贪心算法

贪心算法（Greedy Algorithm）  是一种在每一步选择中都采取当前状态下局部最优解的策略，希望通过一系列局部最优选择最终得到全局最优解的算法设计方法。它的核心思想是“短视但高效”——每一步只关注眼前的最佳选择，不回溯、不全局规划。

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贪心算法的核心特点

1. 局部最优选择
   每一步决策都基于当前信息选择最优选项，不考虑未来的潜在影响。
2. 不可回溯
   一旦做出选择，不会撤销或重新评估之前的决策。
3. 高效性
   通常时间复杂度较低（如 O(nlog⁡n)O(nlogn)），适合处理大规模数据。
4. 不保证全局最优
   只有在问题满足特定性质时，贪心算法才能得到全局最优解。

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贪心算法的适用条件

贪心算法有效的关键在于问题满足以下两个性质：

1. 贪心选择性质（Greedy Choice Property）
   通过局部最优选择可以推导出全局最优解。即：每一步的贪心决策不会被后续步骤推翻。
2. 最优子结构（Optimal Substructure）
   问题的最优解包含其子问题的最优解。例如，若从 AA 到 CC 的最短路径是 A→B→CA→B→C，则 A→BA→B 和 B→CB→C 也必须是各自段的最短路径。

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贪心算法 vs. 动态规划

特性	贪心算法	动态规划
决策依据	仅当前局部最优	所有子问题的解组合
回溯性	无回溯	可能需要比较多种子问题的组合
时间复杂度	通常更低（如 O(nlog⁡n)O(nlogn)）	通常较高（如 O(n2)O(n2)）
适用问题	满足贪心选择性质的问题	具有重叠子问题和最优子结构的问题
示例	霍夫曼编码、最小生成树（Kruskal）	背包问题、最长公共子序列

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经典贪心算法示例

1. 活动选择问题

• 问题：从多个时间重叠的活动中选出最多不冲突的活动。

• 贪心策略：每次选择结束时间最早的活动，为后续留出更多时间。

• 代码片段（按结束时间排序后选择）：

  function selectActivities(activities) {
      activities.sort((a, b) => a.end - b.end); // 按结束时间排序
      const selected = [activities[0]];
      let lastEnd = activities[0].end;
  
      for (const act of activities.slice(1)) {
          if (act.start >= lastEnd) {
              selected.push(act);
              lastEnd = act.end;
          }
      }
      return selected;
  }
  

2. 霍夫曼编码

• 问题：用最短二进制编码表示字符，使总编码长度最小。
• 贪心策略：优先合并频率最低的节点，构建二叉树。
• 时间复杂度：O(nlog⁡n)O(nlogn)（使用优先队列）。

3. 最小生成树（Kruskal算法）

• 问题：在连通图中选择边，使所有节点连通且总权重最小。

• 贪心策略：按权重从小到大选择边，避免形成环。

• 代码关键步骤：

  // 使用并查集（Union-Find）检测环
  edges.sort((a, b) => a.weight - b.weight);
  for (const edge of edges) {
      if (find(parent, edge.u) !== find(parent, edge.v)) {
          union(parent, edge.u, edge.v);
          mst.push(edge);
      }
  }
  

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贪心算法的局限性

1. 不适用于所有问题
   例如，0-1背包问题（物品不可分割）无法用贪心算法得到最优解，但分数背包问题（物品可分割）可以。
2. 需严格证明正确性
   贪心策略的直观性可能掩盖其潜在错误。例如，若活动选择问题改为“选择时间最短的活动”，则可能无法得到最优解。

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如何证明贪心算法的正确性？

1. 数学归纳法
   证明每一步的贪心选择都能导向全局最优解。
2. 交换论证
   假设存在一个最优解，通过交换步骤使其逐步与贪心解一致，证明贪心解不劣于最优解。

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总结

贪心算法通过局部最优的短视决策，在特定问题中高效达到全局最优。它的威力与风险并存：

• 优势：简单、高效，适合实时系统或大规模数据。
• 挑战：必须严格验证问题是否满足贪心选择性质，否则可能得到次优解。

在应用时，始终先问： “当前问题是否能用贪心策略？如何证明？”