离散傅里叶变换学习-从一维到海洋模拟（二）最近在朋友的点拨下，以及通过网上查阅的一些资料来看，实现了一维离散傅里叶变换到

一维快速傅里叶变换（FFT）

在一维DFT的基础上，推导一维快速傅里叶变换的方法。要利用 $e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$ 的性质，将其记为 $W_N^{kn}$ 主要有以下性质：

周期性： $W_N^{a+N}=W_N^{a}$
对称性： $W_N^{a+\frac{N}{2}}=W_N^{a}$
缩放性： $W_N^{2}=W_{\frac{N}{2}}^{1}$

证明方法就是按旋转因子定义，直接拆开就行，就是代数变换。以上性质意味着值相同的就不用了再多计算一遍了，这就能简化DFT的计算过程。

FFT的递推公式就是基于上述性质对DFT进行变换得到的。

首先，把输入的时域信号x[n] , n = 0 , 1 , . . . ,N−1根据索引分为奇偶两部分

f_{even}[m] = x[2m]\\ f_{odd}[m] = x[2m+1]\\ m = 0,1,2,3,...,\frac{N}{2}-1

对DFT公式进行化简：

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn},k=0,1,2,3,...N-1\\ =\sum_{even}x[n]W_N^{kn}+\sum_{odd}x[n]W_N^{kn}\\

根据旋转因子的缩放性，可以进一步换算：

X[k]=\sum_{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{even}[2m]W_N^{2mk}+\sum_{m=0}^{\frac{N}{2}-1}x_{odd}[2m+1]W_N^{(2m+1)k}\\ =\sum_{m=0}^{\frac{N}{2}-1}f_{even}[m]W_{\frac{N}{2}}^{mk}+W_N^{k}\sum_{m=0}^{\frac{N}{2}-1}f_{odd}[m]W_{\frac{N}{2}}^{mk}

进一步得到递推公式：

X[k]=F_{even}[k]+W_N^kF_{odd}[k]

其中， $F_{even}[k]$ 为偶数项的DFT结果， $F_{odd}[k]$ 为奇数项DFT的结果。 $W_N^{k}$ 是 $e^{-j\frac{2\pi}{N}k}$ ，是一个复数。有了递推公式就可以递归地实现该算法。然而递归是非常慢的操作，观察公式可以发现。要计算 $X[k]$ ，只需要将输入序列分为偶数项和奇数项，计算偶数项的DFT，可以继续划分，直到最后只剩两项时，计算两个数的DFT。然后向上层传递。假设有输入序列有8个数。x[0],x[1],x[2]....x[7]，划分层次如下：

Layer_4=(x[0],x[1],x[2],x[3],x[4],x[5],x[6],x[7])\\ Layer_3=(x[0],x[2],x[4],x[6])+W_8^k(x[1],x[3],x[5],x[7])\\ Layer_2=(x[0],x[4])+W_4^k(x[2],x[6]),(x[1],x[5])+W_4^k(x[3],x[7])\\ Layer_1=(x[0])+W_2^k(x[4]),(x[2])+W_2^k(x[6]),(x[1])+W_2^k(x[5]),(x[3])+W_2^k(x[7])

最底下的数就是输入序列，按这个方式组合计算即可获得更高层次的结果，所有只需要自底向上层层按公式计算即可。在这里，不要被上面的(0,4),(2,6),(1,5),(3,7)的组合放置的顺序误导了，这里的遍历顺序仍然是0,1,2,3。具体的可以参考后面给出的代码实现。这里想要重点提一点的是，上面的 $x[n]$ 虽然输入是一个实数，但其实在代码实现中，可以转成复数计算，这样一来，整个傅里叶变换过程和逆变换过程，都是在复数空间中计算的，计算结果也是复数，这样去看公式，就更统一和好理解。更进一步地，分析快速傅里叶逆变换（IFFT），这里直接上公式，就不进行推导了，经过了前面的洗礼，推导的过程应该是很简单的。

x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}

由此可见，IFFT的公式除了左边的 $\frac{1}{N}$ 之外，还是一个复数乘积的求和公式。但是 $W_N^{-kn}$ 与FFT的相比，反过来了， $X[k]$ 就是FFT计算得到的序列。而快速计算的推导方法和FFT相同，就不再赘述。下面实现的代码仓库。
FFT和IFFT代码实现的仓库地址

二维快速傅里叶变换（FFT）

二维FFT是在一维FFT基础上实现，实现过程为：

对二维输入数据的每一行进行FFT，变换结果仍然按行存入二维数组中。结果是一行复数序列。
在1的结果基础上，对每一列进行FFT，得到二维FFT结果。

这里仍然拿之前二维DFT的示例程序进行修改。得到的结果与DFT的结果一致。

对于二维快速傅里叶逆变换，上面两点结论改改依然成立：

对二维FFT的每一行进行IFFT，结果是一行复数序列，变换结果仍然按行存入二维数组中。
在1的结果基础上，对每一列进行IFFT，得到二维IFFT结果。

二维FFT及IFFT代码仓库地址