动态规划之“最大化 UCC 子串计算” |豆包MarsCode AI刷题

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最大化 "UCC" 子串的编辑问题解析

引言

在字符串处理和编辑距离的问题中,我们经常需要在给定的限制条件下,对字符串进行修改,以达到某种优化目标。本文将深入探讨一个有趣的问题:在编辑距离不超过给定值的条件下,如何最大化字符串中指定子串的数量。具体而言,我们的目标是对只包含字符 'U''C' 的字符串进行编辑,使得在不超过给定编辑距离 m 的情况下,生成的字符串中包含尽可能多的 "UCC" 子串。

本文将从思考过程、尝试解决方案、详细解答以及优化策略等角度,逐步解析这个问题。希望通过详细的解释和示例,能够帮助读者深入理解问题的本质和解决方法。

问题描述

给定一个由字符 'U''C' 组成的字符串 S,以及一个编辑距离限制 m。编辑距离定义为将字符串 S 转换为另一个字符串所需的最少编辑操作次数,允许的编辑操作包括插入删除替换单个字符。

我们的目标是:在编辑距离不超过 m 的条件下,计算能够包含最多 "UCC" 子串的字符串中,最多包含多少个这样的子串。

示例:

  • 样例 1:

    输入:m = 3, s = "UCUUCCCCC"
    输出:3
    

    解释: 可以将字符串修改为 "UCCUCCUCC"(2次替换操作,不超过给定值 m = 3),包含 3 个 "UCC" 子串。

  • 样例 2:

    输入:m = 6, s = "U"
    输出:2
    

    解释: 可以通过插入 5 个字符 "CCUCC"(5次插入操作,不超过给定值 m = 6),将字符串修改为 "UCCUCC",从而获得 2 个 "UCC" 子串。

  • 样例 3:

    输入:m = 2, s = "UCCUUU"
    输出:2
    

    解释: 替换最后 2 个字符,可以将字符串修改为 "UCCUCC",从而得到 2 个 "UCC" 子串。

思考过程

这道题的思考难度算是中等偏上的。题目一开始看似简单,就是要找到尽可能多的 "UCC" 子串,但实际深入想就发现问题比较复杂。因为我们不仅要最大化 "UCC" 的个数,还要在编辑距离的限制下进行操作,这就让问题复杂化了。

我们需要考虑:

  • 如何选择最优的编辑操作(替换、插入、删除),并且控制在编辑距离限制内。
  • 编辑操作的次数如何最优化,不能随意增加不必要的字符或删除不合适的字符。

如果单纯只考虑如何找到 "UCC" 子串,可能问题会比较直观,但加上了编辑距离的限制,就需要更多的思考,尤其是在设计一种合适的状态转移和优化策略时。 在解决这个问题之前,我们首先要理解什么是编辑距离。编辑距离是指通过一系列的字符替换、插入或删除操作,将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数。在本题中,我们希望在给定的编辑距离限制下,通过对字符串进行修改,最大化字符串中 "UCC" 子串的数量。

1. 识别目标子串:

"UCC" 是我们需要尽可能多次出现的子串。首先,我们可以观察到,"UCC" 子串至少包含一个 'U' 和两个 'C'。因此,我们需要调整字符串中的 'U''C' 的位置,使得尽可能多的 "UCC" 子串能够形成。

2. 编辑操作的类型:

  • 替换: 如果当前字符和目标字符不一致,我们可以进行替换。例如,将一个 'U' 替换为 'C',或者反之。
  • 插入: 如果需要增加字符,插入是最直接的选择。例如,若当前字符串中缺少某些 'C''U',我们可以通过插入这些字符来形成更多的 "UCC" 子串。
  • 删除: 如果多余的字符干扰了子串的形成,删除操作也是一种可行的选择。

3. 目标:

给定编辑距离的限制 m,我们需要找到一个方法来计算出在这些操作条件下,能够包含的最多 "UCC" 子串的数量。

4. 动手尝试:

初步思考后,我们可以尝试直接贪心地寻找并修改已有的子串,使得尽可能多的 "UCC" 子串出现在字符串中。具体而言:

  • 我们可以先扫描一遍字符串,寻找 "UCC" 子串。
  • 如果找到了一个 "UCC" 子串,就尝试将其保持不变或通过编辑调整它的位置。
  • 继续寻找下一个可能的 "UCC" 子串,直到编辑距离达到上限。

5. 分析与优化:

由于字符串可能会很长,且我们需要优化编辑操作,因此可以采用动态规划(DP)的方法来逐步逼近最佳解。通过动态规划,我们可以记住每个状态下的编辑次数,从而避免重复计算。

解答步骤

接下来,我们详细描述如何使用动态规划来求解这个问题。

1. 状态定义:

设定 dp[i][j] 为在处理到字符串 S[0..i] 时,能够形成 j"UCC" 子串所需要的最小编辑距离。我们的目标是找到在编辑距离不超过 m 的情况下,能够形成的最多 "UCC" 子串的个数。

2. 初始化:

初始化时,我们设定 dp[0][0] = 0,表示当字符串为空时,显然没有 "UCC" 子串,编辑距离为 0。

3. 状态转移:

  • 如果当前处理的子串能够形成一个 "UCC" 子串,我们尝试从前一个状态转移过来。
  • 对于每个位置的字符,如果编辑后可以形成一个新的 "UCC" 子串,计算编辑操作并更新状态。

4. 最终结果:

遍历所有的状态,找出在编辑距离小于等于 m 的情况下,能形成的最大 "UCC" 子串的数量。

代码实现

public class Main {
    public int solution(int m, String s) {
        int n = s.length();
        
        // dp[i][j] 表示处理到 i 位置时,形成 j 个 "UCC" 子串所需要的最小编辑距离
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        
        // 初始化 dp 数组
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;  // 初始化为最大值,表示不可达
            }
        }
        
        dp[0][0] = 0;  // 初始化,第 0 个字符时,编辑距离为 0
        
        // 遍历字符串
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                // 当前字符选择替换操作
                if (dp[i - 1][j] != Integer.MAX_VALUE) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
                }
                
                // 如果当前字符可以作为 "UCC" 的一部分
                if (j > 0 && i >= 3) {
                    int cost = (s.charAt(i - 1) != 'C') ? 1 : 0;  // 替换为 C
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 3][j - 1] + cost);
                }
            }
        }
        
        // 找到满足条件的最大 "UCC" 数量
        int maxUCC = 0;
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            if (dp[n][i] <= m) {
                maxUCC = Math.max(maxUCC, i);
            }
        }
        return maxUCC;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(3, "UCUUCCCCC") == 3);
        System.out.println(solution(6, "U") == 2);
        System.out.println(solution(2, "UCCUUU") == 2);
    }
}

5. 代码分析:

  • dp[i][j] 表示考虑到第 i 个字符时,能够生成 j"UCC" 子串的最小编辑距离。
  • 在转移过程中,我们根据是否能形成一个新的 "UCC" 子串来选择编辑操作。
  • 最终结果是检查在编辑距离小于等于 m 的情况下,能够形成的最多 "UCC" 子串的数量。

总结

感受:

通过动态规划,我们能够逐步逼近最优解,从而最大化生成 "UCC" 子串的数量。在代码中,我们通过状态转移和优化编辑操作来控制编辑距离,在给定限制内求得最多的 "UCC" 子串。

从解题的角度来说,难度相对较大。这是因为问题涉及到的思路不是非常常见,且解法需要通过动态规划来逐步逼近最优解。动态规划本身就是一个比较抽象且容易混淆的技术,尤其是在这样的限制条件下,如何有效地定义状态、设计转移方程是解题的难点。

我们需要思考的问题有:

  • 状态定义:如何定义 dp 数组和状态,使得每个状态都能够反映编辑距离限制和 "UCC" 子串的最大化。
  • 转移方程:如何从前一个状态有效地转移到当前状态,确保最少的编辑操作能生成最多的 "UCC" 子串。
  • 时间和空间复杂度的控制:虽然有动态规划的解法,但在实际编码中,如何保持效率,避免超时,也是需要考虑的部分。

编码实现上并不复杂,但是理解问题和设计动态规划状态时,需要仔细推敲和多次验证。总体上难度中等,最后感谢各位的浏览。