伴学笔记 AI刷题 2.徒步旅行中的补给问题 | 豆包MarsCode AI刷题

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问题描述

小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行,总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量,小R每天必须消耗1份食物。幸运的是,小R在路途中每天都会经过一个补给站,可以购买食物进行补充。然而,每个补给站的食物每份的价格可能不同,并且小R最多只能同时携带 K 份食物。

现在,小R希望在保证每天都有食物的前提下,以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗?

测试样例

样例1:

输入:n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2]
输出:9

样例2:

输入:n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出:9

样例3:

输入:n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1]
输出:10

问题分析

小R的徒步旅行问题是一个典型的动态规划问题。我们需要计算在保证每天都有食物的前提下,完成徒步旅行的最小花费。问题的关键在于如何在每个补给站决定购买多少食物,以及如何管理携带的食物数量,以最小化总花费。

解题思路

  1. 定义状态

    • dp[i][j] 表示从第 i 天开始,携带 j 份食物完成剩余旅行的最小花费。
  2. 状态转移

    • 对于每一天 i,我们考虑所有可能的购买食物数量 buy(从 0 到 k - j),并计算对应的花费。
    • 对于每种购买数量,我们计算剩余的食物数量 remain = j + buy - 1,并更新 dp[i][j] 为 dp[i + 1][remain] + buy * data[i] 和当前 dp[i][j] 中的较小值。
  3. 初始化

    • dp[n][0] = 0,因为最后一天不需要携带食物,花费为 0。
    • 其他 dp[i][j] 初始化为无穷大。
  4. 计算顺序

    • 从后往前遍历每一天,这样可以确保在计算 dp[i][j] 时,dp[i + 1][remain] 已经被计算过。
  5. 返回结果

    • 最终结果为 dp[0][0],即从第一天开始,携带 0 份食物完成整个旅行的最小花费。

解题代码

def solution(n, k, data):
    dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 最后一天不需要携带食物,花费为0
    dp[n][0] = 0
    
    # 从后往前遍历每一天
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        # 遍历当天开始时携带的食物数量
        for j in range(k + 1):
            # 遍历当天购买的食物数量
            for buy in range(k - j + 1):
                # 消耗一份后剩余的食物数量
                remain = j + buy - 1
                if remain >= 0:
                    dp[i][j] = min(
                        dp[i][j],
                        dp[i + 1][remain] + buy * data[i]
                    )
    
    return dp[0][0]

def main():
    # Add your test cases here
    print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9)

if __name__ == "__main__":
    main()

总结

  1. 时间复杂度

    • 我们需要遍历每一天 i(共 n 天),对于每一天,我们遍历所有可能的携带食物数量 j(共 k + 1 种可能),对于每种可能,我们遍历所有可能的购买食物数量 buy(共 k - j + 1 种可能)。
    • 因此,总的时间复杂度是 O(n * k * k)。
  2. 空间复杂度

    • 我们需要一个二维数组 dp 来存储状态,其大小为 (n + 1) * (k + 1)。
    • 因此,总的空间复杂度是 O(n * k)。

我们有效地解决了小R的徒步旅行问题。