第九节、定义在有限区间上的函数的展开
在有些实际问题中，我们还会遇到定义在有限区间[a,b]上的函数φ(t)展开成傅里叶级数的问题。为了解决这类非周期函数的展开问题，我们根据定义区间[a,b]的不同情况来研究。
一、定义在对称区间[-T/2,T/2]上的情形
假设函数φ(t)仅定义在有限的对称区间[-T/2,T/2]上，而在此区间外无意义。为了能够利用第八节的方法将φ(t)展开成傅里叶级数，我们首先将φ(t)在区间(-∞,+∞)上做周期性延拓，也就是构造一个周期为T的周期函数φ(t)，使得φ(t)与函数φ(t)在区间[-T/2,T/2]上有φ(t)=φ(t), 假设φ(t)满足收敛定理的条件，那么即可按(12.8.1)式将它展开成傅里叶级数，并在连续点上有
a
0 ∞ 2nπt 2nπt
φ(t)= + ∑ (a cos +b sin ) 2 n=1 n T n T 如果函数φ(t)在区间[-T/2,T/2]上连续，则在此[-T/2,T/2]上就有 a 0 ∞ 2nπt 2nπt φ(t)=φ*(t)= + ∑ (a cos +b sin ) (12.9.1) 2 n=1 n T n T 在t=±T/2时，收敛于 1 [φ(T/2-0)+φ(-T/2+0)] 2 在对称区间[-T/2,T/2]上的函数φ(t)的傅里叶展开式，其中的傅里叶系数仍用公式 2 T/2 2nπ a = ∫ φ(t)cos tdt (n=0,1,2,...,) n T -T/2 T (12.9.2) 2 T/2 2nπ b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...,) n T -T/2 T 如果函数φ(t)在[-T/2,T/2]内有第一类间断点，在间断点处级数同样收敛于 φ(t-0)+φ(t+0) 2 读者不难看出，定义在对称区间[-T/2,T/2]上的函数φ(t)的展开式的计算，与周期为T的周期函数φ(t)的展开式的计算完全相同，它们的区别主要在收敛域的确定上，周期函数φ`(t)的收敛域要在整个(-∞,+∞)内考虑，而函数φ(t)仅在有限区间[-T/2,T/2]上来研究。
2
例1.试将定义在[-π，π]上的函数f(x)=x 展开成傅里叶级数。
解.将f(x)在整个数轴上作延拓，如图12-12所示。由于在[-π,π]上f(x)为偶函数，因此
2 π 2 π 2
a = ∫ f(x)cosnxdx= ∫ x cosnxdx=
n π 0 π 0
2 2 π 4 π
= [x sinx] - ∫ xsinxdx
nπ 0 nπ 0
2 2 π 4 π
= [x sinx] - ∫ cosxdx
2 0 2 0
n π n π
2 n
= (-1) (n=1,2,3,...)
2
n
2
2 π 2 π 2 2π
a = ∫ f(x)dx= ∫ x dx= 0 π 0 π 0 3
b =0 (n=1,2,3,...)
0
于是f(x)的展开式(在连续点处)为
2
2 π 1 1
x = -4(cosx- cos2x+ cos3x-...)
3 2 2
2 3
由于f(x)在[-π,π]上连续，经延拓后x=±π为连续点，
2
因此傅里叶级数在收敛域[-π,π]上收敛于x
例2.试求函数φ(t)的傅里叶展开式，设其表达式为
At
+A, -T/2≤x<0
T
φ(t)={
At
-A, 0≤x<T/2
T
其中T与A均为常数。
解.作出φ(t)延拓后的图形，如图12-13所示。当t=(2π+1)T/2时，函数为双值，可以取定其一值使之符合我们的要求，例如取定一值φ(t)为奇函数，但不管取得一值均不影响结果。由于φ(t)是奇函数，因此
a =0 (n=0,1,2,...)
n
4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin -tdt= n T 0 T
4 T/2 At 2nπ
= ∫ ( -A)sin tdt
T 0 T T
2 At 2nπ T/2 2A T/2 2nπ
= [-( -A)cos ] + ∫ cos tdt
nπ T T 0 nπT 0 T
A n 2A
= (-1) -
nπ nπ
3A
- ,n=1,3,5,...
nπ
={
A
- ,n=2,4,6,...
nπ
又因为函数φ(t)在[-T/2,T/2]内，当t=0时间断，并且φ(-T/2)≠φ(T/2)，即沿拓后t=±T/2为间断点，所以傅里叶展开式为
A 2πt 1 4πt 3 6πt 1 8πt
φ(t)= (3sin + sin + sin + sin +…)
π T 2 T 3 T 4 T
(-T/2<t<0,0<t<T/2)
当t=0和t=±T/2时，级数收敛于0
二、定义在区间[0,T/2]上的情形
如果需要将仅定义在区间[0,T/2]上的函数φ(x)展开成傅里叶级数，
则首先要构造一个定义在对称区间[-T/2,T/2]上的函数Φ(t)，使用Φ(t)在区间[0,T/2]上有Φ(t)=φ(t)。然后按照上述的办法，将φ(t)在整个实数轴上周期延拓，再展成傅里叶级数。为了使计算简单，常常是将定义在区间[0,T/2]上的函数φ(t)在区间[-T/2,0]上进行奇延拓或偶延拓。奇延拓是指构造函数Φ(t)，使之在区间[-T/2,T/2]上成为奇函数，这只需令
φ(t),0≤t≤T/2
Φ (t)={
s -φ(-t),-T/2≤t≤0
这时函数Φ (t)的展开式为正弦级数，其傅里叶系数为
s
a =0,(n=0,1,2,...)
n
{ 4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt, (n=1,2,3,...)
n T 0 T
在收敛域上确定收敛于什么时，仍用狄利克雷定理来判定
φ(t),0≤t≤T/2
Φ (t)={
s -φ(-t),-T/2≤t≤0
这时展开式为余弦级数，其傅立叶系数为
4 T/2 2nπ 4 2nπ
a = ∫ Φ (t)cos tdt= ∫φ(t)cos tdt
n T 0 c T T T
{ (n=0,1,2,...)
b =0 (n=1,2,3,...)
n
偶延拓的图形12-15，由于是偶函数，所以延拓出去后在端点处都连续，因此如果函数φ(t)在[0,T/2]内连续，展开成余弦级数的收敛域0≤t≤T/2上收敛于φ(t)。
例3.试将函数
2
x πx
f(x)= -
4 2
在区间[0,π]上展开成余弦函数。解.按式(12.9.4)计算傅立叶级数，注意T=2π。
2
2 π x π
a = ∫ ( - ) cosnxdx
n π 0 4 2
2
2 x πx π 2 x π π
= [( - ) sinnxdx] + [( - )cosnx]
nπ 4 2 0 2 2 2 0
n π
2 π
- -[sinnxdx]
2 0
n π
2
= -
2
n
2 2
2 π x πx x
a = ∫ ( - )=- (n=1,2,3,...)
0 π 0 4 2 3
由于f(x)在(0,π)上连续，且延拓的函数在x=0,π处连续，因此
2 2
x πx π 1 1
- =- +cosx+ cos2x+ cos3x+… (0≤x≤π)
4 2 6 4 9
例4.试将函数
t,0≤t<T/4
φ(t)={
t-T/4,T/4≤t<T/2
展开成正弦级数
解.按式(12.9.3)计算傅立叶系数如下：
4 T/2 2nπ 4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)cos tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T
4 T/2 T 2nπ
+ ∫ (t- )sin tdt
T 0 4 T
2 2nπt T/4 2 2nπt T/2
= [-tcos ] + [sin ]
nπ T 0 2 2 T 0
n π
T T 2nπ T/2 2 2nπt T/2
+ [-(t- )cos ] + [sin ]
2nπ 4 T -T/2 2 2 T T/4
n π
T nπ T nπ T n+1 T nπ
=- cos + sin + (-1) - sin
2nπ 2 2 2 2 2nπ 2 2 2
n π n π
T n+1 nπ
= [(-1) -cos ] (n=1,2,3,...)
2nπ 2
所以,
T 2πt 1 6πt 2 8πt
φ(t)= (sin + sin - sin +...)
2nπ T 3 T 4 T
因为当t=T/4时，函数φ(t)间断，且延拓后的函数在x=T/2处间断，故该级数在0≤t<T/4，T/4<t<T/2收敛于φ(t)，而当t=T/4时收敛于T/8，当t=T/2时收敛于0.
习题12-9
将第95-99题中所给函数在定义区间内展开成傅立叶级数.
-x,-π≤x<0
96.f(x)={
0,0≤x<π
解：
n
π 2 ∞ 1 ∞ (-1)
f(x)= - ∑ cos(2π-1)x+∑ sinnx x∈(-π,π)
4 π n=1 2 n=1 n
(2n-1)
-E,-T≤T<0,
97.u(t)={ (E为常量)
E,0≤T≤T/2
解：
4E ∞ 1 2(2n-1)πt
u(t)= ∑ sin ,t∈(-T/2,0),(0,T/2)
π n=1 2n-1 T
x,-1≤x<0,
98.f(x)={ 1,0≤x≤1/2
-1,1/2≤x≤1
解：
nπ
n 1-2cos
1 1 ∞ 1-(-1) 2π nπ 1 ∞ 2
f(x)=- + ∑ { + sin } cosnπx+ ∑ sinnπx
4 2 n=1 2 n 2 π n=1 n
π n
x∈[-1,0),(0,1/2),(1/2,1]
πt
99.φ(t)=cos ,-T/2≤t≤T/2
T
解：
n
πt 2 4 ∞ (-1) 2nπt
cos = + ∑ cos t∈[-T/2,T/2]
T π π n=1 2 T
1-4n
将第100、101题中函数展开成正弦级数。
1,0≤x<h
100.f(x)={ 1/2,x=h, (h为常量）
0,h<x≤π
解：
2 ∞ 1-cosnh
f(x)= ∑ sinnx, x∈(0,π)
π n=1 n
101.φ(t)=(T/4)-t,0≤t≤T/2
解：
4 T ∞ 1 4nπt
-t= ∑ sin t∈(0,T/2)
T π n=1 2n T
将102、103题中函数展开成余弦级数
-t,0≤t<T/4
102.φ(t)={
-T/4,T/4≤t<T/2
解：
nπ
1-cos
3T T ∞ 2 2nπt
φ(t)=- + ∑ cos t∈[0,T/2]
16 2 n=1 2 T
n
x,0≤x<L/2
103.f(t)={ (L为常数)
L-x,L/2≤x<L
解：
L 2L ∞ 1 nπ n nπx
f(x)= + ∑ [2cos -1-(-1) ]cos x∈[0,L]
4 2 n=1 2 2 L
π n
2
104.将函数f(x)=1-x (0≤x≤1/2)分别展开成正弦级数和余弦级数
解：
2 ∞ 7 2 1 ∞ 1
1-x = ∑ [ + ] sin2(2π-1)x+ ∑ sin4nx, x∈(0,1/2)
n=1 2(2n-1)π 3 2π n=1 2n
(2n-1) π
n+1
2 11 1 ∞ (-1) 1-x = + ∑ cos2nπx, x∈[0,1/2] 12 2 n=1 2 π n
-π/4,-π≤x<0
105.把函数f(x)={
π/4,0≤x≤π
展成傅立叶级数，并由它推出：
π 1 1 1
(1) =1- + - +…
4 3 5 7
√3π 1 1 1 1
(2) =1- + - + -… 6 5 7 11 13 解：
∞ 1
f(x)= ∑ sin(2n-1)x
n=1 2n-1
令x=π/2及x=π/3
第四部分拉普拉斯变换
下面内容可参见《工程数学》，林益主编，何涛，杨殿生，卢强编，高等教育出版2003年出版。
第三章，拉普拉斯变换
拉普拉斯(Laplace)变换是一种积分变换，它通过无限区间上的广义积分，实现在不同类函数之间的转换，从而达到简化问题，解决问题的目的。变换是数学中常用的方法，拉普拉斯变换在对信号处理，求解微分方程方面是强有力的工具。它被广泛应用到电学、声学、振动力学等学科中去。本章内容涉及到有关复变函数论中的概念与理论，在这里不做深究，对本章出现的运算，只需按一元函数微分、积分的法则进行即可。
3.1拉普拉斯变换
首先给出函数拉普拉斯变换与逆变换的概念。
定义：设函数f(t)在区间[0,+∞]上有定义，如果含复变量s的无穷积分
+∞ -st +∞ -st
∫ e f(t)dt= lim ∫ e f(t)dt,
0 T→+∞ 0
对s的某一取值范围是收敛的，则称
+∞ -st
F(t)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
为函数f(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为象原函数，F(t)成为象函数(其中x是复数，s=β+iω)。
-1
记住F(s)=￡[f(t)];相应的称f(t)为F(t)的拉普拉斯逆变换，记作f(t)=￡ [F(s)];
注意：为研究方便，本章中讨论的函数f(t)总认为t<0时,f(t)=0。
定理：如果f(t)满足下列条件：
（1）在t≥0的任一有限区间上分段连续。
（2）存在实常数a≥0和A>0，使得t充分大时，有
ut
│f(t)│≤Ae
则f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s)>a上存在。这里a称为f(t)的增长指数，当f(t)是有界函数时，可取a=0。
证：设s=β+iω,则Re(s)=β，当β>a时，
+∞ -st +∞ -st +∞ -st
∫ │e f(t)│dt=∫ │e │*│f(t)│dt≤∫ e *Ae dt
0 0 0
+∞ -st A
=A∫ e dt=
0 β-a
因广义积分
+∞ -st
∫ e f(t)dt
0
绝对收敛，从而收敛，故F(s)存在。
例1，求函数f(t)=1的拉普拉斯变换
解：由拉普拉斯变换的定义，有
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e f(t)dt
0
1 -st +∞
=- e
s 0
1
=- (Re(t)>0)
s
例2.求函数f(t)=t的拉普拉斯变换
解：由拉普拉斯变换的定义有
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e tdt
0
1 +∞ -st
=- ∫ tde
s 0
1 -st +∞ +∞ -st
=- [te - ∫ e dt]
s 0 0
1
= (Re(t)>0)
2
s
n
例3.求函数f(t)=t 的拉普拉斯变换，其中n是正整数，Re(s)>0 解：
n +∞ -st n
F(t)=￡[t ]= ∫ e t dt 0
1 n -st +∞ n +∞ -st n-1
=- t e - ∫ e t dt
s 0 s 0
n n-1 n n-1 n-2
= ￡[t ]= * ￡[t ]=...
s s s
n! n!
= ￡[1]=
n n+1
s s
at
例4.求函数f(t)=e 的拉普拉斯变换
at +∞ -st at
F(t)=￡[e ]= ∫ e e dt
0
+∞ -(s-a)t
= ∫ e dt
0
t
1 -(s-a) +∞
=- e
s-a 0
1 -(β-a)t -iωt
= [1- lim (e *e ) ]
s-a t→+∞
1
= (Re(s)>a)
s-a
通过上述几个例子的讨论，我们可以看出，对于整个区间[0,+∞]上有定义的不同的函数f(t)，
n
它们的拉普拉斯变换很可能在s的不同区域上存在，例如f(t)=1,f(t)=t (n是正整数)等函数
2
at t
只对Re(s)>0有定义；而f(t)=e 只对Re(s)>a有定义，此外，对于某些函数，例如f(t)=e 不满足定理的条件，它的拉普拉斯变换对于一切s值都不存在，由此可见，F(s)的定义域是随f(t)而定的。另外，若x为实数，F(s)的定义域可把上述结论中的Re(s)换为s即可，比如，若s为实数，则
+∞ -st
F(t)=￡[1]= ∫ e dt,
0
的定义域即为s>0。我们通常接触到的函数大部分都能满足定理的条件，其拉普拉斯变换存在，且存在域通常是某个半平面，因此进行拉普拉斯变换时，常常不表出其存在域，只有非常必要时才特别加以注明。一般常用函数的拉普拉斯变换可查拉普拉斯变换简表（见附表5），请读者查表重新计算上述各题。
习题3.1
1.利用拉普拉斯变换的定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
2 3
（1）f(t)=t ,解：F(s)=6/s
t tln4
(2)f(t)=e-4 =e-e ,解：F(s)=s-1/(s-ln4)
-t 2
(3)f(t)=te ,解：F(s)=2/(s+1)
3，当0≤t≤2时
(4)f(t)={ -1，当2≤t≤4时 0，当t≥4时
3，当t≤π/2时
(5)f(t)={
cost，当t>π/2时
2.设f(t)是以2τ为周期的函数，且在一个周期内的表达式为
h，当0≤t<γ时
f(t)={
-h，当γ≤t<2γ时
求f(t)的拉普拉斯变换
3.2拉普拉斯变换的性质
利用定义直接借助于积分的计算来求一个函数的 象函数，在大多数情况下是极其困难的。为了简化各种函数的象函数的求解过程，就有必要介绍拉普拉斯变换的性质，利用这些性质，拉普拉斯变换才能称为解决实际问题的有力工具。
性质1（线性性质）设函数f (t),f (t)满足定理的条件，
1 1
则在它们的象函数的定义域的共同部分上有：
￡[C f (t)+C f (t)]=C ￡[f (t)]+C ￡[f (t)]
1 1 2 2 1 1 2 2
其中，C ,C 是任意常数。
1 2
证：由定义
+∞ -st
￡[C f (t)+C f (t)]= ∫ e [C f (t)+C f (t)]dt
1 1 2 2 0 1 1 2 2
+∞ -st +∞ -st
=∫ e C f (t)dt+∫ e C f (t)dt
0 1 1 2 2
+∞ -st +∞ -st
=C ∫ e f (t)dt+C ∫ e f (t)dt 1 0 1 2 0 2
=C ￡[f (t)]+C ￡[f (t)]
1 1 2 2
性质1表明：函数的线性组合的拉普拉斯变换，等于各函数拉普拉斯变换的线性组合。
例1：求函数cosωt+isinωt的拉普拉斯变换。
α+iβ α
解：由性质1及欧拉公式[e =e (cosβ+isinβ)，得
iωt
￡[cosωt+isinωt]=￡[cosωt]+i￡[sinωt]=￡[e ]
1 s+iω
= =
s-iω 2 2
s +ω
再由复数相等的定义，得
s
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
ω
￡[sinωt]=
2 2
s +ω
例2：求f (t)=sht,f (t)=cht的拉普拉斯变换。
1 2
解：由性质1，有
t -t 1 t 1 -t
￡[sht]=￡[(e -e )/2]= ￡[e ]- ￡[e ]
2 2
1 1 1 1 1
= - =
2 s-1 2 s-1 2
s +1
t -t 1 t 1 -t
￡[cht]=￡[(e -e )/2]= ￡[e ]+ ￡[e ]
2 2
1 1 1 1 1
= + =
2 s-1 2 s-1 2
s -1
n
性质2（原函数的微分性质）如果f(t),f``(t),...,f (t)均满足定理的条件，则 ￡[f(t)]=s￡[f(t)]-f(0)
一般地，有
(n) n n-1 n-2 (n-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f(0)-...-f (0)
证：用数学归纳法证明
当n=1时
+∞ -st +∞ -st -st +∞ +∞ -st
￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt=∫ e df(t)=e f(t) +s∫ e f(t)dt 0 0 0 0 =S￡[f(t)]-f(0)
设n=k时，有
(k) k k-1 k-2 (k-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f(0)-...-f (0)
成立，现看n=k+1时
(k+1) (k) (k) (k)
￡[f (t)]=￡{[f (t)]`}=s￡[f (t)]-f (0)
k k-1 (k-1) (k)
=s{s ￡[f(t)]-s f(0)-...-f (0)}-f (0)
k+1 k (k-1) (k)
=s ￡[f(t)]-s f(0)-...-sf (0)-f (0)
因此，由数学归纳法，得
(n) n n-1 n-2 (n-1)
￡[f (t)]=s ￡[f(t)]-s f(0)-s f(0)-...-f (0) 性质2表明一个函数导数的拉普拉斯变换等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数，再减去函数的初值。 例3已知f(t)=cost,f(0)=1,f(0)=0,试求它的二阶导函数的拉普拉斯变换。
解：由性质2知
2
￡[f``(t)]=s ￡[cost]-sf(0)-f`(0)
2 s s
=s -s*1-0=-
2 2
s +1 s +1
性质3（象函数的微分性质）如果￡[f(t)]=F(s)，则
d
F(s)=-￡[tf(t)]
ds
一般地有
n
d n n
F(s)=(-1) ￡[t f(t)]
n
ds
事实上
d d +∞ -st +∞ Ә -st
F(s)= ∫ e f(t)dt=∫ e f(t)dt
ds ds 0 Әs
+∞ -st
=∫ e f(t)dt=-￡[tf(t)]
0
应用数学归纳法，可得
n
d n n
F(s)=(-1) ￡[t f(t)]
n
ds
n n
性质3表明一个函数与t 的乘积的拉普拉斯变换等于其象函数的n阶导数与(-1) 的乘积。
n at
例4，求函数f(t)=t e 的拉普拉斯变换
解：由性质3知
n n
n at n d n d at
￡[t e ]=(-1) F(s)=(-1) ￡[e ]
n n
ds ds
n
d 1
=(-1) ( )
n
ds s-a
n!
=
n+1
(s-a)
例5，求￡[tcosωt]及￡[tsinωt]
解：由性质3知
2 2
d d s s +ω
￡[tcosωt]=- ￡[cosωt]=- ( )=
2 2 2 2 2
ds ds s +ω (s +ω )
d ω -2ωs 2ωs
￡[tsinωt]=- ( )=- =
2 2 2 2 2 2 2 2
ds s +ω (s +ω ) (s +ω )
性质4（积分性质），如果￡[f(t)]=F(s)，则
t 1
￡[∫ f(t)dt]= F(s)
0 s
证：由于
t +∞ t -st
￡[∫ f(t)dt]= ∫ [∫ f(τ)dτ]e dt
0 0 0
分部积分，得
-st
t e t +∞ 1 t -st
￡[∫ f(t)dt]= ∫ f(τ)dτ + ∫ f(t)e dt
0 s 0 0 s 0
1
= F(s)
s
重复应用性质4，得
t t t 1
￡[∫ dt ∫ dt ∫ f(t)dt]= F(s)
0 0 0 n
s
性质4表明，一个函数积分后再取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换除以参数s
例6求
t
f(t)= ∫ tsin2tdt
0
的拉普拉斯变换
解：由例5知
4s
￡[tsin2t]=
2 2
(s +4)
再由性质4，得
4
￡[f(t)]=
2 2
(s +4)
性质5（象函数的积分性质），若￡[f(t)]=F(s)，则
+∞ f(t)
∫ F(s)ds=￡[ ]
s t
一般地，有
+∞ +∞ +∞ f(t)
∫ ds ∫ ds ∫ F(s)ds=￡[ ]
s s s n
t
n次
证：
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
∫ F(s)ds=∫ [∫ f(t)e dt]ds=∫ f(t)[ ∫ e ds]dt
s s 0 0 s
+∞ 1 -st +∞ +∞ f(t) -st
=∫ (f(t)[- e ] )dt=∫ e dt
t s t
f(t)
=￡[ ]
t
反复利用上式可得到
+∞ +∞ +∞ f(t)
∫ ds ∫ ds ∫ F(s)ds=￡[ ] s s s n t
n次
例7，求
sint
f(t)=
t
的拉普拉斯变换
解：由
1
￡[sint]=
2
1+s
及象函数的积分性质，得
sint +∞ 1
￡[ ]= ∫ ds=arccots
t s 2
1+s
性质6（位移性质），如果F(s)=￡[f(t)]，则
at
￡[e f(t)]=F(s-a)
证：由定义，有
at +∞ -st at
￡[e f(t)]= ∫ e e f(t)dt
s
+∞ -(s-a)t
= ∫ e f(t)dt=F(s-a)
s
at
性质6表明，一个函数乘以e 的拉普拉斯变换等于其象函数作位移a,
at at
例8，求￡[e cosωt]及￡[e sinωt]
解：因
s
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
ω
￡[cosωt]=
2 2
s +ω
故由性质6，有
at s-a
￡[e cosωt]=
2 2
(s-a) +ω
at s-a
￡[e cosωt]=
2 2
(s-a) +ω
性质7（延迟性质），设F(s)=￡[f(t)],t<0时，f(t)=0，则对任一非负实数τ，有。
-rs
￡[f(t-τ)]=e F(s)
证：由定义，有
+∞ -st
￡[f(t-τ)]= ∫ f(t-τ)e dt
s
τ -st +∞ -st
= ∫ f(t-τ)e dt+∫ f(t-τ)e dt
0 τ
=I +I
1 2
因为t<τ时，f(t-τ)=0，故
τ -st
I =∫ f(t-τ)e dt
1 s
对I 作变换t-τ=u,则
2
+∞ -s(u+τ) -sτ +∞ -su -sτ
I = ∫ f(u)e du=e ∫ f(u)e du=e F(s)
2 0 0
因此
-rs
￡[f(t-τ)]=e F(s)
从几何上看，f(t-τ)的图形是f(t)的图形沿t轴向右平移τ个单位所得。
性质7表明，时间函数延迟τ的拉普拉斯变换，等于它的象函数乘以指数因子e.
例9，求函数
u(t)-u(t-a)
f(t)=
a
的拉普拉斯变换，其中u(t)为单位阶跃函数，即
0,当t<0时
u(t)={
1,当t≥0时
解：由拉普拉斯变换简表得知
￡[u(t)]=1/s
根据性质7，有
-as
￡[u(t-a)]=e /s
故
1
￡[f(t)]= [￡(u(t))]-￡[(u(t-a)]
a
-as
1 1 -as 1 1-e
= ( -e )=
a s s as
例10，求
sint,当0≤t≤π时
f(t)={
0,其它
的拉普拉斯变换。
解，设
sint,当t≥0时
f(t)={
0,当t<π时
因此,
f(t)=f (t)+f (t-π)
1 1
于是
￡[f(t)]=￡[sint]+￡[sin(t-π)]
1 1 -πt
= + e
2 2
s +1 s +1
1 -πt
= (1+e )
2
s +1
对于性质7，要特别强调t<0时，f(t)=0的这一约定，因此在利用本性质求逆变换时，应为
-rs
￡ [e F(s)]=f(t-τ)u(t-τ)
例11，求
t -3t
f(t)=t∫ e sin2tdt
0
的拉普拉斯变换。
解：因
2
￡[sin2t]=
2
s +4
故
-3t 2
￡[e sin2t]=
2
(s+3) +4
t -3t 2
￡[∫ e sin2tdt]=
0 2
s[(s+3) +4]
2
t -3t d 2 6s +24s+26
￡[t∫ e sin2tdt]= ( )=
0 2 2
ds s[(s+3) +4] s[(s+3) +4]
性质8，
￡[f(t)*g(t)]=￡[f(t)]*￡[g(t)]
式中
t t
f(t)*g(t)= ∫ f(u)g(t-u)du=∫ f(t-u)g(u)du
0 0
称为函数f(t)和g(t)的褶积（或卷积）
性质9，
n
n d F(s)
￡[t f(t)]=(-1)
n
ds
习题3.2
利用拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换：
2
（1）f(t)=t +6t-3 (2)f(t)=5sin2t-3cos2t
t 3t
(3)f(t)=1+te (4)f(t)=e sin4t
-4t
(5)f(t)=e cos(2t+π/4) (6)f(t)=u(2t-1)
t 2 2
(7)f(t)=(sint)te (8)f(t)=sin tcos t
2
(9)f(t)=tcosat (10)f(t)=sin t
2 n at
(11)f(t)=cos t (12)f(t)=t e (n为正整数)
3.3拉普拉斯逆变换
前面主要介绍由已知函数f(t)求其象函数￡[f(t)]=F(s)。但在很多实际应用中常常遇到与此相反的问题，即已知象函数F(s)，要求象原函数f(t)。对此类问题常借助于拉普拉斯变换简表以及拉普拉斯变换的性质来解决.
例1，求
-1 k
￡ [ ]
2 2
s +k
-1 s
和￡ [ ](k≠0]
2 2
s +k
解：根据拉普拉斯变换表中公式(5),(6)，令k=a，得
-1 k
￡ [ ]=sinkt
2 2
s +k
同理
-1 s
￡ [ ]=coskt
2 2
s +k
例2，求
2s-5
F(s)= 的象函数
2
s -5s+6
解：因
2s-5 (s-3)+(s-2) 1 1
F(s)= = = -
2
s -5s+6 (s-3)(s-2) s-3 s-2
故由拉普拉斯变换公式（2）及拉普拉斯变换的线性性质，得
-1 -1 1 -1 1 3t 2t
f(t)=￡ [F(s)]=￡ [ ]+￡ [ ] =e +e s-3 s-2
例3，求
2
s
F(s)=
2
(s+2)(s +s+2)
的拉普拉斯逆变换
解：因
2 2
s (s +s+2)+(s-2) 1 1
F(s)= = = -
2 2 2
(s+2)(s +s+2) (s+2)(s +s+2) s+2 s +s+2
4
1 1 1 4 7
= - = -
2 7 2
s+2 (s+1/2) +7/4 s+2 (s+1/2) +7/4
故由拉普拉斯变换公式（2）及（15），得
4
-1 -1 1 4 -1 7
f(t)=￡ [F(s)]=￡ [ ]- ￡ [ ]
7 2
s+2 (s+1/2) +7/4
-2t 4 -t/2 4
=e - e sin t
7 7
当象函数化成部分分式比较复杂时，可以采用待定系数法求解。
例4，求
s+2
F(s)= 的象函数
2 2
s +6s +9s
解：因
s+2 s+2
F(s)= =
2 2 2
s +6s +9s s(s+3)
A B C
F(s)= + +
2
s (s+3) S+3
其中A,B,C为待定常数。通分后比较等号两边分子，得
2
A(s+3) +Bs+Cs(s+3)=s+2
令s=0,则有9A=2,于是A=2/9, 令s=-3，则有3B=1,于是B=1/3, 令s=1,则有16A+B+4C=3，于是C=-2/9,
s+2 2 1 1 1 2 1
F(s)= = + -
2 2 2
s +6s +9s 9 s 3 (s+3) 9 s+3
于是
-1 s+2
f(t)=￡ [ ]
2 2
s +6s +9s
2 -1 1 1 -1 1 2 -1 1
= ￡ [ ]+ ￡ [ ]- ￡ [ ] 2 9 s 3 (s+3) 9 s+3
2 1 -3t 2 -3t
= + te e
9 3 9
例5，求
2 2
s +2a
F(s)= (τ>0)
2 2
(s +a )
的拉普拉斯逆变换
解：令
2 2
s +2a
F(s)= (τ>0)
2 2
(s +a )
则
2 2 2
s +2a 1 a
F(s)= = +
2 2 2 2 2 2 2
(s +a ) s +a (s +a )
由拉普拉斯变换公式（5），（29）有
-1 1 -1 a 1 -1 2a
￡ [F (s)]= ￡ [ ]+ ￡ [ ]
1 a 2 2 2a 2 2 2
s +a (s +a )
3 1
= sinat- tcosat
2a 2
再由拉普拉斯的性质6（延迟性质），得
-1 -1 -τs
￡ [F(s)]=￡ [F (s)e ]
1
3 1
=[ sina(t-τ)- (t-τ)cosa(t-τ)]u(t-τ)
2a 2
3 1
sina(t-τ)- (t-τ)cosa(t-τ),当t≥τ时；
2a 2
={
0，当t<τ时
例6，求
2
s -1
F(s)=ln 的拉普拉斯逆变换
2
s
解：因
d 2 1 1 2
F(s)= = + -
ds 2
s(s -1) s+1 s-1 s
故由拉普拉斯的性质3（象函数的微分性质），得 -1 d -1 1 -1 1 -1 1 ￡ [ F(s)]=￡ [ ]+￡ [ ]-2￡ [ ] ds s+1 s-1 s
t -t
-tf(t)=e +e -2
t -t
-1 2-e -e
f(t)=￡ [F(s)]=
t
习题3.3
求下列函数的拉普拉斯逆变换：
3s 1 2
(1)F(s)= = +
(s-1)(s+2) s-1 s+2
t -2t
解：f(t)=e +2e 1 (2)F(s)= 4 (s+1)
s 2
(3)F(s)= =1-
s+2 s+2
-2t
解：f(t)=1/ε-2e 2s+3 (4)F(s)= 2 s +9
4s
(5)F(s)= 2 s +16
s+3
(6)F(s)= (s+3)(s-3)
1
(7)F(s)= s(s+1)(s-2)
s
(8)F(s)= 2 s +4s+20
2s-5
(9)F(s)= 2 s
4s-3
(10)F(s)= 2 s +4
s+2
(11)F(s)= 2 2 (s +10)(s +20)
2
s
(12)F(s)= 2 (s+2)(s +2s+2)
2s+3
(13)F(s)= 2 s -2s+5
2
s +1
(14)F(s)= 2 s(s-1)
1 -s
(15)F(s)= e 2 s(s-1)
s+1
(16)F(s)=ln
s-1
3.4拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换在电路分析和自动控制理论中有着非常广泛的应用，下面介绍这方面的几个例子。
例1：设因果信号
at 0,当t<0时
f (t)=e u(t)={
1 e ，当t>0（a为实数时）
求其拉普拉斯变换
解：由定义，有
-(s-a)t
+∞ at -st e +∞
F(s)= ∫ e e dt=
0 -(s-a) 0
1
,当Re(s)=β>α时
s-a
={ 不定，当β=α时
无界，当β<α时
因此，对于因果信号，仅当Re(s)=β>α时，其拉普拉斯变换存在。
注：本题可直接查拉普拉斯变换表的公式（2）写出
例2，求矩形脉冲信号
1,当0<t<τ时
f(t)=g (t-τ/2)={
τ 0，其余
的象函数。
解法一：因
-τs
+∞ -st τ -st 1-e
￡[f(t)]= ∫ f(t)e dt=∫ e dt=
0 0 s
故矩形脉冲的象函数为
-τs
1-e
￡[g (t-τ/2)]= (Re(s)>-∞）
t s
解法二：因f(t)=1-u(t-τ),
故,
1 -τs
￡[f(t)]= -e ￡[u(t)]
s
1 -τs
= (1-e )
s
例3，求在t=0时接入的周期性单位冲激序列
∞
∑ (t-nT)=δ(t)+δ(t-T)+...+δ(t-nT)+...
n=0
由拉普拉斯变换公式及性质6（延迟性质），得
￡[δ(t)]=1，
-Ts
￡[δ(t-T)]=e ，
…….
-nTs
￡[δ(t-nT)]=e ，
…………
因此,
∞ -Ts -nTs 1
￡[∑ δ(t-nT)]=1+e +...+e +...= (Re(s)>0)
n=0 -Ts
1-e
拉普拉斯变换的另一方面的应用是用于解常系数微分方程，下面来讨论这种解法。
对于给定的常系数n阶线性常微分方程：
(n) (n-1) (n-2)
a y +a y +a y +...+a y+a y=f(x) 0 1 2 n-1 n { (n-1) y(0)=y ,y(0)=y ,...,y (0)=y
0 1 n-1
其中a ≠0,a 为常数(i=1,2,...,n),
0 i
f(t)是某些常见函数，如多项式、指数函数、正弦、余弦函数以及这些函数的简单复合。
只要f(t)满足拉普拉斯变换存在定理的条件，并假设y(t)满足拉普拉斯变换微分性质中的条件，我们就可以利用原方程的初始条件，根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质，对原方程两端取拉普拉斯变换，把原函数化为象函数的代数方程，从代数方程中解出象函数，然后取它的拉普拉斯逆变换，从而得到原方程的解。
例4，求微分方程
2
y``+a y=t
满足y(0)=b,y(0)=c的解，其中a,b,c是常数 解：设 ￡[f(t)]=F(s) 将所给微分方程两边取拉普拉斯变换，得 2 2 1 s Y(s)-sy(0)-y(0)+a Y(s)=
2
s
其中，Y(s)=￡[y(t)],代入初始条件，得
1
2
bs+c s
Y(s)= +
2 2 2 2
s +a s +a
bs c 1 1 1
= + + ( - )
2 2 2 2 2 2 2 2
s +a s +a a s s +a
对上式取拉普拉斯逆变换，便得所求微分方程的解为
c 1 1
y(t)=bcosat+ sinat+ (t- sinat)
a 2 a
a
例5，求微分方程
t
y``-2y+2y=2e cost 满足y(0)=y(0)=0的解，
解：对给定的微分方程两边取拉普拉斯变换，得
2 2(s-1)
s Y(s)-2sY(s)+2Y(s)=
2
(s-1) +1
解出Y(s)，得
2(s-1) d 1
Y(s)= =- ( )
2 2 ds 2
[(s-1) +1] (s-1) +1
由于
-1 1 t
￡ [ ]=e sint
2
(s-1) +1
故,
-1 d 1 t
￡ [ ( ) ]=e sint
2
ds (s-1) +1
于是,
-1 1
￡ [Y(s)]=te sint
因此所求微分方程的解为
t
y(t)=te sint
由上面两例可以看出，应用拉普拉斯变换求解微分方程时，已经初始条件用上，因此求出的结果就是满足初始条件的特解了，这样就简化了求微分方程时，先求通解再求特解的步骤。
例6，求微分方程组
t
x+x-y=e { t y+3x-2y=2e
满足初始条件：x(0)=y(0)=1的解
解：设￡[x(t)]=X(s),￡[y(t)]=Y(s),
对方程组的每个方程两端取拉普拉斯变换，得
1
(s+1)X(s)-Y(s)-1=
s-1
{
2
(s-2)Y(s)+3X(s)-1=
s-1
解出象函数X(s)和Y(s)：
1
X(s)=Y(s)=
s-1
再取拉普拉斯逆变换，求得原方程组的解为
t
x(t)=y(t)=e
例7，在如图3-1所示的R,C并联电路内，外加电流为单位脉冲函数δ(t)的电流源，
电容C上初始电压为零，求电路中的u(t)
解：设流经电阻R和电容C的电流分别为i (t)和i (t),
1 2
电学原理知
u(t) du
i (t)= , i (t)=C
1 R 2 dt
根据电学上的基尔霍夫定律，有
u(t) u
C + =δ(t)
R R
{
u(0)=0
这就是该电路电压应满足的微分方程,
设￡[u(t)]=U(s)，对微分方程两端取拉普拉斯变换，得
U(s)
CSU(s)+ =1
R
解得,
1 1 1
U(s)= =
1 C 1
+C S+
R s RC
取拉普拉斯逆变换，有
-1 1 -t/RC
u(t)=￡ [U(s)]= e
C
解的物理意义是：由于在一瞬间电路受单位脉冲电流的作用，把电容的电压由零跃变到1/C，然后电容C向电阻R按指数衰减规律放电。
习题3.4
1.用拉普拉斯变换解下列微分方程：
3t
（1）x``(t)-3x(t)+2x(t)=2e ,x(0)=0,x(0)=0
(4) (2)
(2)y +2y +y=0,y(0)=y(0)=y``(0)=0,y```(0)=1 (3)x``(t)-x(t)=4sint+5cost,x(0)=-1,x(0)=-2
t
(4)y``-2y+2y=2e cost,y(0)=y(0)=0
2.用拉普拉斯变换解下列微分方程组：
y(t)-2x(t)-y(t)=1, (1){ x(0)=2,y(0)=4, x(t)-x(t)-2y(t)=1,
t
x`(t)+x(t)+y(t)=e ,
(2){ t x(0)=y(0)=1, y`(t)+3x(t)-2y(t)=2e ,
t
y``(t)-x``(t)+x`(t)-y(t)=e -2,
(3){ x(0)=x(0)=0,y(0)=y(0)=0
2y(t)-x(t)-2y`(t)+x(t)=-1,
附表5 拉普拉斯变换简表
序号 f(t) F(t)
1 1 1/s
at
2 e 1/(s-a)
m Γ(m+1)
3 t ,(m>-1) 注：m+1为正整数时，Γ(m+1)=m! m+1 s
m at Γ(m+1)
4 t e ,(m>-1)
m+1
(s-a)
a
5 sinat
2 2
s +a
s
6 cosat
2 2
s +a
a
7 shat
2 2
s -a
s
8 chat
2 2
s -a
2as
9 tsinat
2 2 2
(s +a )
2 2
s -a
10 tcosat
2 2 2
(s +a )
2as
11 tshat
2 2 2
(s -a )
2 2
s -a
12 tchat
2 2 2
(s -a )
m Γ(m+1) m+1 m+1
13 t sinat,(m>-1) *[(s+ia) -(s-ia) ] 2 2 m+1 2i(s +a )
m Γ(m+1) m+1 m+1
14 t cosat,(m>-1) *[(s+ia) +(s-ia) ] 2 2 m+1 2i(s +a )
-bt a
15 e sinat
2 2
(s+b) +a
-bt s+b
16 e cosat
2 2
(s+b) +a
-bt (s+b)sinc+acosc
17 e sin(at+c)
2 2
(s+b) +a
2 1 1 s
18 sin t ( - )
2 s 2
s +4
2 1 1 s
19 cos t ( + )
2 s 2
s +4
2abs
20 sinatsinbt
2 2 2 2
[s +(a+b) ][s +(a-b) ]
at bt a-b
21 e -e
(s-a)(s-b)
at bt (a-b)s
22 ae -be
(s-a)(s-b)
2 2
1 1 b -a
23 sinat- sinbt
2 2 2 2 2 2
(s +a )(s +b )
2 2
(b -a )s
24 cosat-cosbt
2 2 2 2
[s +(a+b) ][s +(a-b) ]
1 1
25 (1-cosat)
2 2 2
a s(s +a )
1 1
26 (at-sinat)
3 2 2 2
a s (s +a )
1 1 2 1
27 (cosat-1)+ t
4 2 2 2 2
a 2a s (s +a )
1 1 2 1
28 (chat-1)- t
4 2 2 2 2
a 2a s (s -a )
1 1
29 (sinat-atcosat)
3 2 2 2
2a (s -a )
2
1 s
30 (sinat+atcosat)
2a 2 2 2
(s -a )
1 1 1
31 (1-cosat)- tsinat
4 3 2 2 2
a 2a s (s -a )
-at s
32 (1-at)e
2
(s+a)
-at s
33 (1-at/2)e
3
(s+a)
1 -at 1
34 (1-e )
a s(s+a)
-bt -at
1 1 e e 1
35 + ( - ) ab b-a b a s(s+a)(s+b) 式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt -ct
e e e 1
36 + +
(b-a)(c-a) (a-b)(c-b) (a-c)(b-c) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt -ct
ae be ce s
37 + +
(c-a)(a-b) (a-b)(b-c) (b-c)(c-a) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
2 -at 2 -bt 2 -ct 2
a e b e c e s
38 + +
(c-a)(b-a) (a-b)(c-b) (b-c)(a-c) (s+a)(s+b)(s+c)
式中a,b,c为不相等的常数
-at -bt
e -e [1-(a-b)t] 1
39
2 2
(a-b) (s+a)(s+b)
式中a,b,c为不相等的常数
-bt -at
[a-b(a-b)t]e -ae s
40
2 2
(a-b) (s+a)(s+b)
式中a,b,c为不相等的常数
2
-at at/2 √3at √3at 3a
41 e -e (cos -√3sin )
2 2 3 3
s +a
3
4a
42 sinatchat-cosatshat
4 4
s +4a
1 s
43 sinatshat
2 4 4
2a s +4a
1 1
44 (shat-sinat)
3 4 4
2a s -a
1 s
45 (chat-cosat)
2 4 4
2a s -a
1 1
46
√s
πt
1 1
47 2
π s√s
1 at 1
48 e (1+2at) (s-a) s-a πt
1 bt at
49 (e -e ) 3 s-a - s-b 2 πt
1 1 -a/s
50 cos2 at e
√s
πt
1 1 a/s
51 ch2 at e
√s
πt
1 1 -a/s
52 sin2 at e
s √s
πt
1 1 a/s
53 sh2 at e
s √s
πt
1 bt at e-a
54 (e -e ) ln
t s-b
2 s+a a
55 shat ln =2Arth =1/ln[(1+a/s)/(1-a/s)]
t s-a s
注：arth表示反双曲正切, arthx=1/2ln[(1+x)/(1-x)],
2 2
2 s +a
56 (1-cosat) ln
t 2
s
2 2
2 s -a
57 (1-chat) ln
t 2
s
1 a
58 sinat arctg t s
2 2
1 s +b
59 (chat-cosbt) ln
t 2 1
s -a
1 a
60 sin(2a√t) erf( )
πt s
2
2 x -t
注：erf(x)= ∫ e dt,称为误差函数
√π 0
2
1 -2a√t 1 a /s a
61 e e erf( )
πt √s s
a 1 -a√s
62 erfc( ) e
2√t s
2 2
t 1 a s
63 erfc( ) e erfc(as)
2a s
1 -2√at 1 a/s a
64 e e erfc( )
√πt √s s
1 1 as
65 e erfc( as )
π(t+a) √s
1 1
66 erfc( at )
a s s+a
1 at 1
67 e erfc( at )
a √s(s-a)
1
68 u(t)
s
1
69 tu(t)
2
s
m 1
70 t u(t),(m>-1) Γ(m+1)
m+1
s
注：m+1为正整数时，Γ(m+1)=m!
71 δ(t) 1
72 δ`(t) s
73 sgnt 2/s
1
74 J (at)
0 2 2
s +a
-n
注：I (x)=i J (jx),J 称为第一类n阶贝塞尔(Bessel)函数，
n n n
I 称为第一类n阶变形的贝塞尔函数，或称为虚宗量的贝塞尔函数。
n
1
75 I (at)
0 2 2
s -a
1 -a/s
76 J (2 at ) e
s
-bt 1
77 e I (at)
0 2 2
(s+b) -a
s
78 tJ (at)
0 2 2 s/2
(s +a )
s
79 tI (at)
0 2 2 s/2
(s -a )
2 2
1 b(s- s +a )
80 J (a t(t+2b) e
0 2 2
s +a
第五部分拉普拉斯运算法
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系，编，上海人民出版社1975年出版。
附-2-2拉普拉斯运算法
用频谱变换法求线性电路输出信号，在实际工作中并不是简单可行的，有时往往无法进行计算。如果把福立叶变换推广到拉普拉斯变换，许多复杂问题就变得比较简单可行了。
这种方法通常又称为运算法。下面我们先来讨论福立叶变换推广到拉普拉斯变换的问题。
如从严格的数学分析出发，对一非周期脉冲函数f(t)进行福立叶变换，除了这个函数必须满足狄里赫利条件外，还必须满足绝对可积条件：
+∞
∫ │f(t)│dt<∞ （附-2-14）
0
bt
这个条件对诸如阶跃函数H(t)、斜波函数at(a>0)及指数函数e (b>0)等一类非周期信号就不
-Ct -Ct
能满足。如果这些函数乘上一个指数衰减函数e (C>0)，从而构成另一个新函数f(t)=f(t)e , 使这个新函数f(t)能满足绝对可积条件，这个指数衰减函数常称为收敛因子。对不同的函数f(t)，收敛因子中的实系数C应有不同的数值。
bt (b-C)t
例如：当f(t)=e 时，应取C>b，才能使新函数f(t)=e 满足绝对可积条件。 因此，收敛因子中的实系数C应是一个参变量。这样，新函数f(t)的福立叶变换应为：
+∞ -Ct -jωt
F(C,ω)= ∫ f(t)e e dt （附-2-15）
-∞
或
+∞ -(C+jω)t
F(C+jω)= ∫ f(t)e dt
-∞
考虑到非周期脉冲函数f(t)总起始时刻t=0的实际情况，令t<0时，f(t)=0，于是上式的积分范围可改写为0→∞。另外，令复变量p=C+jω，（附-2-15）式即可改写为：
+∞ -pt
F(p)= ∫ f(t)e dt （附-2-16）
-∞
上式即为所谓拉普拉斯变换式。其中，f(t)常称为原函数；F(p)称为象函数，它是复变量p的函数。如果把复变量p当作复频率看待，F(p)也可称为复频谱密度函数。
（附-2-16）式常用符号式F(p)=￡[f(t)]表示。由福立叶反变换式，不难推出拉普拉斯反变换
-Ct
式。新函数f(t)e 的福立叶反变换应为：
-Ct 1 +∞ jωt
f(t)e = ∫ F(C+jω)e dω
2π -∞
Ct
上式两边乘以因子e ，并且
1
dω= d(C+jω)
j
于是得：
1 C+jω (C+jω)t
f(t)= ∫ F(C+jω)e d(C+jω)
2πj C-jω
或
1 C+jω pt
f(t)= ∫ F(p)e d(p) (附-2-17）
2πj C-jω
这个积分是沿着复平面的右半平面上一垂直线进行的线积分，这条作为积分路径的垂直线应选取在被积函数的所有极点的右边。可以证明，作为拉普拉斯反变换的（附-2-17）式可改写成为：
1 pt
f(t)= ∮F(p)e d(p) (附-2-18）
2πj
上式积分号上的小圆圈表示积分式围线积分，这个围线必须包含被积函数的所有极点在内。
-1
(附-2-18）式常用符号式f(t)=￡ [F(p)]表示。必须指出，在实际应用中，拉普拉斯变换与反变换一般都不进行具体的验算。而可以通过f(t)与F(p)的变换对照表（附录3）求得。
大家知道，线性电路的输入和输出信号的时间函数v (t)和u (t)之间的关系，
i 0
一般可用n阶线性微分方程表示：
n n-1
d v d v dv
0 0 0
a +a +...+a +a v =v (t) (附-2-19)
n n-1 n-1 1 0 0 i
dt dt dt
式中，系数a ,a ,...,a ,a 与网络的元件与结构有关。
n n-1 1 0
图附-2-1(a)所示的简单阻容电路，微分方程为：
n
dv
0
RC +v =v (t) (附-2-20)
2πj 0 i
设￡[v (t)]=V (p);￡[v (t)]=V (p) i i 0 0
dv
(1) 0
一阶导数v (t)= 的变换可求得为：
0 dt
dv
(t) ∞ -pt 0
￡[v (t)]= ∫ e dtpV (p)-v (0) (附-2-21)
0 0 dt 0 0
式中，v (0)决定于线性电路输出的初始状态。如果在输入信号作用前，
0
线性电路中的储能元件C或L未充磁，则v (0)=0，
0
2
d v
(2) 0
二阶导数v (t)= 的变换为：
0 2
dt
(2) (1) (1) 2 (1)
￡[v (t)]=p￡[v (t)]-v (0) =p V (p)-pv (0)-v (0) (附-2-22)
0 0 0
n阶导数的变换即为：
(n) n n-1 n-2 (1) (n-1)
￡[v (t)]=p V (p)-p v (0) -p v (0)-...-v (0) (附-2-23)
0 0 0 0 0
式中，
n
d v
(n) 0
v (0)= lim
t→0 n
dt
由于拉氏变换是一种线性运算，（附2-19）式左边的变换等于各项分别进行变换后之和，因而得
V (p)=K(p)[V (p)+Q(p)] (附-2-24)
0 i
式中，
1
K(p)= (附-2-25)
n n-1
a p +a p +...+a p+a
n n-1 1 0
n-1 n-2 n-2 n-3 (1)
Q(p)=(a p +a p +...+a p+a )v (0) +(a p +a p +...+a p +a )v (0)+...
n n-1 2 1 0 n n-2 2 1 0
(n-2) (n-1)
+(a p+a )v (0)+a v (0) (附-2-26)
n n-1 0 n 0
K(p)是线性网络的传输函数，它完全取决于线性网络的元件和结构形式；Q(p)是与网络
(i)
的初始状态密切有关的函数，如网络的初始状态为零，v (0)和有关的v (0)均等于零，
0 0
从而Q(p)=0，这样，（附-3-24式）则为：
V (p)=K(p)V (p) (附-2-27)
0 i
此式说明，在线性网络的初始状态为零的情况下，网络的输出信号v (t)的象函数等于输入信号的象函数与网络的传输函数的乘积。这里的传输函数K(p)与频谱法中的K(ω)具有同一形式，只要将K(ω)中的jω用p代替。如果图附-2-1(a)所示的阻容电路的初始状态为：
C充有负极性的电压——θ，即v (0)=-θ，
0
如图附-2-4所示，电路的输入电压为阶跃电压E，即
v (t)=E (t>0),
i
这样
dv
0
RC +v =E
dt 0
上式的拉普拉斯变换为：
1 E
V (p)= ( -θCR) (附-2-28)
0 dt P
查表（附录3）求得原函数v (t)为：
0
-t/RC -t/RC
v (t)=E(1-e )-θe =v (t)+v`` (t) (附-2-29) 0 0 0 式中，v (t)是由输入电压v (t)=E所产生的，常称为强迫相应；
0 I
v (t)是由电路的初始值v (0)=-θ所产生的，常称为自由响应。 0 0 波形如图附-2-5所示，如θ=0，则v (t)=0，得
0
-t/RC
v (t)=E(1-e ) 0 此式与用富立叶变换法所得结果完全相同。由（附-2-21）式可以推导出两个很有用的定理。当p→∞时，如果p的实部为正数，（附-2-21）式左边的积分等于零，因此，得
v (0)= lim v (t)= lim pV (p) (附-2-30)
0 t→∞ 0 t→∞ 0
这是所谓始值定理。当p→0时，（附-2-21）式左边的积分为：
dv ∞ dv
lim ￡[ ]= ∫ dt=v(∞)-v(0)
p→0 dt 0 dt
因而得：
v (0)= lim v (t)= lim pV (p)
0 t→∞ 0 t→∞ 0
这是所谓终值定理。
始值定理和终值定理可以帮助我们直接从网络的输出象函数V (p)求的输出原函数v (t)的
0 0
瞬态值v (0)与稳态值v (∞)，而不必等到v (t)求得后再进行推导，例如，如图附-2-1(a)
0 0 0
所示的RC电路，由（附-2-28）式得：
E θCR
v (0)= lim pV (p)= lim ( - )=-θ
0 p→∞ 0 p→∞ 1+pCR 1
+CR
p
E θCR
v (∞)= lim pV (p)= lim ( - )=E
0 p→0 0 p→0 1+pCR 1
+CR
p
可见，由始值、终值定理求得的结果与前面结果完全一致，但要方便很多。在实际工作中，往往只需要知道始值和终值。例如：当矩形脉冲v (t)输入RC微分电路，
i
其输出是正负相间的尖脉冲，如图附-2-6所示，这点大家都是很熟悉，就没有必要去取输出函数v (t)，但是尖脉冲的起始值和稳定值是大家需要知道的。设电路的初始状态为零，
0
由（附-2-7）式可得：
V (p)=K(p)V (p)
0 i
式中，
p
K(p)=
1
p+
p
V (p)可查附录3得：
i
-pτ
E u
V (p)= (1-e )
p
因此，得
-pτ
1 1 u
V (p)=E( - e )=V (p)-V (p)
1 1 01 02
p+ p+
CR CR
由始值、终值定理很快就求得：
-pτ
E u
v (0)= lim pV (p)= lim [ (1-e )]=E
0 p→0 0 p→0 1+ 1
CR
v (∞)= lim pV (p)=0
0 p→0 0
