数字分组选择和为偶数方法计数

问题描述

小M面对一组从 1 到 9 的数字，这些数字被分成多个小组，并从每个小组中选择一个数字组成一个新的数。目标是使得这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出有多少种不同的分组和选择方法可以达到这一目标。 numbers: 一个由多个整数字符串组成的列表，每个字符串可以视为一个数字组。小M需要从每个数字组中选择一个数字。 例如对于[123, 456, 789]，14个符合条件的数为：147 149 158 167 169 248 257 259 268 347 349 358 367 369。 测试样例 样例1： 输入：numbers = [123, 456, 789] 输出：14 样例2： 输入：numbers = [123456789] 输出：4 样例3： 输入：numbers = [14329, 7568] 输出：10

问题理解

首先，我们需要明确问题的具体要求：

1. 输入：一个由多个数字字符串组成的列表，例如 [123, 456, 789]。每个字符串代表一个数字组，小M需要从每个数字组中选择一个数字。
2. 目标：组成一个新的数，使得这个数的各位数字之和为偶数。
3. 输出：满足条件的不同分组和选择方法的总数。

示例分析

让我们通过提供的样例来更好地理解问题。

样例1：

• 输入：numbers = [123, 456, 789]
• 输出：14

样例2：

• 输入：numbers = [123456789]
• 输出：4

样例3：

• 输入：numbers = [14329, 7568]
• 输出：10

解题思路

为了计算满足条件的选择方法总数，我们可以采用以下步骤：

1. 统计每个数字组中奇数和偶数的数量：

   • 对于每个数字组，统计其中奇数和偶数的个数。
   • 例如，对于数字组 123，奇数为 1 和 3，偶数为 2。

2. 动态规划：

   • 使用动态规划来记录在选择到第 i 个数字组时，当前数字和的奇偶性。
   • 定义 dp[i][j]，其中 i 表示第 i 个数字组，j 表示当前数字和的奇偶性（0 表示偶数，1 表示奇数）。
   • 初始状态：dp[0][0] = 1，表示在选择第 0 个数字组之前，数字和为偶数的方案数为 1。

3. 状态转移：

   • 对于每个数字组，更新 dp 表：

     • 如果选择偶数，则当前数字和的奇偶性不变。
     • 如果选择奇数，则当前数字和的奇偶性翻转。

   • 具体来说，对于第 i 个数字组，假设其中有 even[i] 个偶数和 odd[i] 个奇数：

     • dp[i][0] = dp[i-1][0] * even[i] + dp[i-1][1] * odd[i]
     • dp[i][1] = dp[i-1][1] * even[i] + dp[i-1][0] * odd[i]

4. 最终结果：

   • 最终，dp[n][0] 即为满足条件的选择方法总数，其中 n 是数字组的数量。

具体实现

让我们以样例1为例，具体实现上述思路。

样例1：numbers = [123, 456, 789]

1. 统计每个数字组中奇数和偶数的数量：

   • 数字组 123：

     • 奇数：1, 3 → 2 个
     • 偶数：2 → 1 个

   • 数字组 456：

     • 奇数：5 → 1 个
     • 偶数：4, 6 → 2 个

   • 数字组 789：

     • 奇数：7, 9 → 2 个
     • 偶数：8 → 1 个

2. 初始化 dp 表：

   • dp[0][0] = 1
   • dp[0][1] = 0

3. 状态转移：

   • 对于数字组 123：

     • dp[1][0] = dp[0][0] * 1 + dp[0][1] * 2 = 1 * 1 + 0 * 2 = 1
     • dp[1][1] = dp[0][1] * 1 + dp[0][0] * 2 = 0 * 1 + 1 * 2 = 2

   • 对于数字组 456：

     • dp[2][0] = dp[1][0] * 2 + dp[1][1] * 1 = 1 * 2 + 2 * 1 = 4
     • dp[2][1] = dp[1][1] * 2 + dp[1][0] * 1 = 2 * 2 + 1 * 1 = 5

   • 对于数字组 789：

     • dp[3][0] = dp[2][0] * 1 + dp[2][1] * 2 = 4 * 1 + 5 * 2 = 14
     • dp[3][1] = dp[2][1] * 1 + dp[2][0] * 2 = 5 * 1 + 4 * 2 = 13

4. 最终结果：

   • dp[3][0] = 14，即满足条件的选择方法总数为 14。

代码实现

以下是基于上述思路的 Python 代码实现：

python

复制

def count_even_sum_numbers(numbers):
    # 初始化 dp 表
    dp = [[0] * 2 for _ in range(len(numbers) + 1)]
    dp[0][0] = 1

    for i in range(1, len(numbers) + 1):
        num_str = numbers[i - 1]
        even_count = 0
        odd_count = 0
        for ch in num_str:
            digit = int(ch)
            if digit % 2 == 0:
                even_count += 1
            else:
                odd_count += 1
        # 更新 dp[i][0] 和 dp[i][1]
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] * even_count + dp[i - 1][1] * odd_count
        dp[i][1] = dp[i - 1][1] * even_count + dp[i - 1][0] * odd_count

    return dp[len(numbers)][0]

# 测试样例
print(count_even_sum_numbers(["123", "456", "789"]))  # 输出：14
print(count_even_sum_numbers(["123456789"]))          # 输出：4
print(count_even_sum_numbers(["14329", "7568"]))     # 输出：10

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * m)，其中 n 是数字组的数量，m 是每个数字组的平均长度。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 表。