算法中的动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来高效解决原问题的算法设计方法。它通过存储中间结果避免重复计算，显著优化时间复杂度。

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动态规划的核心思想

1. 重叠子问题 (Overlapping Subproblems)
   问题可以被分解为多个重复出现的子问题。例如，计算斐波那契数列时，fib(5) 需要 fib(4) 和 fib(3)，而 fib(4) 又需要 fib(3) 和 fib(2)，子问题被多次重复计算。
2. 最优子结构 (Optimal Substructure)
   问题的最优解可以通过其子问题的最优解组合得到。例如，最短路径问题中，若 A→B→C 是 A→C 的最短路径，则 A→B 和 B→C 也必须是各自段的最短路径。

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动态规划的两种实现方式

1. 自顶向下（记忆化递归）

• 从原问题出发，递归分解为子问题，并用**缓存（记忆化）**存储已计算的子问题结果。

• 示例（斐波那契数列） ：

  const memo = new Map();
  
  function fib(n) {
      if (n <= 1) return n;
      if (memo.has(n)) return memo.get(n); // 直接使用缓存
      const res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
      memo.set(n, res); // 缓存结果
      return res;
  }
  

2. 自底向上（迭代填表）

• 从最小的子问题开始，逐步迭代求解并填充表格，直到解决原问题。

• 示例（斐波那契数列） ：

  function fib(n) {
      const dp = [0, 1];
      for (let i = 2; i <= n; i++) {
          dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
      }
      return dp[n];
  }
  

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动态规划的典型步骤

1. 定义状态
   明确 dp[i] 或 dp[i][j] 表示的含义（如：dp[i] 表示前 i 项的最优解）。

2. 建立状态转移方程
   找到子问题之间的关系。例如，爬楼梯问题：

   dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

   （到达第 i 阶的方式数 = 从第 i-1 阶走一步 + 从第 i-2 阶走两步）

3. 初始化边界条件
   设置初始值（如 dp[0] = 1，dp[1] = 1）。

4. 确定计算顺序
   自底向上时，需保证计算 dp[i] 时所需的子问题已解。

5. 优化空间复杂度（可选）
   若状态仅依赖前几个子问题，可压缩存储空间。例如，斐波那契数列只需保存前两个状态。

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动态规划的经典问题

问题名称	状态定义	状态转移方程
斐波那契数列	dp[i] 表示第 i 项的值	dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
背包问题	dp[i][w] 表示前 i 个物品、容量 w 的最大价值	dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i)
最长公共子序列 (LCS)	dp[i][j] 表示 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的 LCS 长度	if (s1[i] == s2[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
最短路径 (Floyd-Warshall)	dp[k][i][j] 表示经过前 k 个节点的 i→j 最短路径	dp[k][i][j] = min(dp[k-1][i][j], dp[k-1][i][k] + dp[k-1][k][j])

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动态规划 vs. 其他算法

方法	特点
分治法	子问题独立且不重叠（如归并排序），无记忆化。
贪心算法	每一步选择当前局部最优，无法保证全局最优（如 Dijkstra 最短路径）。
动态规划	通过子问题组合得到全局最优解，需满足最优子结构。

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适用场景

• 最优化问题（最大/最小值、最长/最短路径等）。
• 问题可分解为重叠子问题（如斐波那契、背包问题）。
• 需利用历史状态避免重复计算（如股票买卖问题）。

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代码示例（爬楼梯问题）

javascript

function climbStairs(n) {
    if (n <= 2) return n;
    let a = 1, b = 2; // 仅保存前两个状态，空间复杂度 O(1)
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        [a, b] = [b, a + b]; // 状态转移
    }
    return b;
}

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总结

动态规划通过状态定义和状态转移方程，将复杂问题转化为可管理的子问题。关键在于识别重叠子问题和最优子结构，并合理设计存储与计算顺序。掌握动态规划，能高效解决许多看似棘手的算法难题。