问题描述
小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。
现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？
测试样例
样例1：
输入：
n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2]
输出：9
样例2：
输入：
n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出：9
样例3：
输入：
n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1]
输出：10
问题分析
小R的徒步旅行问题是一个典型的动态规划问题。我们需要计算在保证每天都有食物的前提下，完成徒步旅行的最小花费。问题的关键在于如何在每个补给站决定购买多少食物，以及如何管理携带的食物数量，以最小化总花费。
解题思路
-
定义状态：
dp[i][j]表示从第i天开始，携带j份食物完成剩余旅行的最小花费。
-
状态转移：
- 对于每一天
i，我们考虑所有可能的购买食物数量buy（从 0 到k - j），并计算对应的花费。 - 对于每种购买数量，我们计算剩余的食物数量
remain = j + buy - 1，并更新dp[i][j]为dp[i + 1][remain] + buy * data[i]和当前dp[i][j]中的较小值。
- 对于每一天
-
初始化：
dp[n][0] = 0，因为最后一天不需要携带食物，花费为 0。- 其他
dp[i][j]初始化为无穷大。
-
计算顺序：
- 从后往前遍历每一天，这样可以确保在计算
dp[i][j]时，dp[i + 1][remain]已经被计算过。
- 从后往前遍历每一天，这样可以确保在计算
-
返回结果：
- 最终结果为
dp[0][0]，即从第一天开始，携带 0 份食物完成整个旅行的最小花费。
- 最终结果为
解题代码
def solution(n, k, data):
dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
# 最后一天不需要携带食物，花费为0
dp[n][0] = 0
# 从后往前遍历每一天
for i in range(n - 1, -1, -1):
# 遍历当天开始时携带的食物数量
for j in range(k + 1):
# 遍历当天购买的食物数量
for buy in range(k - j + 1):
# 消耗一份后剩余的食物数量
remain = j + buy - 1
if remain >= 0:
dp[i][j] = min(
dp[i][j],
dp[i + 1][remain] + buy * data[i]
)
return dp[0][0]
def main():
# Add your test cases here
print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9)
if __name__ == "__main__":
main()
总结
-
时间复杂度：
- 我们需要遍历每一天
i（共n天），对于每一天，我们遍历所有可能的携带食物数量j（共k + 1种可能），对于每种可能，我们遍历所有可能的购买食物数量buy（共k - j + 1种可能）。 - 因此，总的时间复杂度是 O(n * k * k)。
- 我们需要遍历每一天
-
空间复杂度：
- 我们需要一个二维数组
dp来存储状态，其大小为 (n + 1) * (k + 1)。 - 因此，总的空间复杂度是 O(n * k)。
- 我们需要一个二维数组
我们有效地解决了小R的徒步旅行问题。
