破解零钱兑换难题：从暴力尝试到动态规划的思维跃迁当自动售货机遇见算法难题想象你站在一台智能售货机前，投入11元纸币想买

一、当自动售货机遇见算法难题

想象你站在一台智能售货机前，投入11元纸币想买饮料，机器里有无数1元、2元、5元硬币。如何用最少的硬币完成找零？这道看似简单的日常生活问题，正是LeetCode经典题目「322. 零钱兑换」的现实映射。

1.1 问题本质剖析

输入：硬币面额数组（如[1,2,5]），目标金额（如11）
输出：凑成金额的最少硬币数（无法凑出返回-1）
隐藏条件：每种硬币可以使用无限次

二、暴力递归的困境

简单的思路是暴力枚举所有组合：

function bruteForce(amount) {
    if(amount === 0) return 0;
    let min = Infinity;
    for(let coin of coins) {
        if(amount >= coin) {
            min = Math.min(min, 1 + bruteForce(amount - coin));
        }
    }
    return min;
}

但当amount=30时，计算次数呈指数爆炸：

计算f(30)需要计算f(29)、f(28)...  
每个子问题又产生新的递归调用  
时间复杂度：O(S^n)（S为金额，n为硬币种类）

三、动态规划的破局之道

3.1 状态定义的智慧

我们引入dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数。这个定义就像给每个金额分配一个智能管家，记录最优解。

3.2 状态转移方程揭秘

对每个金额i，我们检查所有硬币：

dp[i] = min(dp[i - coin] + 1)  （对所有coin <= i）

这个过程就像玩拼图游戏，用已有的最优解拼出更大的解。

3.3 代码逐行解析

const coinChange = (coins, amount) => {
    const dp = []; 
    dp[0] = 0; // 初始化：0元需要0个硬币
    
    for(let i=1; i<=amount; i++){
        dp[i] = Infinity; // 初始化为无法到达
        for(const coin of coins){
            if(coin <= i) {
                // 关键转移：用coin面额硬币后的最优解
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); 
            }
        }
    }
    
    return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
};

四、算法执行全透视

示例分析：`coinChange([1, 2, 5], 11)`

4.1 初始化：

f = [0, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]

动态填充过程：

金额 i	尝试硬币	计算过程	f[i]
1	1	min(∞, f[0]+1) = 1	1
2	1,2	min(∞, f[1]+1=2, f[0]+1=1)	1
3	1,2	min(∞, f[2]+1=2, f[1]+1=2)	2
4	1,2	min(∞, f[3]+1=3, f[2]+1=2)	2
5	1,2,5	min(∞, f[4]+1=3, f[3]+1=3, f[0]+1=1)	1
...	...	...	...
11	1,2,5	min(∞, f[10]+1=3, f[9]+1=3, f[6]+1=3)	3

最终结果：

f[11] = 3（5+5+1）

4.2 关键点说明

状态定义：

f[i] 表示凑出金额 i 的最小硬币数
边界条件：

f[0] = 0：零金额需要零个硬币 f[other] = Infinity：初始化为不可达
时间复杂度：

O(amount × n)，其中 n 是硬币种类数

五、复杂度优化的艺术

5.1 时间复杂度

外层循环：O(amount)
内层循环：O(n)
总复杂度：O(amount * n)

当amount=1e4，n=100时，需要1e6次操作，完全在合理范围。

5.2 空间优化技巧

使用滚动数组可将空间复杂度降至O(max(coins))：

const dp = new Array(maxCoin + 1).fill(Infinity);

六、常见陷阱与突破

6.1 贪心算法的失效

当coins=[3,5]时，贪心选择5元硬币：

amount=8：5+3=8（2枚）
贪心解法：5+？→ 无法凑出
而动态规划能正确处理这种情况。

6.2 边界条件处理

金额为0时需要返回0
硬币数组为空时的特殊处理
存在面额大于目标金额的硬币

七、从算法到架构的思考

在支付系统的零钱找零模块中，这种算法可以：

预计算常见金额的最优解
结合缓存机制加速响应
动态调整硬币库存状态
生成多种找零方案供选择

当你在自动售货机前等待找零时，背后可能正运行着类似的动态规划算法。理解这个经典问题的解法，不仅能帮助你在面试中游刃有余，更能培养将复杂问题分解优化的工程思维。记住，好的算法就像精巧的机械表，每个零件都精准配合，最终呈现出简洁优雅的解决方案。

破解零钱兑换难题：从暴力尝试到动态规划的思维跃迁