问题分析与解决思路
在物流运输中，货船的租用是一个关键环节。小S在码头需要租用货船来承载货物，但她希望在有限的预算内，选择能够承载最大货物量的货船组合。这个问题可以归结为经典的“背包问题”变种，即多重背包问题。
问题定义
给定：
Q：货船的种类数量。V：总预算（单位：元）。ships：一个列表，其中每个元素是一个元组[m[i], v[i], w[i]]，分别表示第i种货船的数量、租赁价格和每艘货船的最大载货量。
目标是：
- 在预算
V元内，找到能够承载的最大总货物量。
解决思路
-
动态规划初探： 动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决此类问题的有效方法。我们可以使用一个数组
dp[j]来记录预算为j时的最大载货量。初始时，dp[0] = 0，表示预算为0时，最大载货量也是0。 -
状态转移方程： 对于每一种货船，我们需要考虑在所有可能的预算下，如何更新
dp[j]。假设当前处理到第i种货船，其数量为m[i]，租赁价格为v[i]，载货量为w[i]。我们可以在预算j内选择不同数量的第i种货船，使得总载货量最大化。dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v[i]] + k * w[i]);其中
k是从1到m[i]的整数，表示选择的第i种货船的数量。这个过程确保我们在预算j内尝试所有可能的货船组合，选择最优的那一个。 -
倒序遍历预算： 由于我们使用的是一维数组，为了避免在更新过程中覆盖前面的状态，我们需要从大到小遍历预算
j。这样可以确保每个预算状态只依赖于之前的预算状态，而不会受到当前货船选择的影响。
代码实现
public static int solution(int Q, int V, List<List<Integer>> ships) {
int[] dp = new int[V + 1]; // 动态规划数组，dp[j]表示预算为j时的最大载货量
// 遍历每种货船
for (int i = 0; i < Q; i++) {
int m = ships.get(i).get(0); // 第i种货船的数量
int v = ships.get(i).get(1); // 第i种货船的租赁价格
int w = ships.get(i).get(2); // 第i种货船的载货量
// 遍历所有可能的预算
for (int j = V; j >= v; j--) {
// 尝试选择不同数量的第i种货船，更新dp[j]
for (int k = 1; k <= m && k * v <= j; k++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w);
}
}
}
return dp[V]; // 返回预算V下的最大载货量
}
复杂度分析
- 时间复杂度：由于我们需要遍历每种货船的所有可能数量和预算，时间复杂度为
O(Q * V * Σ(m[i]))，其中Σ(m[i])是所有种类货船数量之和。 - 空间复杂度：我们使用了一个大小为
V+1的数组，因此空间复杂度为O(V)。
优化思路
在实际应用中，如果货船种类数量 Q 或者预算 V 非常大，上述方法可能效率较低。可以考虑的优化方向包括：
- 二进制分解：将每种货船的数量分解为多个2的幂次，这样可以将
Σ(m[i])的复杂度降低到log(m[i])。 - 单调队列优化：对于某些情况，可以使用单调队列来维护状态转移的最优值，进一步提高效率。
