动态规划 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。

测试样例

样例1：

输入：dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1

样例2：

输入：dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4

样例3：

输入：dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3

样例4：

输入：dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1

样例5：

输入：dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4

解决思路

1. 动态规划定义：

   • 我们使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将dna1的前i个字符转换成dna2的前j个字符所需的最少编辑步骤。

2. 初始化：

   • 当dna1为空字符串时，将空字符串转换成dna2的前j个字符需要j次插入操作，因此dp[0][j] = j。
   • 当dna2为空字符串时，将dna1的前i个字符转换成空字符串需要i次删除操作，因此dp[i][0] = i。

3. 状态转移：

   • 如果dna1[i-1] == dna2[j-1]，即当前字符相等，则不需要进行编辑，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。

   • 如果dna1[i-1] != dna2[j-1]，则我们需要考虑三种编辑操作：

     • 插入：在dna1的第i个字符前插入dna2[j-1]，即dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1（插入操作的次数等于之前状态的次数加1）。
     • 删除：删除dna1的第i个字符，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1（删除操作的次数等于之前状态的次数加1）。
     • 替换：将dna1[i-1]替换为dna2[j-1]，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1（替换操作的次数等于之前状态的次数加1）。

   • 由于我们要找的是最少编辑步骤，因此dp[i][j]应取上述三种操作中的最小值。

4. 返回结果：

   • 遍历完成后，dp[m][n]即为将dna1转换成dna2所需的最少编辑步骤，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。

复杂度分析

• 时间复杂度：由于我们创建了一个(m+1)x(n+1)的二维数组dp，并填充了所有元素，时间复杂度为O(m*n)。
• 空间复杂度：同样地，由于我们使用了二维数组dp来存储状态，空间复杂度也为O(m*n)。

通过这种方法，我们可以有效地计算两个DNA序列之间的编辑距离。