2025-07-02：统计数组中的美丽分割。用go语言，给定一个整数数组 nums， 我们要把它划分成三个连续且非空的子数组 nums1、nums2、nums3，且这三个子数组按顺序拼接后还原为原数组 nums。
这样划分被称为“美丽分割”，条件是：
-
要么 nums1 是 nums2 的前缀（即 nums2 开头的一部分）
-
要么 nums2 是 nums3 的前缀（即 nums3 开头的一部分）
求满足以上条件的所有划分方案的数量。
1 <= nums.length <= 5000。
0 <= nums[i] <= 50。
输入：nums = [1,1,2,1]。
输出：2。
解释：
美丽分割如下：
nums1 = [1] ，nums2 = [1,2] ，nums3 = [1] 。
nums1 = [1] ，nums2 = [1] ，nums3 = [2,1] 。
题目来自力扣3388 。
解决思路
为了高效地解决这个问题，我们可以利用 Z 算法（Z-array）来预处理字符串的前缀匹配信息。Z 数组可以帮助我们快速判断一个子数组是否是另一个子数组的前缀。
步骤 1：理解 Z 数组
Z 数组 z[i] 表示从位置 i 开始的子串与原字符串的前缀的最长公共长度。例如：
- 对于字符串
s，z[i]是最大的k使得s[0..k-1] == s[i..i+k-1]。
步骤 2：预处理 Z 数组
我们需要为原始数组 nums 和所有可能的 nums[i:] 子数组计算 Z 数组：
- 计算
z0：z0是nums的 Z 数组。z0[i]表示nums[i..]与nums的前缀的最长公共长度。 - 对于每个可能的
i（nums2的起始位置），计算z：z是nums[i..]的 Z 数组。z[j]表示nums[i+j..]与nums[i..]的前缀的最长公共长度。
步骤 3：枚举所有可能的划分
我们需要枚举所有可能的 i 和 j：
i：nums2的起始位置（nums1是nums[0..i-1]）。j：nums3的起始位置（nums2是nums[i..j-1]，nums3是nums[j..n-1]）。
对于每个 (i, j) 对，检查以下条件之一是否成立：
nums1是nums2的前缀：- 即
nums[0..i-1]是nums[i..j-1]的前缀。 - 等价于
z0[i] >= i（因为nums[i..i+i-1]应该等于nums[0..i-1]）。
- 即
nums2是nums3的前缀：- 即
nums[i..j-1]是nums[j..n-1]的前缀。 - 等价于
z[j-i] >= j-i（因为nums[j..j+(j-i)-1]应该等于nums[i..j-1]）。
- 即
步骤 4：统计满足条件的划分
对于每个 i（从 1 到 n-2）和 j（从 i+1 到 n-1），检查上述条件。如果任一条件满足，则计数加一。
时间复杂度
- 计算
z0：O(n)。 - 对于每个
i（O(n)），计算nums[i:]的 Z 数组：O(n)。- 总共有 O(n) 次 Z 数组计算，每次 O(n)，因此总时间为 O(n^2)。
- 枚举所有
(i, j)：O(n^2)。- 对于每个
i，j从i+1到n-1，共 O(n^2) 次检查。 - 每次检查是 O(1)（直接查 Z 数组）。
- 对于每个
- 总时间复杂度：O(n^2)（预处理） + O(n^2)（枚举检查） = O(n^2)。
空间复杂度
- 存储
z0：O(n)。 - 对于每个
i，存储nums[i:]的 Z 数组：每次计算后可以复用或丢弃，因此只需要 O(n) 临时空间。
- 总空间复杂度：O(n)（用于存储 Z 数组）。
总结
- 总时间复杂度：O(n^2)。
- 总空间复杂度：O(n)。
Go完整代码如下：
package main
import (
"fmt"
)
func calcZ(s []int) []int {
n := len(s)
z := make([]int, n)
boxL, boxR := 0, 0 // z-box 左右边界
for i := 1; i < n; i++ {
if i <= boxR {
z[i] = min(z[i-boxL], boxR-i+1)
}
for i+z[i] < n && s[z[i]] == s[i+z[i]] {
boxL, boxR = i, i+z[i]
z[i]++
}
}
return z
}
func beautifulSplits(nums []int) (ans int) {
n := len(nums)
z0 := calcZ(nums)
for i := 1; i < n-1; i++ {
z := calcZ(nums[i:])
for j := i + 1; j < n; j++ {
if i <= j-i && z0[i] >= i || z[j-i] >= j-i {
ans++
}
}
}
return
}
func main() {
nums := []int{1, 1, 2, 1}
result := beautifulSplits(nums)
fmt.Println(result)
}
Python完整代码如下：
# -*-coding:utf-8-*-
def calcZ(s):
n = len(s)
z = [0] * n
boxL, boxR = 0, 0 # Z-box 左右边界
for i in range(1, n):
if i <= boxR:
z[i] = min(z[i - boxL], boxR - i + 1)
while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
boxL, boxR = i, i + z[i]
z[i] += 1
return z
def beautifulSplits(nums):
n = len(nums)
ans = 0
z0 = calcZ(nums)
for i in range(1, n - 1):
z = calcZ(nums[i:])
for j in range(i + 1, n):
if (i <= j - i and z0[i] >= i) or (z[j - i] >= j - i):
ans += 1
return ans
if __name__ == "__main__":
nums = [1, 1, 2, 1]
result = beautifulSplits(nums)
print(result)
