，和 array 的区别矩阵必须是 2 维的，但是 array 可以是多维的。

如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3×2

矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):

$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{array}\right]$

Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。

1.2 向量

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，下面展示的就是三维列 向量(3×1)。

$A=\left[\begin{array}{cc} 1 \ 2 \ 3 \end{array}\right]$

2 加法和标量乘法

矩阵的加法:行列数相等的可以加。

例:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \ 6 & 8 \ 10 & 12 \end{array}\right]$

矩阵的乘法:每个元素都要乘。

例:

$3 *\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 3 & 6 \ 9 & 12 \ 15 & 18 \end{array}\right]$

组合算法也类似。

3 矩阵乘法

3.1 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量

例:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \ 4 & 0 \ 2 & 1 \end{array}\right] *\left[\begin{array}{cc} 1 \ 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 16 \ 4 \ 7 \end{array}\right]$

1*1+3*5 = 16
4*1+0*5 = 4
2*1+1*5 = 7

矩阵乘法遵循准则：

(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

3.2 矩阵和矩阵乘法

矩阵乘法：

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那 么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

$\mathbf{C}=\mathbf{A} \times \mathbf{B}$

$\left(\begin{array}{cc} \mathrm{c} 0 & \mathrm{c} 1 \ \mathrm{c} 2 & \mathrm{c} 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \mathrm{a} 0 & \mathrm{~a} 1 \ \mathrm{~a} 2 & \mathrm{~a} 3 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc} \mathrm{b} 0 & \mathrm{~b} 1 \ \mathrm{~b} 2 & \mathrm{~b} 3 \end{array}\right)$

$\begin{array}{} c0=a0 \times b0+a1 \times b2 \ c1=a0 \times b1+a1 \times b3 \ c2=a2 \times b0+a3 \times b2 \ c3=a2 \times b1+a3 \times b3 \end{array}$

练一练

$A=\left[\begin{array}{} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 0 \end{array}\right] B=\left[\begin{array}{} 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]$

求矩阵AB的结果

答案：

$B=\left[\begin{array}{} 1 *1+2* 1+3 *2 & 1* 2+2 *1+3* 1 & 1 *1+2* 2+3 *1 \ 4* 1+5 *1+6* 2 & 4 *2+5* 1+6 *1 & 4* 1+5 *2+6* 1 \ 7 *1+8* 1+0 *2 & 7* 2+8 *1+0* 1 & 7 *1+8* 2+0 * 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{} 9 & 7 & 8 \ 21 & 19 & 20 \ 15 & 22 & 23 \end{array}\right]$

3.3 矩阵乘法的性质

矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从 左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

4 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

$A A^{-1}=A^{-1} A=I$

低阶矩阵求逆的方法:

• 1.待定系数法
• 2.初等变换
• ……

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矩阵的转置：

• 设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：A=a(i,j)
• 定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 A^T =B。
• 直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转，即得到 A 的转置。

例：

$\left[\begin{array}{} a & b \ c & d \ e & f\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{} a & c & e \ b & d & f \end{array}\right]$

5 矩阵运算

$\left[\begin{array}{} 80 & 86 \ 82 & 80 \ 85 & 78 \ 90 & 90 \ 86 & 82 \ 82 & 90 \ 78 & 80 \ 92 & 94\end{array}\right] *\left[\begin{array}{} 0.3 \ 0.7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{} 84.2 \ 80.6 \ 80.1 \ 90 \ 83.2 \ 87.6 \ 79.4 \ 93.4\end{array}\right]$

5.1 矩阵乘法api介绍

• np.matmul
• np.dot

>>> a = np.array([[80, 86],
[82, 80],
[85, 78],
[90, 90],
[86, 82],
[82, 90],
[78, 80],
[92, 94]])
>>> b = np.array([[0.7], [0.3]])
>>> np.matmul(a, b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])
>>> np.dot(a,b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

np.matmul和np.dot的区别:

二者都是矩阵乘法。

• np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。
• 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。

6 小结

• 1.矩阵和向量【知道】

  • 矩阵就是特殊的二维数组
  • 向量就是一行或者一列的数据

• 2.矩阵加法和标量乘法【知道】

  • 矩阵的加法:行列数相等的可以加。
  • 矩阵的乘法:每个元素都要乘。

• 3.矩阵和矩阵(向量)相乘 【知道】

  • (M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

• 4.矩阵性质【知道】

  • 矩阵不满足交换率,满足结合律

• 5.单位矩阵【知道】

  • 对角线都是1的矩阵,其他位置都为0

• 6.矩阵运算【掌握】

  • np.matmul
  • np.dot
  • 注意：二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。