Acwing学习——前缀和

1. 概念

顾名思义，前缀和就是前v项之和；当存在a1、a2、a3 …… an时，前缀和Sv=a1+a2+……+av。

2. 思路

当我们需要求第l项到第r项的元素和时，我们可以用Sr-S(l-1)，

Sr=a1+a2+……+a(l-1)+al+a(l+1)+……+ar

S(l-1)=a1+a2+……+a(l-1)

Sr-Sl=(a1+a2+……+al+a(l+1)+……+ar)-(a1+a2+……+a(l-1))=al+……+ar

我们仅需O(1)的时间复杂度就可以求出这段元素之和。

3. 公式模板

3.1. 一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]

a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

3.2. 二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：

S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

4. 例题

4.1. 795. 前缀和 - AcWing题库

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    // 前缀和初始化
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    
    while(m--) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        // 区间和计算
        printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

4.2. 796. 子矩阵的和 - AcWing题库

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    // 前缀和初始化
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
    
    while(q--) {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        
        // 子矩阵 和计算
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);
    }
    
    return 0;
}