91.不同路径

题目链接

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

解法1 记忆化搜索

思路

使用dfs的思路就是向下或向右探索，dfs(x, y) 表示 从 (x, y) 出发到终点的路径数量；

所以 x,y 的路径数量要通过 dfs(x + 1, y) + dfs(x, y + 1) 计算出来。

代码

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const memo = Array.from({length: m}, () => Array(n).fill(-1));

    const dfs = (x, y) => {
        if (x >= m || y >= n) return 0;
        if (x === m - 1 && y === n - 1) return 1;
        if (memo[x][y] !== -1) return memo[x][y];

        memo[x][y] = dfs(x + 1, y) + dfs(x, y + 1);
        return memo[x][y];
    }
    
    return dfs(0, 0);
};

时空复杂度

时间复杂度：O(m * n)

空间复杂度：O(m * n)

解法2 动态规划

思路

如果用动态规划去思考的话，首先定义 dp 数组是干嘛的。 dp[i][j] 代表了从该点到达终点的路径数量。

和上面的 dfs 相反，所以状态转移方程也不一样即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

代码

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const dp = Array.from({length: m}, () => Array(n).fill(1));
    
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    
    return dp[m - 1][n - 1];
};

时空复杂度

时间复杂度：O(m * n)

空间复杂度：O(m * n)