最小步数求解思路
问题描述
从位置 x 到位置 y 的最小步数问题，每一步的长度是正整数，每步的值为上一步的值 -1、0 或 +1，第一步和最后一步必须是 1。
样例分析
- 输入
(12, 6)，最小步数为 4。 - 输入
(34, 45)，最小步数为 6。 - 输入
(50, 30)，最小步数为 8。
解法一：归纳总结+二叉搜索
-
这里看这个示例突然想到了，1.2.3.4……n这个排列的和，然后就发现 (n*(n-1)/2)*2 = 差值，最后return n✖️2
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有了这个思路之后再看看示例，6,11,20,而 n*(n-1)/2 公式中 n 大致为2,3,4，所以步数是4,6,8
但是假如 差值14呢? 最小步数是
1，2，3，2,3，2，1是7步，但是最中间的‘2’的值可以是，2,3,4，所以7步实现的差值范围是，[14,16]
-
这里其实有点启发，那思路其实完全可以是，走n最大实现的差值是多少？然后去二叉搜索这个n呀
// 这里归纳一下：
// 1步 : 最多走1个距离
// 2步 : 最多走 2个距离 -> (2*4)/4
// 3步 : 最多走4个距离 ->((3-1)*(3-1+2))/2+(3+1)/2
// 4步 ： 最多走6个距离 ->(4*6)/4
// 5步 ：最多走 9个距离
// 6步 ：最走12个距离 ->(6*8)/4
// 7步 ：最多走 16个距离
// 8步 : 最多走 20个距离 -> (8*10)/4
所以：通过归纳法总结出公式了，
当n = 偶数 ，最大可以走 *(n(n+2))/4**个距离，当
n = 奇数，n=n-1,最大可以走 ((n-1)*(n+1))/4 + (n+1)/2步
既然公式有了，就可以直接用二叉搜索,进行逼近
解法二：公式推导
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步长变化规律：
- 由于每一步的步长只能变化
-1、0或+1，并且步长必须为正整数，这意味着步长序列是一个先增加后减少的序列，或者保持不变，然后减少，形成一个“山峰”形状。 - 第一步和最后一步的步长为
1，进一步强化了步长序列的对称性。
- 由于每一步的步长只能变化
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考虑步长序列的可能形式：
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为了使总步数最少，步长序列应该尽可能地先增加步长，然后再减少步长。
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例如，对于步长最大值为
m的序列，步长可以是：- 当步数为奇数时：
[1, 2, 3, ..., m, ..., 3, 2, 1]，步数为2m - 1。 - 当步数为偶数时：
[1, 2, 3, ..., m, m, ..., 3, 2, 1]，步数为2m。
- 当步数为奇数时：
-
-
建立步数与距离的关系： （这里的公式推导其实是等差数列）
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当步数为奇数（
N = 2m - 1）时：- 总距离
S = 1 + 2 + 3 + ... + m + ... + 3 + 2 + 1 = m^2。
- 总距离
-
当步数为偶数（
N = 2m）时：- 总距离
S = 1 + 2 + 3 + ... + m + m + ... + 3 + 2 + 1 = m(m + 1)。
- 总距离
-
-
推导最小步数的计算方法：
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给定距离
D = |y - x|，需要找到最小的m，使得总距离S不小于D。 -
算法步骤：
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初始化
m = 1。 -
判断：
- 如果
D <= m^2，则最小步数为N = 2m - 1。 - 如果
m^2 < D <= m(m + 1)，则最小步数为N = 2m。 - 否则，
m += 1，重复上述判断。 - （这里奇数和偶数的m时候，是总步长的最大值）
- 如果
-
-
public static int solution(int xPosition, int yPosition) {
int D = Math.abs(xPosition - yPosition);
if (D == 0) return 0;
int m = 0;
while (true) {
m++;
if (D <= m * m) {
return 2 * m - 1;
} else if (D <= m * (m + 1)) {
return 2 * m;
}
}
}
解法三：动态规划（失败了）
这个题不适合用dp，记录一下思考过程，有同学发现问题的话麻烦给一些建议
动态规划
这里求最小，然后又给出了“每步的值等于上一步的值 `-1`， `+0`，`+1`”
这样的选择,很自然联想到了动态规划
动态规划四个要素 1.状态 2.选择 3.定义dp 4.转移方程
1. 状态有哪些？步长 ,第i步的值，第i步最大能到达的值
选择是什么？每步的值等于上一步的值 `-1`， `+0`，`+1`
基于这些条件我们可以怎么定义p数组？
dp[i][j] 表示 第i步的最大的步长和是j
但是这样用不到选择呀
dp[i][j] 表示 第i步的步长是j,然后总和是最大
dp[i][j] = dp[i-1][j]或dp[i-1][j]或dp[i-1][j]
但是这样的条件有什么用呢？
什么时候选什么条件呢？
if (remain>n/2) ,这个时候就放心加 dp[i][j] = dp[i-1][j]+1
if(remain==n/2) dp[i][j] = dp[i-1][j]
if(remain<n/2) dp[i][j] = dp[i-1][j]-1
if(remain==0) return i+1;
但是这里问题变得复杂了又要解决奇偶问题了
所以这里dp[i][j]表示到达第i步到达最小位置j所需要的最小步数
