178.小C的连续自然数乘积问题 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小S在学习素数因子的分解，她希望在[1,n][1,n]的范围内，找到一些连续的自然数，这些数的乘积最多包含kk个不同的素因子。你的任务是帮助小S找到可以取的连续自然数的最大长度。

连续的自然数指的是不能重复且相邻数的差为1的一组正整数，例如 [2, 3, 4, 5] 和 [5, 6, 7] 都是连续的取数。

问题理解

我们需要在 [1, n] 的范围内找到一些连续的自然数，这些数的乘积最多包含 k 个不同的素因子。目标是找到可以取的连续自然数的最大长度。

关键点

1. 素因子分解：我们需要对每个数进行素因子分解，并统计其素因子的数量。
2. 滑动窗口：为了找到最大长度的连续自然数，我们可以使用滑动窗口技术来动态调整窗口的大小。

数据结构选择

• 素因子分解：可以使用一个字典来存储每个数的素因子及其数量。
• 滑动窗口：可以使用两个指针来表示窗口的左右边界。

算法步骤

1. 初始化：

   • 初始化一个字典来存储当前窗口内每个素因子的数量。
   • 初始化两个指针 left 和 right 表示窗口的左右边界，初始值均为 1。
   • 初始化一个变量 max_length 来记录最大长度。

2. 滑动窗口：

   • 移动 right 指针，将新的数加入窗口，并更新素因子字典。

   • 检查当前窗口内的素因子数量是否超过 k：

     • 如果超过，移动 left 指针，缩小窗口，直到素因子数量不超过 k。

   • 更新 max_length。

3. 终止条件：

   • 当 right 指针超过 n 时，终止循环。

代码实现

### 时间复杂度分析

update_prime_factors 函数

• 这个函数用于分解 num 的素因子，并更新 prime_factors 字典。
• 对于一个数 num，我们需要检查从 2 到 sqrt(num) 的所有数，看看它们是否是 num 的因子。
• 因此，update_prime_factors 的时间复杂度是 O(sqrt(num))。

remove_prime_factors 函数

• 这个函数用于移除 num 的素因子，并更新 prime_factors 字典。
• 类似于 update_prime_factors，它的时间复杂度也是 O(sqrt(num))。

count_distinct_primes 函数

• 这个函数用于统计 prime_factors 字典中不同素因子的数量。
• 它的时间复杂度是 O(1)，因为只需要返回字典的长度。

solution 函数

• 在 solution 函数中，我们使用滑动窗口技术来找到最大长度的连续自然数。
• right 指针从 1 遍历到 n，因此外层循环的时间复杂度是 O(n)。
• 对于每个 right，我们调用 update_prime_factors，其时间复杂度是 O(sqrt(right))。
• 在每次移动 left 指针时，我们调用 remove_prime_factors，其时间复杂度是 O(sqrt(left))。
• 因此，内层循环的总时间复杂度是 O(n * sqrt(n))。

综上所述，solution 函数的时间复杂度是 O(n * sqrt(n))。

空间复杂度分析

prime_factors 字典

• prime_factors 字典用于存储当前窗口内每个素因子的数量。
• 在最坏情况下，prime_factors 字典的大小不会超过 k，因为题目要求素因子数量不超过 k。
• 因此，prime_factors 字典的空间复杂度是 O(k)。

其他变量

• 其他变量（如 left、right、max_length 等）的空间复杂度是 O(1)。

综上所述，solution 函数的空间复杂度是 O(k)。

总结

• 时间复杂度：O(n * sqrt(n))
• 空间复杂度：O(k)