图形学初识--透视修正

航火火
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前言

前面章节讲解了面片剔除的内容，这一章节咱们补充一个比较关键的内容：透视矫正。主要包括：为什么？是什么？怎么做？，从这些角度考虑切入！

正文

为什么需要透视矫正？

通过前面章节三角形光栅化和重心坐标插值的学习，可以很容易计算出屏幕空间中三角形内部所有点的属性值：f(P)=αf(A)+βf(B)+γf(C)f(P) = \alpha f(A) + \beta f(B) +\gamma f(C)。

但是我们思考一个问题：屏幕空间坐标的重心坐标插值可以代替空间中三角形的情况么？

这个问题从以下两个坐标变换阶段分析：

  • 阶段一：视图坐标空间--->NDC坐标空间（只分析透视投影）
  • 阶段二：NDC坐标空间--->屏幕坐标空间

1、视图坐标空间--->NDC坐标空间（透视投影）

（1）直线：

我们先来看一个逆Y轴视角看的示意图：

在这里插入图片描述

假设一条直线 ABAB，投影到近平面上形成 A′B′A'B'，ABAB 有一个中点 CC 投影到近平面上为 C′C' ，那么我们很显然发现了C′C' 不是 A′B′A'B' 的中点。

从而可知，由于这是逆y轴看，也就说明从视图坐标空间--->NDC坐标空间的X轴坐标出现失真！类似可得，Y轴坐标也出现了失真，Z轴暂且抛开不谈。

紧接着，咱们设A′C′/A′B′=d′，AC/AB=dA'C'/A'B' = d'，AC/AB=d，可得以下等式：

f(C)=d∗f(B)+(1−d)∗f(A)f(C′)=d′∗f(B′)+(1−d′)∗f(A′)f(C) = d*f(B) + (1-d)*f(A)\\ f(C') = d'*f(B') + (1-d')*f(A')

容易知道：f(A)=f(A′)，f(B)=f(B′)f(A) = f(A')， f(B) = f(B')，同时根据上图可知d!=d′d != d' ，所以可以得到f(C)!=f(C′)f(C) != f(C')

也就是说线段 ABAB 中间的任何点的插值计算都会出现偏差。

（2）三角形：

根据上述的直线结论，咱们将其推广到三角形的中心坐标插值计算！

已知视图坐标空间SABCS_{ABC}，对应的NDC坐标空间的SA′B′C′S_{A'B'C'}，SABCS_{ABC}内任意一点 PP 对应NDC坐标空间为 P′P'，容易得到如下等式：

f(P)=αf(A)+βf(B)+γf(C)f(P′)=α′f(A′)+β′f(B′)+γ′f(C′)f(P) = \alpha f(A) + \beta f(B) + \gamma f(C)\\ f(P') = \alpha' f(A') + \beta' f(B') + \gamma' f(C')\\

容易知道：f(A)=f(A′)，f(B)=f(B′)，f(C)=f(C′)f(A) = f(A')， f(B) = f(B')，f(C) = f(C') ，很容易得出α和α′，β和β′，γ和γ′\alpha和\alpha'，\beta和\beta'，\gamma和\gamma' 不全相等，所以可以得到 f(P)!=f(P′)f(P) != f(P') 。

总结：

因此，我们得知视图坐标空间->NDC坐标空间，会发生失真，从而影响后续插值算法的计算，从而导致问题！

2、NDC坐标空间--->屏幕坐标空间

我们回顾以下，这个阶段总共做了两件事情：

  • 一：XYZ坐标范围从[−1,1][-1,1]，变换到[0,1][0,1]
  • 二：XY分别从[0,1][0,1] 变换到[0,screen_width][0,screen\_width] 和 [0,screen_height−1][0, screen\_height -1]

（1）XYZ坐标范围从[−1,1][-1,1]，变换到[0,1][0,1]

我们很容易想到，这个事情是涉及到均匀缩放和平移，不会影响重心坐标插值等计算！如下图：

在这里插入图片描述

（2）XY分别从[0,1][0,1] 变换到[0,screen_width][0,screen\_width] 和 [0,screen_height−1][0, screen\_height -1]

为了直观，这个事情要从两个过程考虑：

第一个过程： 1*1平行投影到一张纸上

第二个过程： 纵横统一缩放 screen_width/screen_heightscreen\_width/screen\_height 倍

如下图所示：

在这里插入图片描述

这里我们知道第二个过程不会影响重心坐标插值等计算。但是过程一不好说，所以咱们来进行分析过程一！

我们先观察直线的平行投影，如下图所示：

在这里插入图片描述

由相似三角形，很容易得到等式 AO:BO=A′O′:B′O′AO:BO = A'O':B'O' ，因此可以知道O点在平行投影前后插值比例不变！

然后咱们看一下空间中三角形平行投影的情况，如下图所示：

在这里插入图片描述

先观察左边三角形ABC，结合之前重心坐标计算公式，可知：

αγ=SBCOSBAO=hcha\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{S_{BCO}}{S_{BAO}} = \frac{h_c}{h_a}

根据相似三角形可以得到：

hcha=lcla\frac{h_c}{h_a} = \frac{l_c}{l_a}

所以可以得到：

αγ=lcla\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{l_c}{l_a}

同理根据右边三角形，咱么可以得到：

α′γ′=lc′la′\frac{\alpha'}{\gamma'} = \frac{l_c'}{l_a'}

又因为直线AC在平行投影前后，线段比例保持不变的结论: la:lc=la′:lc′l_a:l_c = l_a':l_c'

所以咱们可以知道：

αγ=α′γ′\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\alpha'}{\gamma'}

同理，咱们可得：

αβ=α′β′βγ=β′γ′\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}\\ \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\beta'}{\gamma'}

所以最终得到：α:β:γ=α′:β′:γ′\alpha:\beta:\gamma = \alpha':\beta':\gamma'，又因为α+β+γ=1且α′+β′+γ′=1\alpha+\beta+\gamma=1且\alpha'+\beta'+\gamma'=1，最终可以得到：

α=α′β=β′γ=γ′\alpha = \alpha'\\ \beta = \beta'\\ \gamma = \gamma'\\

于是我们可知平行投影的操作不会影响插值的计算！

总结：

从NDC坐标变换到屏幕空间变换的过程中，不会发生插值计算失真的现象！不需要矫正！

综上：

我们只需要修正视图空间下的重心坐标到NDC空间下的重心坐标关系即可！

什么是透视矫正？

在NDC坐标空间下，已知 △A′B′C′\triangle{A'B'C'} ，且已知三角形内某点O′O'的重心坐标为 (α′,β′,γ′)(\alpha',\beta',\gamma')

在视图坐标空间下，已知 △ABC\triangle{ABC} ，且已知三角形内某点OO的重心坐标为 (α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma)

通过上述分析可知，屏幕空间下计算的重心坐标结果和在NDC下一致。

所以问题可描述为： 通过屏幕空间下的重心坐标(α′,β′,γ′)(\alpha',\beta',\gamma')求真正视图坐标空间下的重心插值坐标(α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma)

透视矫正如何实现？

公式推导

已知：视图坐标空间下△ABC\triangle{ABC}；NDC坐标空间下 △A′B′C′\triangle A'B'C'，中间经过投影矩阵P和透视除法两个步骤，流程如下：

在这里插入图片描述

因此，同理可得：

A′=(MA⃗+t⃗wA)B′=(MB⃗+t⃗wB)C′=(MC⃗+t⃗wC)A'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}\\ B'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}\\ C'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}\\

注意：A′、B′、C′为三维向量A'、B'、C'为三维向量

假设在NDC下有一个点O′O'，按照重心坐标公式：

O′=α′A′⃗+β′B′⃗+γ′C′⃗O' = \alpha'\vec{A'}+\beta'\vec{B'}+\gamma'\vec{C'}

将A′,B′,C′A',B',C'分别代入，得到如下：

O′=α′(MA⃗+t⃗wA)+β′(MB⃗+t⃗wB)+γ′(MC⃗+t⃗wC)O' = \alpha'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}+\beta'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}+\gamma'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}

假设在视图坐标空间下有一个点OO​，按照重心坐标公式：

O=αA⃗+βB⃗+γC⃗O = \alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}

因为O′O'也是由OO经过投影变换和透视除法而来，所以类似可得：

O′=(MO⃗+t⃗wO)O'= \begin{pmatrix} \frac{M\vec{O} + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix}\\

将O⃗\vec O 带入可得：

O′=(M(αA⃗+βB⃗+γC⃗)+t⃗wO)O'= \begin{pmatrix} \frac{M(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}) + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix}\\

于是咱们结合上述的 O′O' 的两个等式表达，可得：

O′=α′(MA⃗+t⃗wA)+β′(MB⃗+t⃗wB)+γ′(MC⃗+t⃗wC)=(M(αA⃗+βB⃗+γC⃗)+t⃗wO)\begin{align} O' &= \alpha'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{A} + \vec t}{w_A} \end{pmatrix}+\beta'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{B} + \vec t}{w_B} \end{pmatrix}+\gamma'\begin{pmatrix} \frac{M\vec{C} + \vec t}{w_C} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{M(\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}) + \vec t}{w_{O}} \end{pmatrix} \end{align}

由上述可得，适用于任何ABC取值，所以系数必须匹配相等，可得：

α′wA=αwOβ′wB=βwOγ′wC=γwO\frac{\alpha'}{w_A} = \frac{\alpha}{w_O}\\ \frac{\beta'}{w_B} = \frac{\beta}{w_O}\\ \frac{\gamma'}{w_C} = \frac{\gamma}{w_O}\\

从而，咱们就得到了：

α=α′wAwOβ=β′wBwOγ=γ′wCwO\alpha = \frac{\alpha'}{w_A}w_O\\ \beta = \frac{\beta'}{w_B}w_O\\ \gamma = \frac{\gamma'}{w_C}w_O\\

这样就得到了重心坐标分别在视图坐标空间和NDC坐标空间的关系。此时就剩一个未知数wOw_O 。

又因为α+β+γ=1\alpha + \beta + \gamma = 1，咱们将上述的关系式带入，可得：

α′wAwO+β′wBwO+γ′wCwO=1\frac{\alpha'}{w_A}w_O+\frac{\beta'}{w_B}w_O+\frac{\gamma'}{w_C}w_O = 1\\

所以就得到：

1wO=α′wA+β′wB+γ′wC\frac{1}{w_O} = \frac{\alpha'}{w_A} + \frac{\beta'}{w_B} + \frac{\gamma'}{w_C}

咱们大功告成！

于是得到矫正后的重心坐标插值公式：

f(O)=αf(A)+βf(B)+γf(C)=α′wAwOf(A′)+β′wBwOf(B′)+γ′wCwOf(C′)=wO(α′wAf(A′)+β′wBf(B′)+γ′wC(C′))\begin{align} f(O) &= \alpha f(A) + \beta f(B) + \gamma f(C)\\ &= \frac{\alpha'}{w_A}w_O f(A') + \frac{\beta'}{w_B}w_O f(B') + \frac{\gamma'}{w_C}w_Of(C')\\ &= w_O(\frac{\alpha'}{w_A} f(A') + \frac{\beta'}{w_B} f(B') + \frac{\gamma'}{w_C}(C')) \end{align}

深度Depth插值探讨

什么是Depth

对于某个顶点的Z值，经过视图变换、投影变换、透视触发，然后变换成NDC坐标，再经过屏幕空间变换，变成[0,1][0,1] 范围内的值，就是Depth！

问题描述

Depth作为一个属性，能够直接用屏幕空间的重心坐标进行插值计算而来呢？

推导

我们先来考察以下，经过透视投影矩阵变换前后，z坐标和w坐标的情况：

pc=[1aspect∗tan⁡(fovy∗0.5)00001tan⁡(fovy∗0.5)0000−f+nf−n−2fnf−n00−10](xeyeze1)p_c = \begin{bmatrix} \frac{1}{aspect*\tan(fovy*0.5)}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\tan(fovy*0.5)}&0&0\\ 0&0&-\frac{f+n}{f-n}&\frac{-2fn}{f-n}\\ 0&0&-1&0\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\y_e\\z_e\\1 \end{pmatrix}

z和w变化如下：

zc=−f+nf−nze+−2fnf−nwc=−zez_c = -\frac{f+n}{f-n}z_e + \frac{-2fn}{f-n}\\ w_c = -z_e

然后观察以下zcz_c经过透视除法，得到ndc坐标如下：

zndc=f+nf−n+2fnf−n1zez_{ndc} = \frac{f+n}{f-n} + \frac{2fn}{f-n}\frac{1}{z_e}

为了简化，设 zndc=A+B1zez_{ndc} = A + B\frac{1}{z_e}

这里的证明我们用反证法，我们需要证明的结论是可以直接用屏幕空间下的重心坐标进行插值Z。

所以，我们假设不能用屏幕空间下的重心坐标进行插值Z，因此得到下列不等式：

zndcO≠α′zndcA+β′zndcB+γ′zndcCz_{ndcO} \neq \alpha' z_ndcA + \beta' z_ndcB + \gamma' z_ndcC

将zndc=A+B1zez_{ndc} = A + B\frac{1}{z_e}公式带入，得到了关于视图坐标系下z的不等式：

A+B1zeO≠α′(A+B1zeA)+β′(A+B1zeB)+γ′(A+B1zeC)A + B\frac{1}{z_eO} \neq \alpha'(A + B\frac{1}{z_eA}) + \beta'(A + B\frac{1}{z_eB}) + \gamma'(A + B\frac{1}{z_eC})

然后两边进行拆分括号，得到：

A+B1zeO≠A(α′+β′+γ′)+Bα′zeA+Bβ′zeB+Bγ′zeCA + B\frac{1}{z_eO} \neq A(\alpha'+\beta'+\gamma') + B\frac{\alpha'}{z_eA} + B\frac{\beta'}{z_eB} + B\frac{\gamma'}{z_eC}

这时候因为α′+β′+γ′=1\alpha'+\beta'+\gamma' = 1，所以可以得到：

B1zeO≠Bα′zeA+Bβ′zeB+Bγ′zeCB\frac{1}{z_eO} \neq B\frac{\alpha'}{z_eA} + B\frac{\beta'}{z_eB} + B\frac{\gamma'}{z_eC}

因为B不可能为0，所以两边同时除B：

1zeO≠α′zeA+β′zeB+γ′zeC\frac{1}{z_eO} \neq \frac{\alpha'}{z_eA} + \frac{\beta'}{z_eB} + \frac{\gamma'}{z_eC}

这时候我们想想透视投影矩阵应用前后，第4维分量w的变量情况，可以得知：ze=−wcz_e = -w_c，带入得到

1wO≠α′wA+β′wB+γ′wC\frac{1}{w_O} \neq \frac{\alpha'}{w_A} + \frac{\beta'}{w_B} + \frac{\gamma'}{w_C}

我们发现，这个结论是我们已经证明相等的，所以假设不成立，所以结论成立！

总结

可以利用屏幕空间的重心插值坐标，直接对Depth属性进行插值。

结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！

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