数据结构

数据结构

数据结构分类

常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图，它们可以从“逻辑结构”和“物理结构”两个维度进行分类。

逻辑结构：线性与非线性

逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系。在数组和链表中，数据按照一定顺序排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出“祖先”与“后代”之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。

逻辑结构可分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。

线性数据结构：数组、链表、栈、队列、哈希表，元素之间是一对一的顺序关系。

非线性数据结构：树、堆、图、哈希表。

非线性数据结构可以进一步划分为树形结构和网状结构。

树形结构：树、堆、哈希表，元素之间是一对多的关系。

网状结构：图，元素之间是多对多的关系。

物理结构：连续与分散

算法程序运行时，正在处理的数据主要存储在内存中。系统通过内存地址来访问目标位置的数据。

内存是所有程序的共享资源，当某块内存被某个程序占用时，则通常无法被其他程序同时使用了。因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素。比如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果缺少连续大块的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在分散的内存空间内。

物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，两种物理结构在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。

所有数据结构都是基于数组、链表或二者的组合实现的。例如，栈和队列既可以使用数组实现，也可以使用链表实现；而哈希表的实现可能同时包含数组和链表。

基于数组可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图、矩阵、张量（维度 ≥3 的数组）等。

基于链表可实现：栈、队列、哈希表、树、堆、图等。

链表在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整，因此也称“动态数据结构”。数组在初始化后长度不可变，因此也称“静态数据结构”。值得注意的是，数组可通过重新分配内存实现长度变化，从而具备一定的“动态性”。

基本数据类型

谈及计算机中的数据时，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。

基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用，主要包括以下几种。

整数类型 byte、short、int、long 。

浮点数类型 float、double ，用于表示小数。

字符类型 char ，用于表示各种语言的字母、标点符号甚至表情符号等。

布尔类型 bool ，用于表示“是”与“否”判断。

基本数据类型以二进制的形式存储在计算机中。一个二进制位即为 1 比特。在绝大多数现代操作系统中，1 字节（byte）由 8 比特（bit）组成。

基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。

整数类型 byte 占用 1 字节 = 8 比特 ，可以表示 28 个数字。

整数类型 int 占用 4 字节 = 32 比特 ，可以表示 232 个数字。

基本数据类型与数据结构之间有什么联系呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。这句话的主语是“结构”而非“数据”。

如果想表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 int、小数 float 还是字符 char ，则与“数据结构”无关。

换句话说，基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”。例如以下代码，我们用相同的数据结构（数组）来存储与表示不同的基本数据类型，包括 int、float、char、bool 等。

// 使用多种基本数据类型来初始化数组
var numbers = [5]int{}
var decimals = [5]float64{}
var characters = [5]byte{}
var bools = [5]bool{}

数字编码

原码、反码和补码

原码：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 0 表示正数，1 表示负数，其余位表示数字的值。

反码：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。

补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 1 。

原码（sign-magnitude）虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，负数的原码不能直接用于运算。例如在原码下计算 1+(−2) ，得到的结果是 −3 ，这显然是不对的。

1+(−2)

→00000001+10000010

=10000011

→−3

为了解决此问题，计算机引入了反码（1's complement）。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 1+(−2) ，最后将结果从反码转换回原码，则可得到正确结果 −1 。 1+(−2)

→00000001(原码)+10000010(原码)

=00000001(反码)+11111101(反码)

=11111110(反码)=10000001(原码)

→−1

另一方面，数字零的原码有 +0 和 −0 两种表示方式。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，这可能会降低计算机的运算效率。

+0→00000000

−0→10000000

与原码一样，反码也存在正负零歧义问题，因此计算机进一步引入了补码（2's complement）。我们先来观察一下负零的原码、反码、补码的转换过程：

−0→10000000(原码)

=11111111(反码)

=100000000(补码)

在负零的反码基础上加 1 会产生进位，但 byte 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 1 会被舍弃。也就是说，负零的补码为 00000000 ，与正零的补码相同。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。

还剩最后一个疑惑：byte 类型的取值范围是 [−128,127] ，多出来的一个负数 −128 是如何得到的呢？我们注意到，区间 [−127,+127] 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间可以互相转换。

然而，补码 10000000 是一个例外，它并没有对应的原码。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 00000000 。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 0 ，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 10000000 代表 −128 。实际上，(−1)+(−127) 在补码下的计算结果就是 −128 。

(−127)+(−1)

→11111111(原码)+10000001(原码)

=10000000(反码)+11111110(反码)

=10000001(补码)+11111111(补码)

=10000000(补码)→

−128

你可能已经发现了，上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。

请注意，这并不意味着计算机只能做加法。通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算。例如，计算减法 a−b 可以转换为计算加法 a+(−b) ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。

现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。

浮点数编码

int 和 float 长度相同，都是 4 字节 ，但为什么 float 的取值范围远大于 int ？这非常反直觉，因为按理说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。

这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。记一个 32 比特长度的二进制数为：

b31b30b29…b2b1b0

根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

符号位 S ：占 1 位 ，对应 b31 。

指数位 E ：占 8 位 ，对应 b30b29…b23 。

分数位 N ：占 23 位 ，对应 b22b21…b0 。

二进制数 float 对应值的计算方法为：

val=(−1)b31×2(b30b29…b23)2−127×(1.b22b21…b0)2

转化到十进制下的计算公式为：

val=(−1)S×2E−127×(1+N)

其中各项的取值范围为：

S∈{0,1},E∈{1,2,…,254}(1+N)=(1+∑i=123b23−i2−i)⊂[1,2−2−23]