Uniswap V3 流动性机制与限价订单解析：资金效率提升之道

寻月隐君
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Uniswap V3 流动性机制与限价订单解析：资金效率提升之道

Uniswap V3 引入了集中流动性和价格区间的创新机制，相较于 V2 显著提升了资金使用效率。本文通过数学推导、案例分析和限价订单实现，深入剖析 Uniswap V3 的流动性计算原理及其实际应用，适合对去中心化金融（DeFi）和自动化做市商（AMM）感兴趣的读者。

本文详细讲解了 Uniswap V3 中流动性的计算公式，推导了 X、Y Token 与流动性 L、价格 P 之间的关系，并通过案例分析展示了虚拟流动性如何将资金效率提升一倍。进一步探讨了限价订单的实现原理，揭示了价格区间设置对流动性和资金效率的影响。最后通过一个思考问题，引导读者深入理解流动性参数 L 的计算。

流动性计算

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一、确定 x, y 与 L, P 的关系

推导 X
x⋅y=k=L2(Xr+Xv)⋅(Yr+Yv)=kp=yxx=L2y=L2pxx2=L2px=Lp\begin{align*} x \cdot y = k = L^2 \\ (Xr + Xv) \cdot (Yr + Yv) = k \\ p = \frac{y}{x} \\ x = \frac{L^2}{y} = \frac{L^2}{px} \\ x^2 = \frac{L^2}{p} \\ x = \frac{L}{\sqrt{{p}}} \end{align*}
推导 Y
x⋅y=k=L2p=yxy=p⋅x=p⋅L2yy2=p⋅L2y=L⋅p\begin{align*} x \cdot y = k = L^2 \\ p = \frac{y}{x} \\ y = p \cdot x = p \cdot \frac{L^2}{y} \\ y^2 = p \cdot L^2 \\ y = L \cdot \sqrt{p} \end{align*}
在 P = Pb 时
x=Xv+Xr=LPb\begin{align*} x = Xv + Xr = \frac{L}{\sqrt{{Pb}}} \end{align*}

因为 Xr = 0，故得出 Xv=LPbXv = \frac{L}{\sqrt{{Pb}}}

在 P = Pa 时
y=Yr+Yv=L⋅Pa\begin{align*} y = Yr + Yv = L \cdot \sqrt{Pa} \end{align*}

因为 Yr = 0，故得出 Yv=L⋅PaYv = L \cdot \sqrt{Pa}

根据上述可推导公式如下：

x⋅y=k=L2(Xr+Xv)⋅(Yr+Yv)=k=L2(Xr+LPb)⋅(Yr+L⋅Pa)=k=L2(x+LPb)⋅(y+L⋅Pa)=L2\begin{align*} x \cdot y = k = L^2 \\ (Xr + Xv) \cdot (Yr + Yv) = k = L^2 \\ (Xr + \frac{L}{\sqrt{{Pb}}}) \cdot (Yr + L \cdot \sqrt{Pa}) = k = L^2 \\ (x + \frac{L}{\sqrt{{Pb}}}) \cdot (y + L \cdot \sqrt{Pa}) = L^2 \\ \end{align*}

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这就是 Uniswap V3 实际流动性和X、Y Token 数量关系的公式。这也是 Uniswap V3 白皮书中的公式 其实它本质上也是x⋅y=k x \cdot y = k 的一个变种。

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二、案例

真实场景下流动性的变化影响

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求 Xv, Yv ?

Xv=LPb=1⋅400016000=14=12=0.5\begin{align*} Xv &= \frac{L}{\sqrt{{Pb}}} \\ &= \frac{\sqrt{1 \cdot 4000}}{\sqrt{16000}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= \frac{1}{2} = 0.5 \end{align*}
Yv=L⋅Pa=1⋅4000⋅1000=2000\begin{align*} Yv &= L \cdot \sqrt{Pa} \\ &= \sqrt{1 \cdot 4000} \cdot \sqrt{1000} \\ &= 2000 \end{align*}

根据公式计算：

x⋅y=k=L2(x+LPb)⋅(y+L⋅Pa)=L2(x+0.5)⋅(y+2000)=4000=L2\begin{align*} x \cdot y = k = L^2 \\ (x + \frac{L}{\sqrt{{Pb}}}) \cdot (y + L \cdot \sqrt{Pa}) = L^2 \\ (x + 0.5) \cdot (y + 2000) = 4000 = L^2 \end{align*}

对比 Uniswap V2

x=1y=4000Xr=1−0.5=0.5Yr=4000−2000=2000\begin{align*} x = 1 \\ y = 4000 \\ Xr = 1 - 0.5 = 0.5 \\ Yr = 4000 - 2000 = 2000 \end{align*}

总结：因为虚拟流动性的引入，资金使用效率增加了一倍，即使用了一半的资金达到了同样的K值，资金效率提升了一倍。本来在 Unisawp V2 需要 1 和 4000 才能实现的曲线，在Uniswap V3 中的价格范围内容只需要提供 0.5 和 2000 就可以同样达到K值，实现同样的曲线。在本案例中资金使用效率是提升了一倍的。如果我们把价格范围设置的越小，资金使用效率越高。如果 Pa 越大，则 Yv 越大，如果Pb 越小，Xv 则越大。也就是说，Pa 和 Pb 越来越接近的话，也就是说，Pa 越大，Pb 越小，Xv 和 Yv 就会越来越大。因为 x = Xv + Xr, y = Yv + Yr 所以最后K 值和 L值也会越来越大。这也就是 Xv 和 Yv 的变化导致的流动性的变化。

三、限价订单是如何实现的？

限价订单的实现

x⋅y=k=L2(x+LPb)⋅(y+L⋅Pa)=L2(x+0.5)⋅(y+2000)=4000=L2Xv=0.5Yv=2000\begin{align*} x \cdot y = k = L^2 \\ (x + \frac{L}{\sqrt{{Pb}}}) \cdot (y + L \cdot \sqrt{Pa}) = L^2 \\ (x + 0.5) \cdot (y + 2000) = 4000 = L^2 \\ Xv = 0.5 \\ Yv = 2000 \end{align*}
在 a 点添加流动性
总流动性−虚拟流动性=实际流动性Xr=X−XvYr=Y−YvXr=2−0.5=1.5ETHYr=2000−2000=0DAI\begin{align*} 总流动性 - 虚拟流动性 = 实际流动性 \\ Xr = X - Xv \\ Yr = Y - Yv \\ Xr = 2 - 0.5 = 1.5 ETH \\ Yr = 2000 - 2000 = 0 DAI \\ \end{align*}

此时添加流动性需要 1.5 ETH

在 b 点添加流动性

总流动性 - 虚拟流动性 = 实际流动性

Xr=X−Xv=0.5−0.5=0ETHYr=Y−Yv=8000−2000=6000DAI\begin{align*} Xr &= X - Xv \\ &= 0.5 - 0.5 = 0 ETH \\ Yr &= Y - Yv \\ &= 8000 - 2000 = 6000 DAI \\ \end{align*}

此时移出流动性可获得 6000 DAI

我给池子1.5 ETH, 最后因为价格的波动，能拿到 6000 DAI。 Uniswap V3 因为引入了集中流动性、价格区间，它支持模拟限价订单的实现。

思考：

在以上案例中，在价格P点，真实提供 (1, 4000) 的 LP，求 L 为多少？

总结

Uniswap V3 通过集中流动性和价格区间设计，显著提高了资金使用效率。案例表明，相比 V2，V3 能在相同 K 值下用一半资金实现相同曲线，效率提升一倍。限价订单的实现进一步增强了其灵活性，使 LP 能更精准地管理资金。价格区间越窄，资金效率越高，但需注意 Xv 和 Yv 的动态变化对流动性的影响。读者可参考 Uniswap V3 白皮书及相关合约代码深入学习。

参考

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