🚀 算法精讲--动态规划（二）：多维DP与状态压缩技巧
📚 上期回顾：[[算法精讲–动态规划（一）：基础与核心思想]] 中我们掌握了单序列DP的核心解法，本期将解锁更复杂的场景！
🌟 核心知识图谱
graph TD
A[多维DP] --> B[二维状态定义]
A --> C[三维状态定义]
B --> D[[编辑距离]]
C --> E[[股票买卖]]
F[状态压缩] --> G[滚动数组]
F --> H[位运算压缩]
F --> I[二进制掩码]
F --> J[分层压缩]
G --> K[[不同路径]]
H --> L[[TSP问题]]
I --> M[[棋盘覆盖]]
J --> N[[三维DP优化]]
一、🔮 多维DP入门指南
1.1 什么是多维DP？ 🤔
多维DP是动态规划的进阶形态，通过多维状态定义描述更复杂的决策过程：
# 单序列DP（一维）
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
# 多维DP（二维经典）
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
核心区别 ：
| 单序列DP | 多维DP | |
|---|---|---|
| 状态维度 | 👉 一维数组 | 👉 二维/三维数组 |
| 适用场景 | 🎯 线性序列问题 | 🎯 网格/矩阵问题 |
| 转移复杂度 | ⚡ 相对简单 | ⚡ 多方向转移 |
| 经典问题 | 打家劫舍 | 编辑距离 |
1.2 多维DP四步心法（在面对多维问题时怎样选择） 🚀
1️⃣ 状态定义维度选择
// 二维场景：网格路径问题
int[][] dp = new int[m][n]; // 表示走到(i,j)的最小路径和
// 三维场景：股票交易
int[][][] dp = new int[n][k][2]; // [天数][交易次数][持股状态]
2️⃣ 状态转移多向推导
graph TD
A((i,j)) -->|上方转移| B((i-1,j))
A -->|左侧转移| C((i,j-1))
A -->|对角线转移| D((i-1,j-1))
3️⃣ 初始化边界技巧
# 首行首列特殊处理
for i in range(m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
4️⃣ 遍历顺序选择
// 正序更新：适用于无后效性问题
for (int i=1; i<m; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
dp[i][j] = ...
}
}
// 逆序更新：适用于背包类问题
for (int i=m-1; i>=0; i--) {
for (int j=n-1; j>=0; j--) {
dp[i][j] = ...
}
}
1.3 何时选择多维DP？ 🔍
当问题具有以下特征时需考虑多维DP：
- 🎯 双重约束条件 ：如背包问题中的重量+体积限制
- 🎯 空间移动特征 ：如棋盘类问题的行列坐标
- 🎯 状态叠加需求 ：如股票交易中的天数+交易次数+持股状态
二、🔍 具体习题
具体的解题思路请看博文：算法精讲--动态规划四步法则 ，方法依旧如同上期当中的内容，通过四步法则来进行解题。
1.1 编辑距离（72. 编辑距离）
🛠️ 四维分析法：
-
状态定义
dp[i][j]表示将word1前i个字符转换为word2前j个字符的最小代价int[][] dp = new int[m+1][n+1]; // Java数组初始化 -
状态转移方程推导
操作类型 转移方向 代价计算 删除 i-1→idp[i][j] = dp[i-1][j] + 1插入 j-1→jdp[i][j] = dp[i][j-1] + 1替换 i-1,j-1→i,jdp[i][j] = dp[i-1][j-1] + cost -
Java实现（含滚动数组优化）
public int minDistance(String word1, String word2) { int m = word1.length(), n = word2.length(); int[] prev = new int[n+1]; for (int j=0; j<=n; j++) prev[j] = j; for (int i=1; i<=m; i++) { int[] curr = new int[n+1]; curr[0] = i; for (int j=1; j<=n; j++) { if (word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)) { curr[j] = prev[j-1]; } else { curr[j] = Math.min(Math.min(prev[j], curr[j-1]), prev[j-1]) + 1; } } prev = curr; } return prev[n]; }
1.2 不同路径（62. 不同路径）
🔍 状态转移深层解析：
graph TD
Start((0,0)) -->|向右| A((0,1))
Start -->|向下| B((1,0))
A -->|继续右| C((0,2))
B -->|继续下| D((2,0))
C -->|...| End1
D -->|...| End2
Java实现（二维压缩为一维）
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, 1); // 第一行初始化
for (int i=1; i<m; i++) {
for (int j=1; j<n; j++) {
dp[j] += dp[j-1]; // 滚动更新
}
}
return dp[n-1];
}
三维扩展案例：股票交易中的三维状态
dp[i][k][0] 表示第 i天完成 k次交易后不持有股票的最大收益
三、⚡ 状态压缩四大心法
3.1 滚动数组法
📌 适用场景：行间无后效性 🎯 典型例题：120. 三角形最小路径和
// Java实现滚动数组
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int[] dp = new int[triangle.size()+1];
for (int i=triangle.size()-1; i>=0; i--) {
for (int j=0; j<triangle.get(i).size(); j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
return dp[0];
}
3.2 位运算压缩
📌 处理集合状态类问题 🎯 典型例题：847. 访问所有节点的最短路径
// 状态编码示例
int state = 0;
state |= (1 << node); // 标记节点已访问
3.3 二进制掩码法
📌 处理排列组合问题 🎯 典型例题：351. 安卓系统手势解锁
// 状态转移核心代码
int mask = 1 << 9; // 9个点的状态存储
if ((visited & (1 << next)) == 0) { // 检查是否访问过
newState = visited | (1 << next); // 更新状态
}
3.4 分层压缩法
📌 处理三维DP优化 🎯 典型例题：188. 买卖股票的最佳时机 IV
// 三维压缩为二维
int[][] dp = new int[k+1][2];
for (int i=1; i<=n; i++) {
for (int j=k; j>=1; j--) {
dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j][1] + prices[i]);
dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], dp[j-1][0] - prices[i]);
}
}
四、📝 实战训练营思路分析解析
案例1：不同路径 II（63. 不同路径 II）
分步代码解析：
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.length, n = obstacleGrid[0].length;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1; // 🚩关键初始化
for (int i=0; i<m; i++) {
for (int j=0; j<n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
dp[j] = 0; // ❗遇到障碍物清零
} else if (j > 0 && i == 0) {
dp[j] = dp[j-1]; // ➡️第一行特殊处理
} else if (i > 0 && j > 0) {
dp[j] += dp[j-1]; // ↘️状态转移核心
}
}
}
return dp[n-1];
}
深度解析：
-
初始化陷阱
- 起点即障碍：
obstacleGrid[0][0] == 1时直接返回0 - 首行处理：当
i==0时只能从左侧继承路径数（无法从上方来）
- 起点即障碍：
-
滚动更新原理
graph LR A[上一行状态] --> B[当前行状态] B -->|叠加左侧值| C[新状态]- 空间压缩：利用
dp[j] += dp[j-1]实现二维到一维的转化 - 更新顺序：必须从左到右遍历，保证
dp[j-1]是当前行已更新的值
- 空间压缩：利用
-
复杂度对比
方案 时间复杂度 空间复杂度 优势场景 基础二维DP O(mn) O(mn) 调试直观 滚动数组 O(mn) O(n) 大数据量优化
案例2：TSP问题（847. 访问所有节点的最短路径）
分步代码解析：
public int shortestPathLength(int[][] graph) {
int n = graph.length;
int[][] dp = new int[1<<n][n];
Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();
// 🎯初始化所有起点
for (int i=0; i<n; i++) {
Arrays.fill(dp[1<<i][i], n*n); // 初始化为极大值
dp[1<<i][i] = 0;
queue.offer(new int[]{1<<i, i});
}
// 🔁 BFS状态转移
while (!queue.isEmpty()) {
int[] state = queue.poll();
int mask = state[0], u = state[1];
for (int v : graph[u]) {
int newMask = mask | (1 << v);
if (dp[newMask][v] > dp[mask][u] + 1) {
dp[newMask][v] = dp[mask][u] + 1;
queue.offer(new int[]{newMask, v});
}
}
}
// 🏁获取最终结果
int res = Integer.MAX_VALUE;
for (int x : dp[(1<<n)-1]) {
res = Math.min(res, x);
}
return res;
}
四层递进解析：
-
状态设计精要
mask二进制位表示访问过的节点，如101表示节点0和2已访问dp[mask][u]：当前访问状态为mask且位于节点u时的最短路径
-
BFS与DP的融合
graph TB A[初始状态] --> B[队列存入所有起点] B --> C{队列非空?} C -->|是| D[取出队首状态] D --> E[遍历邻居节点] E --> F[生成新状态] F --> G{是否更优?} G -->|是| H[更新DP表并入队] G -->|否| C C -->|否| I[输出结果] -
算法特性分析
- 时间复杂度：O(n²·2ⁿ) → 适合n≤12的中等规模问题
- 空间优化：使用优先队列替代完整DP表可提升效率
五、💡 思维拓展训练
💬 进阶思考
🤔 当编辑距离问题中的操作代价不同时（如插入代价2，删除代价1），如何改造状态转移方程？欢迎在评论区留下你的解法！
🎁 小彩蛋：在力扣题库搜索「状态压缩」标签，探索更多精彩题目！
💡 思路参考
编辑距离变形题：若允许交换相邻字符操作（代价为1），如何改造状态方程？
// 新增交换操作判断
if (i>=2 && j>=2 &&
word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-2) &&
word1.charAt(i-2)==word2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i-2][j-2] + 1);
}
原理说明：当检测到连续两个字符可交换时，增加从 dp[i-2][j-2]转移的路径
📌 关键：动态规划的本质是状态空间的智慧遍历，通过多维状态定义和压缩技巧，在时间复杂度与空间复杂度之间找到平衡。掌握本文内容后，可尝试挑战1542. 找出最长的超赞子字符串（位运算压缩经典题）！
六、🔮 下期预告
《动态规划（三）：树形DP与状态机模型》 重点题目：
- 337. 打家劫舍 III 🏡（树形DP经典）
- 122. 买卖股票的最佳时机 II 📈（无限次交易状态机）
大家可以提前去尝试着做一做相关内容
