数学基础-三角学[三角函数/和差化积公式等]深刻理解每个公式的几何含义（直角三角形、单位圆）和推导逻辑（尤其是基于两角和

整理一下三角学相关的重要公式，按照学习逻辑和复杂度由浅入深排列：

阶段一：基石 - 直角三角形定义与基本关系

这是三角学的起点，直接从直角三角形的边长比出发。

正弦 (Sine):
- sin(θ) = 对边 / 斜边
余弦 (Cosine):
- cos(θ) = 邻边 / 斜边
正切 (Tangent):
- tan(θ) = 对边 / 邻边 = sin(θ) / cos(θ)
勾股定理 (Pythagorean Theorem):
- 对边² + 邻边² = 斜边² (这是所有三角恒等式的基础之一)
基本恒等式 (Basic Identities):
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (由勾股定理直接推出)
- tan²(θ) + 1 = sec²(θ)
- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
倒数恒等式 (Reciprocal Identities):
- csc(θ) = 1 / sin(θ) (余割 Cosecant)
- sec(θ) = 1 / cos(θ) (正割 Secant)
- cot(θ) = 1 / tan(θ) (余切 Cotangent)

阶段二：推广与关键关系 - 单位圆、诱导公式、和角公式

超越直角三角形，考虑任意角度（推广）和各种角度组合之间的关系。

单位圆定义 (Unit Circle Definitions):
- 单位圆（半径为1的圆）上一点 P(x, y)，点 P 和原点的连线与正 x 轴的夹角为 θ，则：
  - cos(θ) = x
  - sin(θ) = y
  - tan(θ) = y / x (x ≠ 0)
- 优点: 定义适用于所有角度（包括大于90°和负角），直观展现周期性。
符号法则 (Sign Rules):
- (利用单位圆或坐标理解) 在每个象限内，正弦、余弦、正切的正负号。常用口诀：All Students Take Calculus (1正All，2正Sin，3正Tan，4正Cos)
诱导公式 (Reduction Formulas / Angle Addition/Subtraction with π/2):
- 利用周期性 (sin(θ + 2πk) = sin(θ), cos(θ + 2πk) = cos(θ)) 和对称性 (sin(-θ) = -sin(θ), cos(-θ) = cos(θ))，将大角度或负角度化为锐角 (0°~~90°或0~~π/2 弧度)。
- 常用公式：
  - sin(π/2 - θ) = cos(θ)
  - cos(π/2 - θ) = sin(θ)
  - tan(π/2 - θ) = cot(θ)
  - sin(π + θ) = -sin(θ)
  - cos(π + θ) = -cos(θ)
  - tan(π + θ) = tan(θ)
  - sin(π - θ) = sin(θ)
  - cos(π - θ) = -cos(θ)
  - tan(π - θ) = -tan(θ)
正弦定理 (Law of Sines):
- a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
- 其中 a, b, c 是三角形任意顶点 A, B, C 的对边边长，R 是该三角形的外接圆半径。
- 适用场景：解任意三角形，当已知 (2角 + 1边) 或 (2边 + 其中一边的对角) 时特别有用（注意后者的“歧义情况”）。
余弦定理 (Law of Cosines):
- c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
- (同理可写 a² = b² + c² - 2bc·cos(A)， b² = a² + c² - 2ac·cos(B))
- 适用场景：解任意三角形，当已知 (3边) 或 (2边 + 它们的夹角) 时特别有用。
- 是勾股定理在非直角三角形中的推广 (当 C=90°时，cos(C)=0，退化为 c² = a² + b²)。
两角和与差公式 (Angle Addition and Subtraction Formulas):
- sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
- cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
- cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
- tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))
- tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
- 重要性：非常核心的公式，推导倍角、半角、积化和差、和差化积公式的基础。

阶段三：进阶变换与恒等式 - 倍角、半角、积化和差、和差化积

利用已有公式进行推导，处理更复杂的角度组合和表达式变换。

倍角公式 (Double-Angle Formulas):
- sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
- cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ) (3种形式都很常用)
- tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
- 推导: 两角和公式中令 A = B = θ。
半角公式 (Half-Angle Formulas):
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / 2] (符号由 θ/2 所在象限决定)
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ)) / 2] (符号由 θ/2 所在象限决定)
- tan(θ/2) = sin(θ) / (1 + cos(θ)) tan(θ/2) = (1 - cos(θ)) / sin(θ) tan(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))] (3种等价形式)
- 推导: 利用余弦倍角公式 cos(θ) = 1 - 2sin²(θ/2) 或 cos(θ) = 2cos²(θ/2) - 1 反解。
- 重要性: 尤其在微积分求积分时必不可少。
积化和差公式 (Product-to-Sum Formulas):
- sin(A)cos(B) = [ sin(A+B) + sin(A-B) ] / 2
- cos(A)sin(B) = [ sin(A+B) - sin(A-B) ] / 2
- cos(A)cos(B) = [ cos(A+B) + cos(A-B) ] / 2
- sin(A)sin(B) = [ cos(A-B) - cos(A+B) ] / 2
- 推导: 将两角和与差公式相加或相减得到。
- 作用: 将三角函数乘积转化为和差，便于积分或简化。
和差化积公式 (Sum-to-Product Formulas):
- sin(X) + sin(Y) = 2 sin[(X+Y)/2] cos[(X-Y)/2]
- sin(X) - sin(Y) = 2 cos[(X+Y)/2] sin[(X-Y)/2]
- cos(X) + cos(Y) = 2 cos[(X+Y)/2] cos[(X-Y)/2]
- cos(X) - cos(Y) = -2 sin[(X+Y)/2] sin[(X-Y)/2]
- 推导: 在积化和差公式中作变量代换得到。
- 作用: 将三角函数和差转化为乘积，便于化简特定表达式。

总结与要点

理解是核心：不要死记硬背！深刻理解每个公式的几何含义（直角三角形、单位圆）和推导逻辑（尤其是基于两角和公式的推导），才能真正掌握并能灵活运用。
基础至关重要：第1、2阶段（直角三角形定义、单位圆定义、sin² + cos² = 1、诱导公式、和差公式、正弦余弦定理）是三角学的绝对核心。不打好基础，后续公式很难运用自如。
工具性质：三角恒等式和定理是强大的数学工具，用于求解三角形、化简复杂表达式、解方程、证明恒等式、求导数和积分等。
周期性：sin(θ + 2kπ) = sin(θ), cos(θ + 2kπ) = cos(θ)（k为整数）是正弦和余弦的重要特性。
奇偶性：sin(-θ) = -sin(θ) (奇函数)，cos(-θ) = cos(θ) (偶函数)，tan(-θ) = -tan(θ) (奇函数)。
实用主义：在实际解题（尤其现代科技计算）中，很多非常复杂的公式（如三倍角公式，半角公式±号判断）可以直接使用计算器或软件辅助，但掌握其内在逻辑和推导能力是不可替代的数学思维训练。