10.小F的永久代币卡回本计划 | 豆包MarsCode AI刷题

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对"永久代币卡回本问题" 进行详细解析。问题描述清晰,但要从中提炼出解题思路并高效实现,仍需要一定的分析和算法设计能力。

在游戏中,永久代币卡是一种高性价比的道具,购买后可以通过每天登录返还虚拟货币的方式逐步回本。我们需要解决的问题是:给定代币卡价格 (a) 和每天返还的虚拟货币数量 (b),至少需要登录多少天才能回本。

显然,这是一个典型的整数除法问题,但需要特别注意边界条件和实际意义。


思路解析

  1. 基本数学模型

    每天登录返还 (b) 勾玉,登录天数为 (x)。要达到回本,即满足: [ b \times x \geq a ]

    由于 (x) 必须是整数,实际计算时需要向上取整: [ x = \lceil \frac{a}{b} \rceil ]

    上式也可以通过整除公式转换为: [ x = \left\lfloor \frac{a + b - 1}{b} \right\rfloor ]

    公式解释:

    • (a + b - 1) 确保了向上取整的效果。
    • 整除运算 (\left\lfloor \frac{\cdot}{b} \right\rfloor ) 保证结果为整数。
  2. 边界条件分析

    • 如果 (b = 0):每天返还为零,回本不可能,此时可以返回 (\text{\texttt{Infinity}}) 或报错。
    • 如果 (a = 0):卡片价格为零,不需要登录即可回本,直接返回 0。
  3. 算法复杂度

    本问题的核心计算仅包含加法、减法和整除运算,其时间复杂度为 (O(1))。

  4. 测试样例验证

    • 样例1:(a = 10, b = 1)
      • 每天返还1勾玉,需要登录 (10) 天。
    • 样例2:(a = 10, b = 2)
      • 每天返还2勾玉,需要登录 (5) 天。
    • 样例3:(a = 10, b = 3)
      • 每天返还3勾玉,(4) 天即可回本。

图解分析

假设 (a = 10), (b = 3):

  • 第一天登录后,剩余未返还金额:(10 - 3 = 7)
  • 第二天:(7 - 3 = 4)
  • 第三天:(4 - 3 = 1)
  • 第四天:(1 - 3 \leq 0),完成回本。

我们可以将回本过程用线性函数表示:

[ \text{返还总额} = b \times x ] [ \text{回本条件}:b \times x \geq a ]

图形上,随着 (x) 增加,返还总额呈现线性增长,达到或超过 (a) 时,标记为回本点。


代码实现

以下是基于 Python 的代码实现:

import math

def solution(a: int, b: int) -> int:
    if b <= 0:
        raise ValueError("每天返还的金额必须大于0")
    if a == 0:
        return 0
    # 使用向上取整公式计算
    return (a + b - 1) // b

# 测试样例
print(solution(10, 1))  # 输出: 10
print(solution(10, 2))  # 输出: 5
print(solution(10, 3))  # 输出: 4

代码详解

  1. 输入校验

    • 如果 (b) 小于等于 0,直接抛出异常,避免无意义的计算。
    • 如果 (a = 0),返回 0,因为无需回本。
  2. 核心计算

    • 使用 ((a + b - 1) // b) 公式代替 (\lceil a / b \rceil),实现向上取整的效果。
  3. 返回结果

    • 输出最少登录天数。

进一步思考

此问题可推广到多种场景:

  • 投资回本计算:初始投资额和固定收益比率。
  • 设备折旧周期估算:固定收益替代为固定折旧。

通过分析,我们发现这类问题的解题核心在于模型的抽象和整数运算的技巧。