前言: 在本文章中要介绍一下gcd和lcm的性质，以及一些使用的技巧，其中也包括一些定理的证明。

gcd 部分

gcd 是什么？

gcd 的全称是最大公约数(Greatest common divisor)

gcd 是对两个及以上的数的运算数才存在，但是一般的我们是求两个数的最大公约数即 gcd(a , b)

举个例子 , 4 , 12 的gcd 是多少呢 ? 答案是 4

4 的因数 1 2 2 4
12 的因数 1 2 3 4 6 12

其中我们发现 4 是他们最大的公共的因数

是不是非常的清楚明了！

gcd(a , b) 的形式化表达

对于任意的一个自然数 a , b 由唯一分解定理都可以表示成这样的形式

a = p_1^{k_1} \ · \ p_2^{k_2} \ · \ p_3^{k_3} \ · \ p_4^{k_4}....... \ p_n^{k_n}\\\\ b = p_1^{l_1} \ · \ p_2^{l_2} \ · \ p_3^{l_3} \ · \ p_4^{l_4}....... \ p_n^{l_n}

那么我们的gcd(a , b) 可以形式化表示成这样

gcd \ (a \ , \ b) = p_1^{min(k_1 , l_1)} \ · \ p_2^{min(k_2 , l_2)} \ · \ p_3^{min(k_3 , l_3)} ...... p_n^{min(k_n , l_n)}

那我们该怎么求gcd(a , b) , 当然使用 辗转相除法！也叫欧几里得算法

欧几里得算法

欧几里得算法计算公式:

gcd(a \ , \ b) = gcd(b \ , a \mod\ b) , 其中 \ mod \ 是取模

对应的代码也非常的好写

int gcd(int  a , int b){

     return b ? gcd(b , a % b) : a;
}

注：本人目前还不清楚gcd(a , b) 证明，以后应该会知道的。

接下来介绍一下gcd 的一些性质

将 $gcd(a , b)$ 记成 $(a , b)$

1 . $(a , b) = (a , a + b) = (a + b , b) = (a - b , b) = (b , a - b)$

2 . 结合律 : $(a\ , b\ ,\ c) = ((a , b) , c) = (a , (b , c))$

推论 :

(a_1 , a_2 , a_3 ..... , a_n) = (a_1 , (a_2 , ...... , a_n)) = (( a_1 , a_2 , ...... a_{n-1}) a_n)

对于这里的推论 , 其实我们可以发现 $gcd(a_1 , a_2 , a_3 , ...... , a_n)$ 可以通过先对其中两个数的求公约数, 然后对剩下的 $a_i$ 进行一一的即可

3 . 互质： $(a , b) = (dk_1 , dk_2)$ , 其中d为最大公约数, $(k_1 , k_2) = 1$ , 即 $k_1 , k_2$ 互质. 同时 $k_1 , k_2 , k_1 + k_2$ 三者互质

4 . 分配律： $(m\ a , m\ b) = m \ (a \ , \ b)$

推论：设 $(a , b , c) = 1$ , 其中 $a , b , c$ 都是正整数，那么 $(a , b) * (b , c) = (ab , c)$ .

(a \ , \ b) * (b\ , \ c) = (ab \ , \ c)

证明：
$( a \ , \ b) \ * \ (b \ , \ c)$
= $(a (b , c), c (b , c))$ // 分配律
= $(ab , ac , bc , cc)$
= $(ab \ , c\ (a , b , c))$ // 结合律
= $(ab \ , \ c)$ // 由题(a , b , c) = 1
证毕!

5 . 不知道名字的性质 :

gcd(a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , ..... , a_n) = gcd(a_1 , a_1 + a_2 ,...,a_1 + a_2 + a_3 ..... + a_n)

证明 $gcd(a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , ..... , a_n) = gcd(a_1 , a_1 + a_2 ,...,a_1 + a_2 + a_3 ..... + a_n)$

首先假设有 a , b 两数 , 很显然我们可以求出 $gcd(a , b) = d$

这里我们不妨设 $a = dk_1 , b = dk_2$ , 同时将 gcd(a , b)记成 (a , b)

首先我们先来证明

(a , a + b) = (a , b)

这里我们可以将 (a , a + b) 写成 $(dk_1 , d(k_1 + k_2))$ 此时我们表示成 $d(k_1 , (k_1 + k_2))$

因为 $(k_1 , (k_1 + k_2)) = 1$ , 所以 $d(k_1 , (k_1 + k_2)) = 1$ .

现在通过这个证明观察 , 我们发现其实对于n 元的也可以利用这种拆分方法

类似的也可以证明：

(a_1 , a_2 , a_3 , ..... , a_n) = (a_1 , a_1 + a_2 , a_1 + a_2 + a_3 ..... , a_1 + a_2 + ...... + a_n)

对于以上结论也有类似的结论: $(a_1 , a_2 , a_3 , ..... , a_n) =(a_1 , a_1 - a_2 , a_1 - a_2 - a_3 ..... , a_1 - a_2 - ...... - a_n)$

同时有:
$(a_1 , a_2 , a_3 , ..... , a_n) = (a_1 , a_2 - a_1 , a_3 - a_2 ..... , a_n - a{n-1})$

第一种证明 :

我们可以利用结合率来一步步求即：

((a_1 , a_1 + a_2) , a_1 + a_2 + a_3 , a_1 + a_2 + a_3 + a_4 ...... ,a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n)

可以将 $a_1 , a_2 ..... a_n 写成 dk_i 的形式其中 d 为 (a_1 , a_2 , ..... , a_n)$

即:

(d(k_1 , k_1 + k_2) , d(k_1 + k_2 + k_3) ...... , d(k_1 , k_2 , k_3 .... k_n))

利用上述的结合率因为 $(k_1 , k_1 , k_2)$ 互质所以 , 我们可以直接将 $d(k_1 , k_1 + k_2)$ 直接写成 d

对于后面的项：

$(d * 1, d(k_1 + k_2 + k_3) ...... , d(k_1 , k_2 , k_3 .... k_n))$

因为 1 和任何数都互质 , 所以结果就是 d

另一种证明方式 :

我们来证 n = 3 时的情况:

即有 $(a , b , c) = (a , a + b , a + b + c)$
我们通过结合律可以得到：
(a , (a + b , a + b + c))
再由 (a , b) = (a , b - a)
我们可以先得到 (a , (a + b , a + b + c - a - b))
---> $(a ,\ a + b , c)$
------> ( (a , a + b) , c) 同理
-------> (a , b , c)

到此得证！

n = 4 , 5 , 6 ...... m 都可以类似证明！

6 . 单调性： 这个性质比较有意思！描述的东西就是区间 [L , R] 的gcd 一定会小于等于区间[L , R + d] 因为我们每次加入一个数, $gcd$ 都可能被丢掉一个因数 , 所以gcd 是有区间单调性的。

形式化表达：

gcd([L , R]) >= gcd([L , R + d]) , 其中 0 <= d

这时候如果询问区间gcd的话 , 就可以利用二分。

lcm

lcm 全称是 Least common multiple ，即最小公倍数

$lcm(a , b)$ 形式化表达:

对于任意的一个自然数 a , b 由唯一分解定理都可以表示成这样的形式

a = p_1^{k_1} \ · \ p_2^{k_2} \ · \ p_3^{k_3} \ · \ p_4^{k_4}....... \ p_n^{k_n}\\\\ b = p_1^{l_1} \ · \ p_2^{l_2} \ · \ p_3^{l_3} \ · \ p_4^{l_4}....... \ p_n^{l_n}

那么我们的 lcm(a , b) 可以形式化表示成这样

lcm \ (a \ , \ b) = p_1^{max(k_1 , l_1)} \ · \ p_2^{max(k_2 , l_2)} \ · \ p_3^{max(k_3 , l_3)} ...... p_n^{max(k_n , l_n)}

举个例子：

a = 3
b = 8
lcm(a , b) = 24        // 公倍数

那么我们如何去求lcm(a , b) ? 其实我们发现gcd 和 lcm 一些性质，从 $lcm , gcd$ 的形式化表达中我们可以观察到最大最小幂数的取法，无论如何都是来自两个数中的。所以我们可以发现

$lcm(a , b) \ · \ gcd(a , b) = a \ · \ b$

证明：

p_1^{{max(k_1 , l_1)} + {min(k_1 , l_1)}} \ · \ p_2^{{max(k_2 , l_2)} + {min(k_2 , l_2)}} \ · \ p_3^{{max(k_3 , l_3)} + {min(k_3 , l_3)}} ...... p_n^{{max(k_n , l_n)} + {min(k_n , l_n)}} \\ = p_1^{k_1 + l_1} \ · \ p_2^{k_2 + l_2} \ · \ p_3^{k_3 + l_3} \ · \ p_4^{k_4 + l_4}....... \ p_n^{k_n + l_n}

因为 $max(k_i , l_i) + min(k_i , l_i) = k_i + l_i \ (1 <= i <= n)$
所以上述等式一定成立！

特别地，当gcd(a , b) = 1 , 即 a , b 互质。

lcm(a , b) = a \ · \ b

快速求出lcm

因为gcd(a , b) 容易求出，所以可以通过等式直接求出lcm 即

lcm(a , b) = \frac{a · b}{gcd(a , b)}

但是很多时候 $a · b$ 非常容易溢出 , 例如 a = 1e8 , b = 1e12 如果直接求 $a · b$ 那么直接会爆long long

那么我们可以利用乘法和除法的交换律那么我们可以将公式交换成这样：

lcm(a , b) = \frac{a}{gcd(a , b)} \ · \ b

代码如下:

int lcm(int a ,  int b){

	return a / gcd(a , b) * b;
}

gcd 和 lcm 相关结论和性质

gcd 部分

gcd 是什么 ？