大气散射（二）大气散射的理论一、介绍在本教程的第一部分中，我们讨论了光线如何被行星大气中的空气分子偏折。这个过程被称为

一、介绍

在本教程的第一部分中，我们讨论了光线如何被行星大气中的空气分子偏折。这个过程被称为散射，我们已经突出了两种特殊情况。当一束朝向摄像机的光线被偏折离开摄像机时发生外向散射（下图）。

相反地，内向散射发生在光线直接被偏折朝向摄像机的情况下

二、透射函数

为了计算传递到摄像机的光量，跟踪光线从太阳射出到达摄像机的路径是有帮助的。从下面的图示中可以看到，到达C点的光线穿过了空旷的空间。由于路径上没有任何物体，所有的光都到达C点，没有受到任何散射的影响。让我们用 $I_C$ 表示点C从太阳接收到的未经散射的光量。在光线到达P点的过程中，它进入了行星的大气层。一些光线会与空气中悬浮的分子碰撞，从而朝不同的方向反射。结果是一些光从路径中散射出去。到达P点的光量（用 $I_P$ 表示）将低于 $I_C$ 。

I_P和I_C之间的比率称为透射率：

T(\overline{CP}) = \frac{I_P}{I_C}

我们可以使用它来表示在从C到P的过程中未散射（透射）的光的百分比。我们稍后会探讨这个函数的性质。现在，你需要知道的唯一一件事是，它对应于大气外向散射的贡献。

因此，P接收到的光量为：

I_P = I_C \, T\left(\overline{CP}\right)

三、散射函数

点P直接接收来自太阳的光。然而，穿过P的所有光并不都传回到摄像机。为了计算实际到达摄像机的光量，我们需要引入另一个概念：散射函数S。它的作用是指示在特定方向上偏折了多少光。如果我们看下面的图示，我们注意到只有那些被偏折了角度 $\theta$ 的光线才会朝向摄像机方向。

S $\left(\lambda, \theta, h\right)$ 的值表示被 $\theta$ 弧度偏折的光的比例。这个函数是我们问题的核心，我们将在未来的文章中探讨它的性质。现在，你需要知道的唯一一件事是，它取决于入射光的颜色（由其波长 $\lambda$ 表示）、散射角 $\theta$ 和P点的海拔h。海拔之所以重要是因为大气密度随着海拔的变化而变化。而密度，最终决定了有多少光被散射的因素之一。

现在我们已经拥有了写出一个总的方程的所有必要工具，该方程显示了从P传输到A的光量：

I_{PA} = \boxed{I_P} \, S\left(\lambda,\theta,h\right) \, T\left(\overline{PA}\right)

我们可以使用之前的定义展开 (I_P)：

I_{PA} = \boxed{I_C \, T\left(\overline{CP}\right)}\, S\left(\lambda,\theta,h\right) \,T\left(\overline{PA}\right)

= \underset{\text{内向散射}}{ \underbrace{I_C \,S\left(\lambda,\theta,h\right)} }\, \underset{\text{外向散射}}{\underbrace{T\left(\overline{CP}\right)\, T\left(\overline{PA}\right)}}

这个方程应该是不言自明的：

光从太阳传播到C，在真空中未经散射；
光进入大气，从C到P传播。在这个过程中，只有 $T\left(\overline{CP}\right)$ 的比例到达目的地，这是由于外向散射；
部分从太阳到达P的光被偏转回摄像机。被内向散射影响的光的比率是 $S\left(\lambda,\theta,h\right)$ ；
其余的光从P传播到A，再次只有 $T\left(\overline{PA}\right)$ 的比例被传输。

四、数值积分

如果您注意到前面的段落，您可能会注意到在强度写法上存在明显的不一致。符号 $I_{PA}$ 表示从 P 到 A 传输的光量。然而，该量并不考虑 A 接收到的所有光。在大气散射的这种简化模型中，我们考虑了沿着摄像机视线通过大气的每个点的内向散射。

A 接收到的总光量， $I_A$ ，是通过将所有点 $P \in \overline{AB}$ 的贡献相加得到的。从数学上讲，线段 $\overline{AB}$ 中有无穷多个点，所以遍历所有这些点是不可能的。然而，我们可以将 $\overline{AB}$ 分成许多长度为 ds 的小段（如下图所示），并累积每个小段的贡献。

这个近似的过程称为数值积分，导致了以下表达式：

I_A = \sum_{P \in \overline{AB}} {I_{PA}\, ds }

我们考虑的点越多，最终结果的准确性就越高。实际上，在我们的大气着色器中，我们将不得不遍历大气内部的多个点 $P_i$ ，累积它们对总体结果的贡献。

五、方向光

如果太阳相对较近，最好将其建模为点光源。在这种情况下，C处接收到的光量取决于距离太阳的距离。然而，如果我们讨论的是行星，通常可以假设太阳距离如此之远，以至于其光线以相同的角度到达行星。如果是这种情况，我们可以将太阳建模为定向光源。来自定向光源的光量在其传播的距离不变的情况下保持恒定。因此，每个点C接收到相同数量的光，并且所有点的朝向太阳的方向都是相同的。

我们可以利用这一假设简化我们的一系列方程。

让我们用常量 (I_S) 代替 (I_C)，表示太阳的强度。

I_A = \sum_{P \in \overline{AB}} {\boxed{I_{PA}}\, ds } =

= \sum_{P \in \overline{AB}} {\boxed{I_C \,S\left(\lambda,\theta,h\right) \,T\left(\overline{CP}\right)\, T\left(\overline{PA}\right)}\, ds }

= I_S \sum_{P \in \overline{AB}} {S\left(\lambda,\theta,h\right) \,T\left(\overline{CP}\right) \, T\left(\overline{PA}\right) \,ds }

还有另一种优化方法，涉及到散射函数 $S\left(\lambda,\theta,h\right)$ 。如果阳光总是来自同一方向，那么角度 $\theta$ 就成为一个常数。我们将在未来的文章中看到如何将 $S\left(\lambda,\theta,h\right)$ 的定向贡献分解出来。现在，让我们保持在内部。

六、吸收系数

在描述光与空气分子相互作用的可能结果时，我们只介绍了两种情况。直接穿过或被偏折。还有第三种可能性。一些化学化合物会吸收光。地球大气中有许多具有这种特性的化学物质。例如，臭氧存在于高层大气中，并且已知对紫外光有很强的反应。然而，它的存在对天空的颜色几乎没有影响，因为它吸收的光位于可见光谱之外。在地球上，往往忽略了光吸收化学物质的贡献。

在地球上，往往忽略了光吸收化学物质的贡献。但对于其他行星来说，情况就不一样了。例如，海王星和天王星的典型颜色是由它们大气中丰富的甲烷引起的。甲烷以吸收红光而闻名，导致了蓝色的色调。在本教程的其余部分中，我们将忽略吸收系数，尽管我们将添加一种方法来给大气着色。

七、总结

在本教程中，我们推导了统治单次散射的方程的非常一般的形式。所描述的方法在理论上适用于所有接收来自单一光源的透明体积。

当然，两个关键因素是透射函数 $T$ 和散射函数 $S$ 。在下一个教程中，我们将探索它们的性质，并根据行星大气的物理特性推导方程。