基于LCG策略的分布式券码生成器

本项目是基于LCG实现的分布式券码生成器，通过它我们可以在分布式环境下生成无重复的、无规律的、可控的随机券码。关于项目源码可通过链接github.com/kc-co9/coup…查看。

概述

在典型的团购券、优惠券等应用中常常需要用到一种唯一标识符来标识用户购买到的券，使得用户可以通过这唯一标识符来准确地消费掉这张券，对于这唯一标识符我们称之为"券码"（下文统一用"券码"表示）。一般意义上，"券码"有以下三个特性:

• 无重复。应用平台凭借这个"券码"来标识用户所购买的券，如果存在重复就会造成当用户消费的时候无法识别所要消费的券。
• 无规律。如果应用平台生成的"券码"是很容易被察觉到规律的，这样就很容易让用户通过伪造"券码"去消费，造成不必要的损失。
• 可控的。如果应用平台所生成的"券码"长度太长，那么用户很难通过提供"券码"的方式让商家进行核销或者其它操作。

因此，要是我们想实现一款"券码"生成器，最基本是要保证其生成的"券码"是无重复的、无规律的、可控的。

算法

在coupon-code项目中，我们采用了线性同余生成器（LCG）算法来实现分布式"券码"生成器。经过调研，LCG算法是可以满足无重复、无规律和可控的特性的。

线性同余策略（LCG）是一个通过不连续的分段线性方程来生成伪随机数的策略，该方程属于最古老、最著名的伪随机数生成算法之一，即:

X(n+1) = (a*X(n) + c) mod m

其中，X(n)表示伪随机数的值，a、c和m为生成器设定的整形常量，具体含义如下：

• a，0 < a < m，表示倍率
• c，0 <= c < m，表示递增量
• m，0 < m，表示模数

在计算第一个伪随机数时方程需要一个起始值X(0)，又称之为种子值或者开始值，取值范围为0 <= X(0) < m。

根据上述公式，我们可以生成随机"券码"的最大数量为m，当然这也需要我们选择合适的参数a和参数c与其相匹配，如果选择不当的话不但所生成的"券码"数量会大大缩减，而且生成"券码"的效率也会大幅度降低。最简单地，我们可以选择参数a=1和参数c=1来创建一个"券码"生成器，即：

X(n+1) = (X(n) + 1) mod m

虽然这样所能生成的最大"券码"数量为m，但是它并不具备随机性。因此，为了能达到最大的随机数周期和更好的随机性，我们一般会选择如下3种参数方案：

1.m为素数，c=0

第一种方案是将参数c设置为0、参数m设置为素数(prime)，即：

X(n+1) = a*X(n) mod m

在这种方案下，如果我们同时将a设置为模m下的本原元(primitive element)，并且X0设置在1到m-1之间（包含），生成随机"券码"的最大周期是可以达到m-1的。其中，对于模m下的本原元(primitive element)可理解为：

对于与模m互质的每个整数a，都有整数k使得g^k ≡ a (mod m)，那么g就被称为模m下的本原元(primitive element)。

其中，由于模m为素数，使得区间[1,m-1]中每个整数a都与其互质，也就是说对于区间[1,m-1]中每个整数a都有k使得g^k ≡ a (mod m)。

因为模m为素数，所以模m下的本原元a一定存在。

2.m为2次幂，c=0

第二种方案是将参数c设置为0、参数m设置为2的次幂(a power of two)，即：

X(n+1) = a*X(n) mod m

在这种方案下，我们可以特别有效率的计算mod运算，因为当模为2的次幂时它可以转换为位运算，即：

X(n+1) = (a*X(n)) mod m 
       = (a*X(n)) & (m-1)

通过这种方式，我们就可以通过截断最高有效位来忽略对其的计算了。

然而，在这种方案下生成随机"券码"的最大周期只能达到m/4，而要达到最大周期m/4需要我们将a设置为a ≡ ±3 (mod 8)、X0设置为奇数。即使在这种最优的情况下，每次生成Xn的最低3位二进制位也只会在两个数值之间交替（相当于只贡献1位二进制有效位）。具体地，在这种情况下Xn的最低有效位(1th bit)永远不会变化，即Xn永远为奇数，而剩余的2位最低有效位(2th bit和3th bit)则在后续的每次计算中只有一位会发生变化。

在数学中，表达式a ≡ ±3 (mod 8)是一种同余关系，它表示整数a除以8的余数要么是3，要么是-3（但通常我们会将其转换为正余数，即5，因为-3加上8的整数倍可以变为5）。更具体地，

• a ≡ 3 (mod 8)：这表示整数a除以8的余数是3。换句话说，存在某个整数k，使得 a = 8k + 3。
• a ≡ -3 (mod 8)：这表示整数a除以8的余数是-3。但是，在模运算中，我们通常会将余数转换为正数，因为模运算的结果是一个在模数范围内的数。因此，-3可以转换为8 - 3 = 5（因为加上8的整数倍不会改变余数）。所以，a ≡ -3 (mod 8) 等价于 a ≡ 5 (mod 8)，表示存在某个整数k，使得 a = 8k + 5。

实际上，对于上述方案我们完全可以使用模为m/4(2的次幂)和c!=0的LCG来代替，具体可看下述第三种方案。

3.m为2次幂，c!=0

第三种方案是将参数c设置为非0、参数m设置为2的次幂(a power of two)，即：

X(n+1) = (a*X(n) + c) mod m

根据赫尔-多贝尔(Hull–Dobell)定理，在c != 0的情况下，只要我们选定的参数符合某种规则，就可以让随机券码的最大周期达到m（无论X0为任何值），具体规则如下：

1. m和c互质。
2. a-1能被m的所有质因子整除。
3. a-1能被4整除，如果m能被4整除。

虽然说在这个方案开头声明了m需要为2的次幂，但实际上m可以选取符合以上条件的任何值，只不过当m的值存在很多重复的质因子时生成随机数的均匀性和随机性会更好，典型的就是2的次幂。 另外，在《TABLES OF LINEAR CONGRUENTIAL GENERATORS OF DIFFERENT SIZES AND GOOD LATTICE STRUCTURE》论文中也阐述了一种方式让LCG的生成周期可以达到最大周期m，即当m为2的次幂，c为奇数，a为a ≡ 5（mod 8）时LCG的生成周期能达到最大周期m。但实际上，这种参数的选择也是符合赫尔-多贝尔(Hull–Dobell)定理的，在使用上我们可通过这种方式来完成参数的选择，避免在参数的选择上因为要进行一系列的验证而耗费大量的时间。

本项目在考虑到算法的生成周期和选择参数校验的难易程度，最终选择了使用方案3组成的LCG算法来作为券码生成器的算法基础。与此同时，在《TABLES OF LINEAR CONGRUENTIAL GENERATORS OF DIFFERENT SIZES AND GOOD LATTICE STRUCTURE》论文中对于不同的方案也提供了一系列能达到各自最大周期的可选值，而且在对多维随机数的生成质量（分布均匀性）提供了可量化的数值后标识出其中具有最佳分布均匀性的参数值。虽然多维随机数的分布均匀性对我们当前项目中使用的"券码"生成器（一维随机数）并无直接的影响/关系，但是我们可以直接选用这些能达到最大周期的参数值，从而避免在参数值的选取和校验上浪费了大量的时间。

对于多维随机数，我们可以理解为在t维空间中的随机坐标。具体地，对于选定的参数a、c和m，使用每个x0连续生成t个随机数用来表示T维空间的一个坐标，即T={xn=(x(n),..,x(n+t-1))}，然后根据定义的规则计算出在选定参数下生成的每个坐标分布的均匀值（衡量均匀性），以此来找到具有最佳分布均匀性的参数值。

设计

考虑到分布式环境下"券码生成器"的生成效率和性能，在设计上coupon-code采取了去中心化的方式来实现，即不存在一个"大"券码池在分布式环境下提供给各个服务共同使用，而是每个服务各自w维护一个"小"券码池提供给自己使用，但这也会带来分布式环境下生成"券码"唯一性的问题，因此需要对每个"小"券码池生成的"券码"添加一个唯一的"序号"No。另外，基于LCG生成全周期的"券码"是需要记录上一次生成的"券码"Xn，因此在设计时也需要考虑到Xn的持久化问题。也就是说，为了保证多实例下的唯一性和单实例下的唯一性，在设计时我们需要对"序号"No和上一次生成的"券码"Xn进行持久化。

假设我们基于数据库来作持久化处理，那我们的表结构将设计为下面这样：

CREATE TABLE `coupon_code_generator`
(
    `id`           BIGINT UNSIGNED  NOT NULL AUTO_INCREMENT COMMENT '主键',
    `no`           BIGINT UNSIGNED  NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT '编号',
    `a`            BIGINT           NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT 'multiplier',
    `c`            BIGINT           NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT 'addend',
    `m`            BIGINT           NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT 'modulo',
    `x0`           BIGINT           NOT NULL DEFAULT -1 COMMENT 'x0',
    `xn`           BIGINT           NOT NULL DEFAULT -1 COMMENT 'xn',
    `cnt`          BIGINT UNSIGNED  NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT 'xn数量',
    `status`       TINYINT UNSIGNED NOT NULL DEFAULT 0 COMMENT '状态 0-未知 1-待激活 2-激活中 3-已失效',
    `heartbeat_at` DATETIME         NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP COMMENT '心跳时间',
    `created_at`   DATETIME         NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP COMMENT '创建时间',
    `updated_at`   DATETIME         NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP ON UPDATE CURRENT_TIMESTAMP COMMENT '更新时间',
    PRIMARY KEY (`id`) USING BTREE,
    UNIQUE KEY uk_no (`no`) USING BTREE
) ENGINE = InnoDB COMMENT ='券码xn生成器';

考虑到需要检测通过LCG生成的"券码"是否已经完成了一个周期的循环，这里也记录下x0来进一步判断，从而避免生成重复的"券码"。另外，也考虑到不同实例可能会使用不同参数来构建LCG，从而实现不同业务背景的"券码"能力，这里也记录下a、c和m参数来进行相对应的查询匹配。

另一方面，考虑到持久化过程中可能存在的IO操作会影响到"券码"生成的效率，因此在coupon-code项目中通过冷池（Cold pool）和热池（Hot pool）将Xn的持久化操作和客户端请求"券码"的操作隔离开来，以此来提高整体的生成效率。具体地，在项目启动时首先会基于设定的LCG生成大量的"券码"到冷池中，并在后续不断检测冷池是否处于满盈状态，如果不处于则继续生成"券码"填充进去；与此同时，热池也会不断地从冷池中拉取"券码"直至热池处于满盈状态。其中，"券码"从冷池传输到热池时需要将传输的"券码"进行持久化，以保证服务重启后也能保证"券码"生成的唯一性。

根据"券码"的生成机制，冷池和热池的大小会影响到最终"券码"生成器的效率与性能，其中热池的大小更是直接决定了它的最大并发量。一般情况，我们会将冷池设置得相对较大，而热池则设置得相对较小，这是因为Xn的持久化操作只会发生在"券码"从冷池传输到热池的过程，也就是说在每次服务重启时都会将存储在热池中的"券码"丢失。因此，在对冷池和热池的大小进行调整时，不但需要考虑生成器并发量的问题，还需要考虑它的使用寿命问题（避免频繁重启导致大量生成的"券码"被浪费）。

综上所述，对coupon-code最终设计的架构图如下所示:

 ┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
 │                           CouponCodePool                               │
 │ ┌────────────┐  ┌─────────────┐  ┌──────────────────┐  ┌─────────────┐ │
 │ │            │  │             │  │                  │  │             │ │
 │ │            │  │             ◄──┼       LCG        │  │             │ │
 │ │            │  │             │  │                  │  │             │ │
 │ │            │  │             │  └──────────────────┘  │             │ │
◄┼─┼  Hot pool  ◄──┼  Cold pool  │                        │ Report cfg  │ │
 │ │            │  │             │  ┌──────────────────┐  │             │ │
 │ │            │  │             ┼──►                  │  │             │ │
 │ │            │  │             │  │ State memorizer  │  │             │ │
 │ │            │  │             ◄──┼                  │  │             │ │
 │ └────────────┘  └─────────────┘  └──────────────────┘  └─────────────┘ │
 └────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

关于最终实现的项目源码可通过链接github.com/kc-co9/coup…查看。

使用

在使用时，首先我们需要创建出CouponCodePool实例，这就需要先创建出ICodeGen实例让我们可以对"券池"的状态进行实例化，具体实现可参考对应的实现类。接着，我们再将ICodeGen实例传入到CouponCodePool完成实例的创建，即：

ICodeGen codeGen = ...;
CouponCodePool couponCodePool = new CouponCodePool(codeGen);

除此之外，我们还可以在创建CouponCodePool实例时指定热池和冷池的大小。

在完成CouponCodePool实例的创建后，我们就需要调用CouponCodePool#init方法来执行"券池"的初始化，即：

CouponCodePool couponCodePool = ...;
couponCodePool.init();

与此同时，在实例销毁或者服务关闭时我们也需要调用CouponCodePool#destroy方法来执行"券池"的销毁，

最后，在完成初始化后我们就可以通过CouponCodePool#next方法来执行"券码"的生成了，即：

String couponCode = couponCodePool.next();

当然，如果我们使用Spring容器来管理CouponCodePool实例的话，整体的使用流程就简单的多（在声明bean实例时可以指定其中的初始化方法和销毁方法），即：

@Bean(initMethod = "init", destroyMethod = "destroy")
public CouponCodePool couponCodePool(...) {
    ICodeGen codeGen = ...;
    return new CouponCodePool(codeGen);
}

在需要获取"券码"的地方注入CouponCodePool的bean实例，然后调用CouponCodePool#next方法获取即可：

@Service
public class XxxBizService {

    @Autowired
    private CouponCodePool couponCodePool;
    
    public void bizMethod() {
        
        // 业务逻辑...
        
        String couponCode = couponCodePool.next();
        
        // 业务逻辑... 
        
    }
}

扩展

可选的生成策略

除此之外，在设计过程中还考虑过以下的候选方案，只不过它们并没有很好地符合当前的需求。

• UUID策略
• 雪花策略

UUID策略

UUID策略是一种用于生成唯一标识符的生成策略，其中对该策略生成标识符我们可称之为UUID（Universally Unique Identifier）。在构造上，UUID是一个由128位二进制组成，以最经典的OSF版UUID为例，其结构如下所示:

Name	Offset	Length	Description
time_low	0x00	4 octets / 32 bits	The low field of the timestamp.
time_mid	0x04	2 octets / 16 bits	The middle field of the timestamp.
version	0x06	1/4 octets / 4 bits	The version number.
time_hi	0x06	3/4 octets / 12 bits	The high field of the timestamp.
variant	0x08	1/4 octets / 2 bits	The variant.
clock_seq_hi	0x08	3/4 octets / 6 bits	The high field of the clock sequence.
clock_seq_low	0x09	1 octet / 8 bits	The low field of the clock sequence.
node	0x0A	6 octets / 48 bits	The spatially unique node identifier.

除去区分不同UUID版本和变体的version字段与variant字段外，其主要结构由前60位时间戳（基于UTC时间计算自1582年10月15日00:00:00.00起100纳秒（nanosecond ）的间隔次数（每隔100纳秒计数一次））、中间14位时钟序列（避免重复ID的生成）和后48位节点标识（区分每个生成UUID的节点）共同组成。

关于时钟序列（clock sequence），它主要是在时钟回拨或者node ID发生变化时发挥作用，以避免重复ID的生成：

• 如果发生了时钟回拨，UUID生成器并不能确保在大于回拨值的时间戳下没有UUID被生成，这时候时钟序列（clock sequence）必须被改变。
• 如果node ID发生了改变，重新设置时钟序列（clock sequence）可以最大程度地降低重复ID生成的可能性，因为不同机器的时钟设置可能会有稍微的不同。

通过UUID的构造分析，我们不难得出它能在一定并发量的前提下保证生成序列的唯一性，但是对于它所生成序列的无规律性和可控性就并没有那么强了，因为在总体上看UUID是基于时间戳生成的，在仔细分析下也是可以发现其中的规律。另外，对于UUID的可控性，由于它是通过固定的128位二进制数共同组成的，因此我们无法将它控制在一个固定的长度上。

总的来说，UUID能很大程度地保持生成序列的唯一性，但是对无规律性和可控性的要求则无法被很好满足，因此它并不是"券码"生成器的最佳策略。

雪花策略

雪花策略是一种被用在分布式系统生成唯一性标识符的生成策略，其中对该策略生成标识符我们可称之为雪花ID（Snowflake ID）。

在构造上，雪花ID是由64位二进制数组成，前41位是时间戳（从选定epoch算起的毫秒数）；中间10位是机器ID（在分布式环境下防止机器之间发生冲突）；最后12位是每台机器中的序列号（同一个时间戳下可生成2^(13)-1个雪花ID）。通过这样的结构，我们就可以在分布式环境下对每台机器每毫秒生成2^(13)-1个雪花ID（十进制数字）。更详细的结构图如下所示：

Fixed header format
Offsets	Octet	0								1								2								3
Octet	Bit	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
0	0	Timestamp
4	32											Machine ID										Machine Sequence Number

需要注意，在雪花ID的64位二进制数组成上，由于有符号数其第1位是符号位（默认是0表示正数），只有后63位被使用来存储数据，即1位符号段+41位时间段+10位机器ID段+12位序列号段。而无符号数并没有符号位，因此64位都可被使用来存储数据，即42位时间段+10位机器ID段+12位序列号段。除此之外，对于机器ID段和序列号段的位数也不是固定的，我们可以根据项目的实际情况对它们进行一定的调整。

通过雪花ID的构造分析，我们不难得出它也能在一定并发量的前提下保证生成序列的唯一性，但是对于它所生成序列的无规律性和可控性就并没有那么强了，因为在总体上看雪花ID呈现出了基于时间的有序性，这种有序性的规律对于使用雪花ID的开发者们都是十分显眼的。另外，对于雪花ID的可控性，由于它是通过固定的64位二进制数共同组成的，因此我们也无法将它控制在一个固定的长度上。

总的来说，雪花ID能很大程度地保持生成序列的唯一性，但是对无规律性和可控性的要求则无法被很好满足，因此它也并不是"券码"生成器的最佳策略。

本原元(primitive element)

对于本原元(primitive element)的概念，如果缺少与之相关的数学基础看起来会十分迷惑，下面我们将结合一些数学的基础概念对本原元(primitive element)进行阐述。

阿贝尔群(Abelian group)

在数学中，如果在集合A中存在一种操作·（·为具体操作的一个占位符）使得A中任意两个元素a和b可以在操作·下（可表示为a · b）生成A中的另一个元素，那么这个集合就被称为阿贝尔群(Abelian group)，即(A, ·)。除此之外，如果一个集合可被称为为阿贝尔群(Abelian group)，那么它需要同时符合以下条件：

• 结合律：对于集合A中的所有元素都有 (a · b) · c = a · (b · c).
• 交换律：对于集合A中的所有元素都有 a · b = b · a.
• 单位元：在集合A中存在一个元素e使得集合A中所有元素a都有 e · a = a · e = a.
• 逆元：对于集合A中每一个元素a都存在一个集合A中的元素b使得 a · b = b · a = e，其中e为单位元.

域（Field）

在数学中，一个域（field）是一个具有加、减、乘、除操作定义的集合F，在F中每个有序的"元素对"在F定义的加、减、乘、除操作下都有唯一一个在F中的元素与之相对应，即F × F → F。除此之外，这些操作还需要满足下列属性，称为域公理：

• 加法结合律和乘法结合律：a + (b + c) = (a + b) + c； a * (b * c) = (a * b) * c.
• 加法交换律和乘法交换律：a + b = b + a； a * b = b * a.
• 乘法分配律(基于加法)：a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
• 加法恒等式和乘法恒等式：在F存在两个不同的元素0和1使得 a + 0 = a; a * 1 = a.
• 加法逆元：在F中的每一个a都有与之相对应一个-a(a的加法逆元)使得 a + (−a) = 0.
• 乘法逆元：在F中的每一个a(a != 0)都有与之相对应一个a^(-1)(a的乘法逆元)使得 a * a^(-1) = 1.

举个例子，我们过去学习的有理数和实数也是一种域，即有理数域和实数域；在有理数集合中，我们将任意的"有理数对"传入加、减、乘、除操作中进行运算都能得到一个有理数，而且对于上述域公理有理数也能满足，即：

• 有理数 + 有理数 = 有理数
• 有理数 - 有理数 = 有理数
• 有理数 * 有理数 = 有理数
• 有理数 / 有理数 = 有理数

那么该有理数集合就是一个域，我们可称之为有理数域。

同理，对于实数集合也能符合上述条件，即：

• 实数 + 实数 = 实数
• 实数 - 实数 = 实数
• 实数 * 实数 = 实数
• 实数 / 实数 = 实数

因此实数集合也是一个域，我们可称之为实数域。

综合上述，结合域（Field）和阿贝尔群(Abelian group)的定义，不难得出一个域在加法运算下是一个阿贝尔群(Abelian group)，对此我们称其为域的additive group。同理，一个域的非零元素在乘法运算下也是一个阿贝尔群(Abelian group)，我们称其为域的multiplicative group。

有限域(Finite fields)

在数学中，如果一个域(Field)包含的元素数量是有限的，那么它就被称为有限域(Finite fields)。 有限域(Finite fields)的元素数量被称为阶(order)，并且只有当阶(order)为素数的幂(p^k，p为素数，k为正整数)时，有限域(Finite fields)才会存在。

假设有限域(Finite fields)的阶(order)q=p^k，那么这个有限域(Finite fields)就可以表示为GF(q)。

如果在有限域的multiplicative group中存在一个元素可以通过它的次幂来表示multiplicative group中所有非零元素，则称它为这个有限域域的本原元(primitive element)，即有限域域的multiplicative group中所有非零元素都可以表示为a^i。

一般来说，对于给定的有限域中是存在多个本原元(primitive element)的。

一般情况下，如果有限域的阶n为素数时，那么它也可以被表示为整数集合在模n下映射，即GF(n)或者Z/nZ，{0,1,2,...,n-1}。在这种情况下，有限域的本原元(primitive element)也被称为模n下的原根(Primitive root)。

模n下的原根(Primitive root)

在模运算中，对于与模n互质的每个整数a(a ∈ [1,n-1])，都有整数k使得g^k ≡ a (mod n)，那么g就被称为模m下的原根(Primitive root)。不难得出，当n为素数时在区间[1,n-1]中每个整数a都与其互质，也就是说在模m下每个整数a都有整数k使得g^k ≡ a (mod n)（若本原元g存在）。

当且仅当n为1,2,4,p^k或者2*(p^k)时，模n下的原根是存在的。其中，p为奇素数(odd prime)，k大于0(k > 0).

参考

• Wiki《Snowflake ID》
• Wiki《Universally unique identifier》
• Wiki《Linear congruential generator》
• Wiki《Lehmer random number generator》
• Wiki《Abelian group》
• Wiki《Multiplicative group》
• Wiki《Multiplicative group of integers modulo n》
• Wiki《Field (mathematics)》
• Wiki《Finite field》
• Wiki《Primitive element (finite field)》
• Wiki《Primitive root modulo n》