二阶贝塞尔曲线SDF推导二阶贝塞尔曲线SDF推导缺乏相关的资料，本文的亮点有小白也能读懂: 笔者十余年没用过数学，就

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大家好，间隔快一个月没有发文章了，主要是这一篇推导实在是超出我能力范围太多了，同时缺乏相关的资料，啃下来非常不容易。本文的亮点有

小白也能读懂: 笔者十余年没用过数学，就是一个初中生数学水平，在理解过程中，看到资料中的有很多因为所以，完全不明白为什么可以因为所以: ( 原因是很多公式定理我都忘了，或者不知道。通过不断的查阅资料，终于写出来整个推导过程，这篇文章补充了很多这种基础知识，我相信这篇文章也会适合小白阅读，因为我自己就是小白
图例标记，证明符号，代码变量一致：在初次看贝塞尔曲线的距离场代码，完全搞不明白这个代码是怎么写出来的。再后来找到一些资料里面有整个证明过程，也看不懂。很大一部份原因是代码和数学公式中的符号完全不一样，本文图例，证明，代码所有符号都是一样
用棣莫弗定理和费马引理带图证明了第三个根不可能为最小值
关于贝塞尔曲线的SD推导，没有发现很完整的英文资料，更别说中文资料了...

基础

以下公式作为索引，会在推导过程中用到。如果这里讲的不明白，可以wiki查看。嫌麻烦可以直接跳转到推导

链式法则求导

链式法则是一种在微积分中求导复合函数的基本规则。

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

多项式求导

多项式求导是微积分中的一个基本概念，

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

其中， $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ 是常数系数， $n$ 是最高次幂且是一个非负整数。多项式函数的导数 $P'(x)$ 可以通过下列规则来计算：

幂规则：如果 $f(x) = x^n$ ，其中 $n$ 是任意实数，则 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ 。
常数规则：如果 $C$ 是一个常数， $f(x) = C$ 的导数是 0。即 $C' = 0$ 。

三次单位根

三次单位根，又被称为立方根的单位根，是复数中的一种特殊类型的数，它们是方程 $x^3 = 1$ 的解。

\begin{aligned} x_1 &= 1 \\ x_2 &= e^{\frac{i2\pi}{3}} = \cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ x_3 &= e^{\frac{i2\pi \cdot 2}{3}} = \cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{aligned}

三倍角公式

三倍角公式是三角函数中的一个重要公式，它将三倍角的三角函数值与单角的三角函数值联系起来。

\cos(3A) = 4\cos^3 A - 3\cos A

欧拉公式

这个关系式在复分析中非常关键，它将复数的指数运算和三角函数联系起来。

e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}

棣莫弗定理

当我们求一个复数 $z$ 的 $n$ 次根时，结果可以表示为

z^{1/n} = r^{1/n} \left( \cos \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1

卡丹方程

方程形如 $x^3 + px + q = 0$ ,它没有二次项,该形式的方程称为“折减形式”（Depressed form）或“卡丹形式” 其根由以下公式给出：

x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}

为了应用卡丹方程，任意形式的三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 需要首先通过代换转化为折减形式。这通常是通过对 x 进行替换，使原方程中的二次项消失，即设

x = y - \frac{b}{3a}

使用卡丹方法时，我们通常会碰到一个名为“卡丹判别式”的量

\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3

这个量告诉我们方程的根的性质：

如果 $\Delta > 0$ ，则方程有一个实根和两个复数根。
如果 $\Delta = 0$ ，则所有根都是实数，并且至少有两个根相等。
如果 $\Delta < 0$ ，则方程有三个不同的实数根。

韦达定理

韦达定理（Viète's formulas），是关于多项式方程根与其系数之间关系的一组定理。这些定理对于任何实数或复数系数的多项式方程都成立。

a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ x_1x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}

费马引理

费马引理（Fermat's Lemma）是微积分学中的一个基本结果，引理表述如下：

如果函数 $f$ 在点 $x = c$ 取得局部极大值或局部极小值，并且如果 $f$ 在 $x = c$ 可导，那么 $f'(c) = 0$

费马引理仅仅给出了可导函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点可以不是极值点，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值点，并进一步区分极大值点和极小值点，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。

推导

二阶贝塞尔曲线函数

a (2).gif 贝塞尔曲线是线性插值的结果。如果我们知道两点之间的距离，并想找出离第一个点20%间距的一个新的点(也就是离第二个点80%的间距)，我们可以通过简单的计算来得到：

Given \begin{pmatrix} p1 = some point \\ p2 = other point \\ distance = (p2 - p1) \\ ratio = \cfrac{percentage}{100} \end{pmatrix}, \text{our new point =} p_1 + distance \cdot ratio

2D坐标系中有A,B,C 三个点，有变量t， t的取值 $[0, 1]$ 。以此绘制一条2阶贝塞尔曲线，对坐标中任意点p，求p到该曲线的最短距离

vec2 Bezier(vec2 a, vec2 b, vec2 c, float t) {
    return mix(mix(a, b, t), mix(b,c,t), t);
}

又有

mix(a, b, t) = a\cdot(1-t) + b\cdot t

用数学公式表达，可以获取

P(t) = (1 - t)^2 \cdot A + 2 \cdot (1 - t) \cdot t \cdot B + t^2 \cdot C =(1-2t+t^2) \cdot A + (2t - 2t^2) \cdot B + t^2 \cdot C \\ \ \\ let \quad f(t) = P(t) - p \\ \ \\ f(t) = (A-2B+C) \cdot t^2 + 2 \cdot (B-A) \cdot t + A-p \\ \ \\ let \quad \begin{cases} a=B-A \\ b=A-2*B+C \\ c=2*(B-A) = 2a \\ d=A-p \end{cases} \implies f(t) = b \cdot t^2 + c \cdot t + d

最小距离就是求极值

于是贝塞尔曲线距离场问题变成了

what \ value \ t, the \ minimum \ value \ of \ |f(t)|

这个问题等于

what \ value \ t, the \ minimum \ value \ of \ f(t)^2

于是这就变成了一个求极值的问题，极值点一定是导数为0的点根据链式法则求导，可以计算如下：

\frac{d}{dt}[f(t)]^2 = 2f(t) \cdot f'(t)

应用基本的多项式求导

\begin{aligned} 0 &= 2f(t) \cdot f'(t) \\ &= 2 \cdot (b \cdot t^2 + c \cdot t + d) \cdot (2b \cdot t + c) \\ &= b \cdot t^2 \cdot (2b \cdot t + c) + c \cdot t \cdot (2b \cdot t + c) + d \cdot (2b \cdot t + c) \\ &= (b \cdot t^2 \cdot 2b \cdot t) + (b \cdot t^2 \cdot c) + (c \cdot t \cdot 2b \cdot t) + (c \cdot t \cdot c) + (d \cdot 2b \cdot t) + (d \cdot c) \\ &= 2b^2 \cdot t^3 + bc \cdot t^2 + 2bc \cdot t^2 + c^2 \cdot t + 2bd \cdot t + dc \\ &= 2b^2 \cdot t^3 + 3bc \cdot t^2 + (c^2 + 2bd) \cdot t + dc \\ \end{aligned}

最后的问题变成了一个3次多项式求解的问题......

g(t)=2b^2 \cdot t^3 + 3bc \cdot t^2 + (c^2 + 2bd) \cdot t + dc

卡丹方程解三次多项式

\begin{aligned} 0 &= 2b^2 \cdot t^3 + 3bc \cdot t^2 + (c^2 + 2bd) \cdot t + dc \\ &=t^3 + \frac{3ab}{b^2} \cdot t^2 + \frac{2a^2 + bd}{b^2} \cdot t + \frac{da}{b^2} \end{aligned}

let \ \ \begin{pmatrix} a_2 = \frac{3ab}{b^2} \\ a_1 = \frac{2a^2 + bd}{b^2} \\ a_0 = \frac{da}{b^2} \end{pmatrix} \implies x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0

求二阶导找出拐点，平移导0处(换元) 可以消除掉2次项

\begin{aligned} f(x)=x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 &\implies f''(x) = 6x + 2a_2 =0 \\ x\to x - \frac{a_2}{3} &\implies x^3 + a_1x + a_0 = 0 \end{aligned}

在掏出卡丹公式中的 $p$ $q$

let \begin{cases} p=-\frac{a_1}{3} \\ q=-\frac{a_0}{2} \\ \end{cases} \implies x^3 = 3px + 2q \\

\begin{aligned} let \ x\to s+t &\implies x^3 = 3st(s+t) + s^3 + t^3 \\ &\implies x^3 = 3st\cdot x + s^3 + t^3 \end{aligned}

将上述方程写成以下形式将等式1与2对比系数可得

\begin{cases} s^3 \cdot t^3 = p^3 \\ s^3 + t^3 = 2q \end{cases}

根据韦达定理, $s^3$ $t^3$ 为等式 $x^2 - 2qx + p^3 = 0$ 的解，于是有

\begin{cases} s^3 = q + \sqrt{q^2-p^3} \\ t^3 = q - \sqrt{q^2-p^3} \end{cases}

将等式完全展开，可以得到

x = s+t = \sqrt[3]{ q + \sqrt{q^2-p^3}} + \sqrt[3]{q - \sqrt{q^2-p^3}}

这套用三次单位根便可以完全展开

\implies x= \begin{cases} \sqrt[3]{ q + \sqrt{q^2-p^3}} + \sqrt[3]{q - \sqrt{q^2-p^3}} \\ \omega \sqrt[3]{ q + \sqrt{q^2-p^3}} + \omega^2\sqrt[3]{q - \sqrt{q^2-p^3}} \\ \omega^2\sqrt[3]{ q + \sqrt{q^2-p^3}} + \omega \sqrt[3]{q - \sqrt{q^2-p^3}} \\ \end{cases} \\ \omega = e^{\frac{2\pi}{3}i} = -\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{2}i

这个解法存在的问题是，只有依次计算每一个公式才能知道那些根实根

三角换元解三次多项式

采用这种方法能够规避上面的根号，以及实根不确定的问题

依三倍角公式有

\cos(3\theta) = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta

同样**这是一个三次方程，**所以如果存在以下的三次方程，可以得出

4x^3 - 3x - cos3\theta = 0 \implies x = cos\theta

还记得我们上一节等式1

x^3 = 3px + 2q

如果使用换元，让等式1能够满足三倍角公式，可以直接得出答案

\begin{aligned} x = 2\sqrt{p} \ C &\implies 4C^3 - 3C = \frac{q}{p\sqrt{p}} = cos3\theta \\ &\implies x = 2\sqrt{p} cos(\frac{\phi +2k\pi}{3}), \phi = arccos(\frac{q}{p\sqrt{p}}) , \quad k = 0, 1, 2 \end{aligned}

这个解是代码中使用的方法

复平面极坐标解三次多项式

回到我们的等式

\begin{cases} s^3 = q + \sqrt{q^2-p^3} \\ t^3 = q - \sqrt{q^2-p^3} \end{cases}

考虑三个实数根的情况 $q^2 < p^3$ ，如果 $q^2 < p^3$ , $s^3$ 和 $t^3$ 为一对共轭复数

s^3 = q + \sqrt{p^3 - q^2}i

$s^3$ 的magnitude $r$ 为

\sqrt{q^2 + p^3 - q^2} = p\sqrt[]{p}

将 $s^3$$t^3$ 放到极坐标可以得到下面这个图

geogebra: www.geogebra.org/classic/jf4…

对 $s^3$ 开立方根，利用棣莫弗定理公式可得

z^{1/3} = r^{1/3} \left( \cos \left( \frac{\phi + 2k\pi}{3} \right) + i\sin \left( \frac{\phi + 2k\pi}{3} \right) \right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1

直接就得到了三个解

对于解0

x = s_0 + t_0 = 2RealPart(s_0) = 2\sqrt{p} \ \ cos(\phi/3)

将s+t在极坐标复平台进行向量求和，于是我们得到与上一节一模一样的答案！！！而着背后其实就是欧拉公式

x= 2\sqrt{p} \cos \left( \frac{\phi + 2k\pi}{3} \right) , \phi = arccos(\frac{q}{p\sqrt{p}}) \quad k = 0, 1, 2

证明极小值只能在 $t_0$ 和 $t_1$ 中

我们这里回到用 $t$ 表示最终根的结果

\phi \in [0, \pi] \implies \frac{\phi}{3} = \theta \in [0, \frac{\pi}3]

geogebra: www.geogebra.org/classic/u8u…

对于任意 $\theta \in [0, \frac{\pi}3]$ , 都有

cos(\theta+\frac{2*1\pi}{3}) < cos(\frac{\phi + 2*2\pi}{3})< cos(\frac{2*0\pi}{3}) \implies t_1 < t_2 < t_0

回到二阶贝塞尔曲线的函数，有

\begin{aligned} f(t) &= b \cdot t^2 + c \cdot t + d \\ \frac{d}{dt}[f(t)]^2 = g(t) &= 2b^2 \cdot t^3 + 3bc \cdot t^2 + (c^2 + 2bd) \cdot t + dc \\ g'(t) &= 6b^2*t^2 + 6bc*t + c^2 +2bd \end{aligned}

$f(t)^2$ 的极值点一定是在一阶导数 $g(t)=0$ 的3个根，即 $t_1$$t_2$$t_0$ 。如果有三个实根的只有以下两种图像

geogebra: www.geogebra.org/classic/qdr…

在 $t_0$ 和 $t_1$ 有极大值，同时 $t_2$ 为极小值
在 $t_0$ 和 $t_1$ 有极小值，同时 $t_2$ 为极大值

以上两个函数的二阶导数 $g'(t)$ 的图像分别为以下两种，分别开口朝上和开口朝下

由于 $g'(t) = 6b^2*t^2 + 6bc*t + c^2 +2bd$ 中 $6t^2 > 0$ , 所以函数图像开口朝上，且有 $t_1 < t_2 < t_0$ 从图像观察可以得出

g'(t_2) < max(g'(t_0), g'(t_1)) \tag{1}

假设现在处于情况1 在 $t_0$ 和 $t_1$ 有极大值，同时 $t_2$ 为极小值。那么根据费马引理有极大值的二阶导数<0有

g'(t_0) < 0 \ \ and \ \ g'(t_1) < 0 \tag{2}

极小值的二阶导数>0 有

g'(t_2) > 0 \tag{3}

由不等式1，2可以推出

g'(t_2) < max(g'(t_0), g'(t_1)) < 0 \tag{4}

不等式3，4矛盾，故情况1不存在。贝塞尔曲线的最近距离一定是在根 $t0$ $t1$ 中

Q.E.D.

二阶贝塞尔曲线SDF推导