数列的那点基础问题啥是数列？将人话就是依照某种规则排列生成的一堆数。 ${x_n}: x_1,x_2,x_3 \ldo

啥是数列？ 将人话就是依照某种规则排列生成的一堆数。

$\{x_n\}: x_1,x_2,x_3 \ldots x_n$

自然数列： $0,1,2,3,4,5,\ldots$
等差数列： $0,2,4,6,8,\ldots$
等比数列： $1,2,4,8,16,\ldots$

有界数列与无界数列

定义：对于数列 ${x_n}$ ，如果存在正数 $M$ ，即 $M > 0$ ，使得对于一切 $x_{n}$ 都满足不等式 $\vert x_{n} \vert < M$ ，则称该数列有界，如果不存在 $M$ ，则称该数列无界。

人话版：界限是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。

有界数列： $\{x_{n}\} = \frac{1}{n}$ ， $\vert x_{n} \vert \le 1$ 。

无界数列： $\{x_{n}\}=n^{2}$ 。

子数列

又称子序列，在数学中，某个数列的子数列是从最初数列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新数列。

在原数列 $\{x_{n}\}$ 中，使用 $x_{n}$ 表示第 $n$ 项。在子数列 $\{x_{n_{k}}\}$ 中，使用 $x_{n_{k}}$ 表示第 $k$ 项（ $x_{8_{2}}$ 表示原数列第 8 项为子数列的第 2 项）。

例如： $\{x_{n}\} = (1,2,3,4,5,6,7,8 \ldots)$ ，抽出偶数子数列为 $\{x_{n}^{'}\} = (2,4,6,8 \ldots)$ 。

等差数列

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值为常数的数列。

通项公式： $a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n$ 表示等差数列中第 n 项的值
$a_1$ 表示等差数列的首项
$d$ 表示等差数列的公差（任意两项之间的差值）
$n$ 表示要求的项数

求和公式： $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

首项加末项乘以项数除以二，等差数列的可视化可以想象成一个梯形，上底为首项，下底为末项，高度为项数： $\text{梯形面积} = \frac{{( \text{上底} + \text{下底} ) \cdot \text{高} }}{2}$ 。

**公差计算：**例如一个 $0-9$ 的序列，找出合理的公差，由通项公式可知 $9=0+(n-1)d$ ，则 $9=(n-1)d$ ，由于 $d$ 预计为正整数，所以找出 $9$ 的因数即为 $d$ 的值。

等比数列

等比数列是指数列中相邻两项之间的比值为常数的数列。

通项公式： $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

$a_n$ 表示等比数列中第 n 项的值
$a_1$ 表示等比数列的首项
$r$ 表示等比数列的公比（任意两项之间的比值）
$n$ 表示要求的项数

数列的极限

人话版：随着数列中的项数无限增加，数列中的项逐渐接近一个固定的值，此固定值称为数列的极限。

定义：设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ （不论它多么小），总存在正整数 $N$ （这里的 $N$ 表示第 N 项），使得当 $n>N$ 时，不等式 $\lvert x_n-a \rvert < \epsilon$ 都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ 。

记作： $\lim_{n \to \infin}x_n=a$ 或 $x_n \to a (n \to \infin)$

数学定义： $\forall \epsilon \ (\epsilon \gt 0),\ \exists N,\ 当\ n>N\ 时,\ \lvert x_n - a \rvert \lt \epsilon,\ 则\ \lim_{n \to \infin}x_n=a$

$\epsilon - N$ 法证明数列极限

说白了就是通过数学定义证明一个数列极限，例如证明数列 $\{x_n\}$ 的极限 $\lim_{n \to \infin}\frac{1}{n} = 0$ 。

如果是极限数列，解不等式 $\lvert x_n - a \rvert \lt \epsilon$ （使用代数法）的根本含义就是在 $\epsilon$ 范围内，至少需要从数列的第 $n$ 项起才能确保 $x_n$ 与 $\epsilon$ 的距离小于 $\epsilon$ 。最终的结果实际就是使用 $\epsilon$ 表示第 $n$ 项。

如果最终的不等式结果可表示为 $n > f(\epsilon)$ ，那么实际上 $f(\epsilon)$ 代表的不就是项数么！也就是 $n$ 的起始值，也就是 $N$ ，无非也就可能是个小数，那么就对其进行向上取证（ $\lceil f(\epsilon) \rceil$ ）就好了。也就是 $n > N = \lceil f(\epsilon) \rceil$ 。

正过来说也就是当 $N = \lceil f(\epsilon) \rceil$ 时， $n > N$ ，则 $\lvert x_n - a \rvert \lt \epsilon$ 成立，则 $\{x_n\}$ 的极限为 $\lim_{n \to \infin}x_n=a$ 。

例如证明数列 $\{x_n\}$ 的极限 $\lim_{n \to \infin}\frac{1}{n} = 0$ 。

通过代数法 $\lvert \frac{1}{n} - 0 \rvert < \epsilon$ 求得不等式结果为 $n \gt \frac{1}{\epsilon}$ ，说白了就是 $n$ 大于 $\frac{1}{\epsilon}$ 项即可满足与 $a$ 的距离小于 $\epsilon$ ，那么 $N$ 就可取值为 $\lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil$ ，只要 $n \gt N = \frac{1}{\epsilon}$ 就可以，那 $n \gt N = \frac{1}{\epsilon} + 1$ 当然也可以。 $证：\forall \epsilon, 取 N = \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil, 当 n > N 时, \lim_{n \to \infin}\frac{1}{n} = 0$ 。

数列极限的性质

唯一性：如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么它的极限唯一。

人话版：只有一个极限值。
有界性：如果数列 $\{x_{n}\}$ 收敛，那么它一定有界。反之如果数列有界，不一定是收敛的，例如 $\{x_{n}\} = -1^{n}$ 。
保号性：如果 $\lim_{n \to \infin}x_{n} = a,\ 且\ a \gt 0\ (或\ a \lt 0)$ ，那么存在正整数 $N$ ，当 $n \gt N$ 时，都有 $x_{n} \gt 0\ (或\ x_{n} \lt 0)$ 。
子数列：如果数列 $\{x_{n}\}$ 收敛与 $a$ ，那么其任意子数列也收敛且极限也为 $a$ 。

数列的那点基础问题