248小X的区间或值和困难 | 豆包MarsCode AI 刷题豆包MarsCode AI 刷题中一道标记为困难的题

豆包MarsCode AI 刷题中一道标记为困难的题目
题意如下所示：
小X有一个数组，她定义数组的权值为数组中任选两个数的按位或的值之和。具体来说，对于数组中的每个连续子数组，我们可以计算所有可能的两个元素的按位或值之和，并将这些值相加。小C想知道该数组中所有可能的连续子数组的权值和是多少，最后结果对10^9 + 7取模。

题解
显然，可以通过暴力算法求解，时间复杂度为O(n^2)，因为测试样例比较弱，所以也可以通过。

def solution(n: int, a: list) -> int:
    ans = 0 
    mod = 10 ** 9 + 7
    for i in range(1 , n + 1) :
        x = a[i - 1]
        for j in range(i + 1 , n + 1) :
            y = a[j - 1]
            ans += (x | y) * i * (n - j + 1) % mod
    return ans 

if __name__ == '__main__':
    print(solution(4, [2, 3, 1, 2]) == 44)
    print(solution(3, [5, 6, 7]) == 35)
    print(solution(2, [1, 10]) == 11)
    print(solution(5, [1, 2, 4, 8, 16]) == 402)

接下来，就考虑是否有时间复杂度可以降到nlogn的算法。我请教了AI，以下是AI的解答。

算法思路概述：

按位分离： 我们可以将问题分解为对于每一个二进制位，计算其对最终答案的贡献。
统计每个位的贡献： 对于每个二进制位，我们需要计算该位在所有可能的元素对中被设置为1的总次数，考虑到元素对在所有连续子数组中的重复出现，我们需要计算每个元素对在多少个连续子数组中出现。
优化计算： 利用栈或线段树等数据结构来高效地统计每个位的贡献，以满足 O(nlog⁡n)的时间复杂度要求。

详细算法步骤：

初始化答案变量：

复制代码
MOD = 10**9 + 7
total_sum = 0

对于每个二进制位 bbb（从0到30，共31位）：

复制代码
for b in range(31):
    # 初始化该位的贡献
    bit_contribution = 0

预处理每个元素的第 bbb 位：
- 创建一个数组 S，其中 S[i]=1表示第 i个元素的第 b位为1，S[i]=0表示为0。
```
复制代码
S = [ (A[i] >> b) & 1 for i in range(n) ]
```
计算第 bbb 位的贡献：
- 统计连续的0序列： 对于第 b 位为0 的位置，找到所有连续的0的区间。
- 计算这些区间内元素对的数量： 对于每个连续的0的区间，长度为 l，则该区间内元素对数为 \frac{l \times (l - 1)}{2}2l×(l−1)。
- 计算总的元素对数： 数组总元素对数为 n×(n−1)2。
- 计算第 b 位为1的元素对数：
```
复制代码
total_pairs = n * (n - 1) // 2
zero_pairs = sum( l * (l - 1) // 2 for each zero sequence of length l )
one_pairs = total_pairs - zero_pairs
```
- 考虑元素对在所有连续子数组中的重复次数：
  - 元素对 (i,j) 在多少个连续子数组中出现？
    - 对于位置 i 和 j（i<j），它们被包含在的连续子数组数为 count=i×(n−j+1)。
- 计算第 b 位的总贡献：
```
复制代码
bit_contribution = (one_pairs * 2**b) % MOD
```

累加到总答案：

复制代码
total_sum = (total_sum + bit_contribution) % MOD

输出答案：
```
复制代码
print(total_sum)
```

以上的思路基本正确，核心在于按位分解。但是细节上还是有些错误的。

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