投资学期末复习（1）之债券

小土豆长满芃芃草
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Bond Prices, Bond Yields, and Term Structure of Interest Rate

结构

第8-2页：债券的特征

  • 债券（Bond）：是一种金融证券，发行者需要按照约定在未来一段时间内向持有者支付特定金额。
  • 面值（Face or Par Value）：债券到期时支付给持有者的金额。
  • 票息率（Coupon Rate）：债券每年按面值支付的利息金额。
  • 零息债券（Zero Coupon Bond）：不支付利息的债券，以低于面值的价格出售，到期时支付面值。
  • 契约（Indenture）：定义债券发行者和持有者之间合同的文件。

第8-3页：为什么投资债券？

  • 债券被认为是低风险、低回报的投资工具，但实际上，它们在组合中可以提高风险回报性能。

第8-5页：企业债券

  • 介绍了债券市场的不同类型，如国库券、联邦机构债务、国际债券、通胀保护债券、市政债券、企业债券和抵押债券。

第8-7页至第8-10页：债券定价

  • 债券价格公式： PB=∑t=1TCt(1+r)t+Par Value(1+r)T P_B = \sum_{t=1}^T \frac{C_t}{(1 + r)^t} + \frac{\text{Par Value}}{(1 + r)^T} 其中(P_B)是债券价格，(C_t) 是每期的利息或票息支付，(T) 是到期期数，(r) 是半年折现率或到期收益率。
  • 提供了计算具体债券价格的例子，包括纯折扣债券和水平息票债券的价格计算。

第8-11页至第8-13页：债券收益率

  • 收益率到期（Yield to Maturity, YTM）：是使债券现值等于其价格的折现率。
  • 票息收益率：等于票息支付除以面值。
  • 现行收益率：等于票息支付除以债券价格。
  • 召回收益率（Yield to Call）：考虑债券可能被提前赎回的情况下的收益率。

第8-17页至第8-20页：溢价和折扣债券

  • 描述了债券价格和其票息率、到期收益率之间的关系。溢价债券的票息率高于到期收益率，而折扣债券则相反。

第8-28页至第8-42页：利率的期限结构

  • 期限结构（Term Structure）：不同到期时间的债券的利率的关系。
  • 现货利率（Spot Rates） 和 远期利率（Forward Rates）：现货利率是即时开始的投资的利率，远期利率是未来某个时点开始的投资的利率。
  • 无偏预期理论（Unbiased Expectations Theory） 和 流动性溢价理论（Liquidity Premium Theory）：这两种理论用于解释不同到期期限的债券之间的收益率差异。

重点摘要

好的，我们来总结并详细解释一下重要的公式和一些题目示例，这将有助于你理解债券定价及其相关概念。

1. 债券价格计算公式

债券价格 ( P_B ) 是未来现金流的现值总和。基本公式为： PB=∑t=1TCt(1+r)t+Par Value(1+r)TP_B = \sum_{t=1}^T \frac{C_t}{(1 + r)^t} + \frac{\text{Par Value}}{(1 + r)^T}

  • CtC_t 是第 tt 期的利息或票息支付。
  • rr 是半年折现率或半年到期收益率。
  • TT 是到期期数。

2. 债券价格实例

一个面值为 $1000，到期期限为7年，票息率为14%且半年支付一次的债券，如果市场利率为14%，其价格计算如下：

  • 票息现值（PV of Coupons）：70×(1−11.0714)0.07=612.18\frac{70 \times (1 - \frac{1}{1.07^{14}})}{0.07} = 612.18 美元
  • 面值现值（PV of Par Value）：10001.0714=387.82\frac{1000}{1.07^{14}} = 387.82 美元
  • 总债券价格：612.18+387.82=1000612.18 + 387.82 = 1000 美元

3. 收益率到期（Yield to Maturity, YTM）

YTM 是使得债券现值等于其价格的折现率。计算公式如下：

P=∑t=1TCt(1+YTM)t+Par Value(1+YTM)TP = \sum_{t=1}^T \frac{C_t}{(1 + YTM)^t} + \frac{\text{Par Value}}{(1 + YTM)^T}

4. YTM 的具体实例

假设有一张30年期，票息率为8%，面值为 1000，目前交易价格为1000，目前交易价格为 1276.76 的债券，如果票息半年支付一次，其YTM计算如下：

  • 1276.76=40×AF60,r%+1000×PVFactor60,r%1276.76 = 40 \times AF_{60, r\%} + 1000 \times PVFactor_{60, r\%}
  • 其中 r%r \% 是求解的半年收益率，通过实际计算我们得到 r=3%r = 3\%。

5. 收益率和价格的逆关系

  • 当市场利率上升，债券价格下降；反之，当市场利率下降，债券价格上升。

6. 利率的期限结构

  • 现货利率（Spot Rates） 和 远期利率（Forward Rates） 的定义及其在金融市场中的应用。
  • 无偏预期理论（Unbiased Expectations Theory） 和 流动性溢价理论（Liquidity Premium Theory） 用来解释不同到期期限的债券之间的收益率差异。

这些公式和概念是金融投资领域中的基础，理解并能够运用这些公式对于分析和评估债券投资非常关键。如果需要对特定题目或概念进行更深入的讨论，请随时告诉我！

详细内容

概念

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  • 债券（Bond）：是一种金融证券，发行者需要按照约定在未来一段时间内向持有者支付特定金额。
  • 面值（Face or Par Value）：债券到期时支付给持有者的金额。
  • 票息率（Coupon Rate）：债券每年按面值支付的利息金额。
  • 零息债券（Zero Coupon Bond）：不支付利息的债券，以低于面值的价格出售，到期时支付面值。
  • 契约（Indenture）：定义债券发行者和持有者之间合同的文件。

为什么投资债券

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“债券在组合中可以提高风险回报性能”这句话意味着债券可以作为一种有效的资产类别，帮助投资者平衡他们的投资组合，实现更好的风险与回报之间的平衡。这主要基于以下几个方面的考虑：

1. 风险分散

债券通常与股票等其他资产类别呈负相关或低相关性。这意味着当股市下跌时，债券价格可能稳定甚至上升。因此，在投资组合中加入债券可以帮助减少整体的波动性和风险。

2. 收益稳定性

债券提供定期的利息支付（称为票息），这为投资者提供了相对稳定的收入来源。对于那些寻求稳定现金流的投资者，如退休人员，债券是非常有吸引力的。

3. 资本保护

相比股票，债券通常被视为更保守的投资，尤其是政府债券和高信用等级的企业债券。这些债券的违约风险较低，能够为投资者提供资本保护。

4. 收益率和价格的反向关系

当市场利率下降时，已发行债券的价格往往上升，因为它们的票息率相对于新发行债券变得更有吸引力。这种价格上涨为债券投资者提供了资本增值的可能性。

5. 风险调整后的回报

虽然债券的绝对回报可能低于股票，但考虑到其较低的风险，债券的风险调整后的回报可能非常有吸引力。这意味着对于每单位承担的风险，债券可能提供较好的回报。

通过将债券纳入多元化的投资组合中，投资者可以在追求资本增长的同时，减轻潜在的下行风险，实现更为平稳的总体投资回报。这就是为什么许多投资策略和投资顾问推荐在投资组合中保持一定比例的债券投资，以帮助实现长期的财务目标，同时控制风险。

债券分类

image.png 这份概述列出了债券市场中的几种主要类别。每一类债券都有其独特的特征和市场作用。我们可以逐一详细解释这些债券类型：

1. 国库券和债券（Treasury Notes and Bonds）

  • 国库券（通常期限在1到10年）和国库债券（期限通常超过10年）是由美国财政部发行的债务工具。它们被认为是无信用风险的投资，因为它们由美国政府全额担保。
  • 国库券和债券是固定收益市场上最常见的工具，常被用作无风险收益率的基准。

2. 联邦机构债务（Federal Agency Debt）

  • 这些是由美国政府支持的机构（如房地美和房利美）发行的债务工具。虽然这些债券通常不是由美国政府直接担保，但它们仍被视为低风险投资。
  • 这些债券通常用于资助特定的政府项目，如住房抵押贷款。

3. 国际债券（International Bonds）

  • 指在全球市场上发行的债券，可以包括由非美国公司或政府发行的债券。
  • 国际债券使投资者能够通过投资于其他国家的债券来分散其投资组合。

4. 通胀保护债券（Inflation-Protected Bonds）

  • 这类债券的票面利率通常与通货膨胀指数（如美国的TIPS - 国库通胀保护证券）挂钩，以保护投资者免受通货膨胀侵蚀。
  • 这种债券的本金会根据通货膨胀率调整，因此支付的利息也会相应增加。

5. 市政债券（Municipal Bonds）

  • 这些是由地方或州政府为资助公共项目如学校、高速公路和水务系统等发行的债券。
  • 市政债券的一大特点是它们的利息收入在美国通常免税。

6. 企业债券（Corporate Bonds）

  • 由公司发行的债务证券，用以增加资本。这些债券通常风险较高，因此提供的回报也相对较高。
  • 企业债券的信用评级各异，从投资级（低风险、低收益）到高收益债券（或称为“垃圾债券”，风险高但潜在回报更大）。

7. 抵押贷款和抵押贷款支持证券（Mortgages and Mortgage-Backed Securities）

  • 这些是由抵押贷款资产池（如房屋抵押贷款）支持的债券。它们使投资者能够参与到房地产相关的债务投资中。
  • 抵押贷款支持证券（MBS）的支付依赖于抵押贷款池中的贷款支付表现。

定价

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图中的PV(coupons)公式有错误，少写了C，应该如下

票息现值的公式

PV(coupons)=C×(1−1(1+r)Tr)\text{PV(coupons)} = C \times \left( \frac{1 - \frac{1}{(1+r)^T}}{r} \right)

这里：

  • ( C ) 是每期支付的票息金额。
  • ( r ) 是每期的折现率（通常是年化的，但在具体计算中需要调整以匹配支付频率，例如半年或季度）。
  • ( T ) 是总的支付期数。

公式解释

此公式基于普通年金的现值计算公式。在年金公式中，我们计算连续支付的现值总和，这里的每次支付都按 ( r ) 折现，且支付持续 ( T ) 期。

  • 1(1+r)T\frac{1}{(1+r)^T}是第 ( T ) 期的支付的折现因子。
  • 1−1(1+r)T1 - \frac{1}{(1+r)^T} 表示从现在到 ( T ) 期的所有期的折现因子的差额。
  • 当我们将这个差额除以折现率 ( r )，我们实际上计算的是一个定期支付（每期支付 ( C )）的现值总和。这个公式是金融数学中处理普通年金问题的标准方法。

为什么使用这个公式？

债券的票息通常可以看作是一个普通年金，因为它们是定期（比如每年或每半年）支付固定金额。这个公式允许我们快速计算在考虑时间价值的情况下这些固定支付的当前总价值。债券投资者使用这个现值来决定债券的合理性和吸引力，因为它帮助他们理解在当前市场利率下，未来的这些支付在今天值多少钱。

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YTM

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image.png 提供的近似公式用于估算债券的收益率到期（YTM），虽然不是一个标准的金融分析方法，但可以从财务基本概念中推导理解它的构造和逻辑。

公式：

Estimated YTM=Dollar Coupon+(PV−Current Bond Pricet)PV+2×Current Bond Price3\text{Estimated YTM} = \frac{\text{Dollar Coupon} + \left( \frac{\text{PV} - \text{Current Bond Price}}{t} \right)}{\frac{\text{PV} + 2 \times \text{Current Bond Price}}{3}}

其中：

  • Dollar Coupon 是每期的利息支付。
  • PV 是债券的面值。
  • Current Bond Price 是债券的市场价格。
  • t 是债券到期前的支付期数。

数学推导与解释：

  1. 分子推导:

    • Dollar Coupon 代表每期支付给债券持有者的固定金额。
    • PV−Current Bond Pricet\frac{\text{PV} - \text{Current Bond Price}}{t} 代表从现在到债券到期的每期间，债券价值从当前价格回到面值的平均变动量。这相当于将债券的折扣或溢价按剩余期数平摊。

  2. 分母推导:

    • PV+2×Current Bond Price3\frac{\text{PV} + 2 \times \text{Current Bond Price}}{3} 这部分试图估计债券在剩余期限内的“平均”市场价值。这种计算方法可能基于一种假设，即债券的价值在到期前会逐渐趋向面值。这是一种简化的“加权平均”，其中债券的当前价值在计算中被赋予了更高的权重。

解释：

  • 此近似方法考虑了债券价格回归面值的路径，并尝试通过简单的算术平均来模拟债券持有期间的平均投资成本。
  • 分子中的项表现为期间的现金流（包括票息和每期因价格变动而产生的平均现金流）。
  • 分母则是在债券持有期间的平均资本占用，即平均投资额。

注意事项：

  • 这种估计方法虽然为快速计算提供了方便，但在实际应用中可能因忽略了复利效应和债券定价的更复杂因素（如市场利率变化、信用风险等）而导致不够精确。
  • 对于需要精确投资决策和详尽财务分析的情况，推荐使用精确的YTM计算方法，这通常涉及到数值方法解决债券定价公式。

总的来说，这个近似公式提供了一种快速理解债券收益率的方式，但应当谨慎使用，特别是在专业的金融分析和决策中。

YTC

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Realized Compound Return (or Horizon Yield)

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Holding Period Yield (HPY)

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The Relationship among Various Measures

  • Coupon yield = YTM if the bond is purchased at par and held to maturity.
  • Current yield = YTM if the bond is a perpetuity.(i.e. P = C/r)
  • YTM = Current Yield + Capital Gains Yield.

Term Structure of Interest Rate

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Yield Curve

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Term to Maturity and Interest Rates: Yield Curve

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image.png Yield Curve: Stylized Facts

  • stockcharts.com/charts/Yiel…
  • Low short-term interest rates usually implies an upward sloping yield curve; whereas, a high short-tern interest rates implies downward sloping (or inverted) yield curve.
  • Yield curve almost always slope upward

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Liquidity Premium Theory

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