极限的计算电路
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
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第二节 极限的概念
极限概念是与求一些量的精确度有关的，它研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势，下面我们先来看一个例子。
例1 求由曲线y=x ,x=1及x轴所围成的图形（该图形叫做曲边三角形，图1-11所示）的面积。
解，将区间[0,1]等分为n个小区间[0,1/n],[1/n,2/n],...,[(n-1)/n,1], 称为子区间，依次作n个内接小矩形如图(1-11)，称为子区间，依次作n个内接小矩形如图(1-11)，它们的面积分别为：
1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 n-1 2
×0, ×( ), ×( ) , ×( ),..., ×( ),
n n n n n n n n n
若将这n个小矩形的面积之和S 作为曲边三角形面积S的近似值，则有
S≈S =
n
1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 n-1 2
×0, ×( ), ×( ) , ×( ),..., ×( ),
n n n n n n n n n
1 2 2 2
= [1 +2 +...+(n-1) ]
3
n
1 n(n-1)(2n-1)
= *
3
n 6
1 1 1
= (1- )(2- )
6 n n
由图1-11不难发现，n愈大，S 愈接近S。
n
显然，当n无限地增大时，S 就无限地接近或者说趋向于S。
n
另一方面分析S 的表达可知，当n无限变大时，S 无限地趋向于1/3，
n n
于是可以断言该曲边三角形的面积S为1/3. 实际上，这里讨论的是当自变量n在无限变大时， 函数S 的变化趋势，
n
这种通过研究函数变化趋势解决问题的方法叫做极限方法。 一般地，极限概念指的是在自变量的某一变化过程中函数的变化趋势， 下面，我们将就函数在自变量的不同变化过程中的变化趋势问题分别加以讨论，
一 x→x 时函数f(x)的极限
0
我们先来讨论当x无限接近于x 时，函数y=f(x)无限接近于常数A的情形。
0
例如当x无限接近于1时， 函数
2
2x -2 2(x-1)(x+1)
f(x)= =
x-1 x-1
就无限接近于4， 下面讨论这种现象如何被精确地描述。 显然,x接近于1以及f(x)接近于4，它们的接近程度可以分别以│x-1│、│f(x)-4│的大小来表达，所谓“当x无限接近于1时，f(x)无限接近于数4”， 可以理解为：对于想象中的无论多么小的正数ε，总可以找到那么一个正数δ，只要0<│x-1│<δ,就有│f(x)-4│<ε。这就从本质上反映了f(x)是无限接近4的情况。
注：从上面的例子中可以看到x≠1，也就是说不考虑x=1，所以要有0<│x-1│。
一般地，当x无限接近x 时，函数f(x)无限接近常数A，可以精确地描述如下：
0
定义，若对于任意给定的正数ε，当0<│x-x │<δ时，恒有
0
│f(x)-A│<ε
则称常数A为函数f(x)当x趋向于x 时的极限，
0
或者说函数f(x)在x 处的极限为A，记为
0
lim f(x)=A或·f(x)→A(当x→x 时)
x→x 0
0
从几何图形上看，0<│x-x │<δ表示点x与x 的距离小于δ但不与x 重合，
0 0
即点x落在(x -δ,x )∪(x ,x +δ )内，
0 0 0 0
人们常称点集(x -δ,x +δ)为x 的δ邻域，
0 0 0
记为N(x ,δ),称(x -δ,x )∪(x ,x +δ)为x的去心δ-邻域，
0 0 0 0
│f(x)-A│<ε表示f(x)落在区间(A-ε,A+ε)内， 即点A的ε邻域N(A,ε)内，因此，
lim f(x)=A
x→x
0
的几何意义为：
对于任意给定的不论多么小的正数ε, 作为两条直线y=A-ε和y=A+ε,
总存在一个x 的去心δ-邻域N(^x ,δ),
0 0
在这个邻域内y=f(x)的图形落在这两条直线之间（图1-12）。
我们愿意再提醒读者，函数f(x)在x 处的极限就是研究当x→x 时f(x)的变化趋势，
0 0
这种变化趋势与f(x)在x 处是否有定义无关，
0
这正是上述定义中要求0<│x-x │<δ的原因，事实上，即使函数f(x)在x 处没有定义，
0 0
它在x 处也可以有极限，如上述的例子
0
2x -2
lim =4
x→1 x-1
(图1-13(a));
另一方面，函数f(x)在x 处虽然有定义但并不意味着它在该点有极限（图1-13（b));
0
函数f(x)在x 处有定义且有极限A，也未必有A=f(x )(图1-13（c））
0 0
上述定义常称为以“ε-δ”语言描述的极限定义。
当分母不为0时，极限的求法
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版
2
x -4
lim =4
x→2 x-2
lim (x+2)=4
x→2
当分母为0时，极限的求法，如下所示
例2: 证明
2
2x -2
lim =4
x→1 x-1
这不算证明，现在用定义证明，这里
2
2x -2
f(x)= =4 , A=4,x =1,
x-1 0
因为,
2 2
2x -2 2(x -2x+1)
│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)
x-1 x-1
所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2,
0
因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有
0
│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知
2
2x -2
lim =4
x→1 x-1
综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4
例3，证明lim sinx=0
x→0
证，对于任意给定的ε>0，找出δ，当│x-0│<δ时，要使│sinx-0│=│sinx│<ε
因为│sinx│≤│x│，所以只要0<│x│<ε, 故可取δ=ε，当0<│x-0│<δ时，必有
│sinx-0│<ε,
因此， lim sinx=0, 极限定义中对于x如何趋向于x 没有限制，
x→0 0
即x可以任意地趋向于x ，
0
有时我们只考虑x从x 的左侧或从x 的右端趋向于x ，
0 0 0
这就产生了左极限和右极限的概念。
定义，若x小于x 而趋向于x (记为x→x )时f(x)去向于数A，
0 0 0
则称A为x→x 时f(x)的左极限，或简称f(x)在x 处的左极限为A，记为
0 0
lim f(x)=A或f(x -0)=A
x→x 0
0
若x大于x 趋向于x (记为x→x )时f(x)趋向于数A，
0 0 0
则称A为当x→x 时f(x)的右极限，或简称f(x)在x 处的右极限为A，记为
0 0
lim f(x)=A或f(x +0)=A
x→x 0
0
左极限和右极限统称单侧极限。显然，函数f(x)当x→x 时极限存在的充分必要条件是：
0
f(x)在x 处的左右极限都存在并且相等，即
0
lim f(x)= lim f(x)
x→x- x→x+
0 0
这个值就是f(x)当x→x 的极限。
0
例4.
x+1,-∞<x<0
试求函数f(x)={ x ,0≤x≤1,
1, x>1
在x=0和x=1处的极限。
解（1）因为
lim f(x)= lim (x+1)=1
x→0- x→0+
2
lim f(x)=lim x =0
x→0- x→0+
(以上两个极限均可用极限定义加以验证）, 即f(x)在x=0处的左、右极限不相等， 所以它在x=1处的极限存在且为1（以上极限可用极限定义加以验证）。
自变量x除了x→x 的变化过程之外，还有其绝对值无限增大（记为x→∞）的变化过程。
0
下面我们将讨论这种情形。
二 x→∞时函数f(x)的极限
我们先来看一个例子，当│x│无限增大时，显然函数f(x)=1/x无限接近于0. 一般地，当│x│无限增大时f(x)趋于A可描述如下：定义，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正数N，当│x│>N,恒有│f(x)-A│<ε, 则称常数A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限，记为
lim f(x)=A 或f(x)→A(当x→∞时)
x→∞
定义的几何意义是：不论直线y=A-ε和y=A+ε所夹的条形域那么窄， 只要x离原点充分远（即│x│>N）, 函数f(x)的图形都在该条形域内（图1-14）。
1
例5，证明lim =0
x→∞ 2x
证，这里f(x)=1/2x, A=0,由
│f(x)-0│=│1/2x-0│=1/2│x│
可知，要使│f(x)-A│=1/2│x│<ε,
只要│x│>1/2ε, 即可，因此对于任意给定的ε>0，可取, N=1/2ε,
当│x│>N=1/2ε时，恒有
│1/2x-0│=1/2│x│<ε, 故
1
lim =0
x→∞ 2x
类似地，我们可以证明
1
lim =0
x→∞ x
与x→x 的情形相类似，x→∞也存在两种特殊情况：x无限地增大或无限地减少，
0
即表示点x沿着Ox轴无限地向右移动，或无限地向左移动，这时分别记为
lim f(x)=A 和 lim f(x)=A
x→+∞ x→-∞
例如,
1
lim =0
x→+∞ x
和
1
lim =0
x→-∞ x-1
下面我们介绍一个定理： 定理，若x→x （或x→∞）时函数f(x)的极限存在，
0
则存在δ>0(或R>0)，使得f(x)在x 的邻域N(^x ,δ)内(或N(0，R)之外)有界。
0 0
证，我们仅就x→x 的情况予以证明。设
0
lim f(x)=A
x→x
0
则对于取定的ε=1/2，总存在一个δ>0，使得当0<│x-x │<δ时恒有，
0
│f(x)-A│<ε=1/2成立，即-1/2<f(x)-A<1/2, 于是有A-1/2<f(x)<A+1/2,
我们取│A-1/2│与│A+1/2│中较大的为M，即M=max{│A-1/2│,│A+1/2│，于是-M<f(x)<M,
即, │f(x)│<M, 因此函数在邻域N(^x,δ)内有界。它表明，极限存在的函数必定在其定义域的某个局部范围内有界，但这并不意味着它在整个定义域内有界，这是应当注意的。
第三节 极限运算
本节将通过介绍极限的运算法则，两个重要极限，无穷小量和函数极限的有关性质，初步地给出一些求极限的方法，本节中凡不标明自变量变化过程的极限号lim, 均表示变化过程适用于x→x ,x→∞等各种情形。
一 无穷小量及其运算
若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量。
例如，函数a(x)=x-x , 当x→x 时，a(x)→0,
0 0
所以a(x)=x-x 是当x→x 时的无穷小量。
0 0
-x
又如a(x)=1/2x，它是当x→∞时的无穷小量。而a(x)=a (a>1)是当x→+∞时的无穷小量。
应当注意，绝对值很小的常数以及负无穷大量都不是无穷小量， 但是零是无穷小量，因为它的极限为零。
定理1，若函数y=f(x)在x→x (或x→∞)时的极限为A， 则：f(x)=A+a(x)或简记为y=A+a,
0
其中a=a(x)为x→x (或x→∞)时的无穷小。
0
反之，若上式成立，则y=f(x)在x→x (或x→∞)时的极限为A。
0
证，我们以x→x 为例。则由极限的定义有：对于任意给定的ε>0，总有δ>0，
0
当0<│x-x │<δ时，│f(x)-A │<ε恒成立，这意味着
0 0
lim (f(x)-A)=0,
x→x
0
若记a(x)=f(x)-A, 则由无穷小量的定义可知a(x)是当x→x 时的无穷小量，因此有
0
f(x)=A+a(x)
反之，若f(x)=A+a(x)且a(x)为x→x 时的无穷小量，则对于任意给定的ε>0，总有δ>0，
0
当0<│x-x │<δ时恒有│a(x)│<ε，即有│f(x)-A│<ε,这恰恰意味着
0
lim f(x) =0,
x→x
0
对于x→∞的情形，可类似的证明。
定理2，有限个无穷小量（当x→x 或x→∞时）的代数和，仍然是无穷小量。证明从略。
0
定理3，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。证，以x→x 为例，
0
设a=a(x)为x→x 时的无穷小量，且f(x)在x=x 的某一邻域N(x ,δ )内有界，
0 0 0 1
则对于f(x)必存在一个常数c>0，使得当x∈N(x ,δ )时有│f(x)│<c，
0 1
对于任意给定的正数ε，取ε =ε/c，必存在一个δ >0，
0 2
当0<│x-x │<δ 时，必有 │a(x) │<ε/c
0 2
因此，对于任意给定的正数ε，只要取 δ=min│δ ,δ │,
1 2
当0<│x-x │<δ时，必有│a(x)f(x) │=│a(x)││f(x) │<ε*c/c=ε
这表明当x→x 时， a(x)f(x)是无穷小量（当x→∞时，可类似地证明）。
0
推论1，有限个无穷小量（自变量同一趋向下）之积为无穷小量。
推论2，常数与无穷小量之积为无穷小量。
定理4，若 lim f(x)=∞，则，
1
lim =0
f(x)
反之，设 f(x)≠0，若lim f(x)=0，则，
1
lim =∞
f(x)
证明从略。
例1证明
cosx
lim =0
x→∞ x
证，因为
cosx 1
= cosx
x x
其中cosx为有界函数，1/x为当x→∞时的无穷小量，所以由定理3可知
cosx
lim =0
x→∞ x
二 极限的运算法则
定理5，若函数y=f(x)与z=g(x)在x→x (或x→∞)时都存在极限。
0
则它们的和、差、积、商(分母的极限不为零)在x→x(或x→∞)时也存在极限，且
(1)lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)；
(2)lim [f(x)*g(x)]=lim f(x)*lim g(x)；
f(x) lim f(x)
(3)lim = (lim g(x)≠0);
g(x) lim g(x)
证，这里仅就x→x 的情形予以证明，且设
0
lim f(x)=A, lim g(x)=B
x→x x→x
0 0
(1)由定理1有(1)
f(x)=A+α(x)和g(x)=B+β(x),
其中α(x)和β(x)均为x→x 时的无穷小量，于是
0
lim [f(x)±g(x)]=(A±B)= lim f(x)± lim g(x)
x→x x→x x→x
0 0 0
(2)因为
f(x)g(x)=[A+α(x)][B+β(x)] =AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)]
而由定理3的推论1和推论2可知Aβ(x),Bα(x),α(x)β(x)均为x→x 时的无穷小量，
0
所以由定理1可知,
lim [f(x)g(x)]=AB=lim f(x) lim g(x)
x→x x→x x→x
0 0 0
商的极限运算法则的证明从略。
推论1，常数可以提到极限号前，即lim cf(x)=clim f(x)
推论2，若lim f(x)=A, 且m为自然数，则
m m m
lim [f(x)] =[lim f(x)] =A
特殊的，有
m m m
lim x =(lim x) =x
x→x x→x
0 0
定理6，设函数y=f[φ(x)]由函数y=f(u)，u=φ(x)复合而成，若
lim φ(x)=u ,
x→x 0
0
且x 的一个邻域内（除x 外）φ(x)≠u ,
0 0 0
又有lim f(u)=A , 则
x→x
0
lim f[φ(x)]= lim f(u)=A
x→x u→u
0 0
证明从略. 定理6使我们可以采用作变量替换的方法计算函数的极限。
例1，求
2
lim (x +8x-7)
x→1
解，运用定理5及其推论可得：
2 2
lim (x +8x-7)=lim x +lim 8x - lim 7
x→1 x→1 x→1
由于,
lim x=1,lim x=7,
x→1 x→1
因此,
2 2
lim (x +8x-7)=1 +8*1-7=2
x→1
一般地，有
n n-1
lim (a x +a x +...+a x+a )
x→1 n n-1 1 0
n n-1
=a x +a x +...+a x +a
n 0 n-1 0 1 0 0
即多项式函数在x 处的极限等于该函数在x 处的函数值。
0 0
例2，求
2
4x -3x+1
lim
x→-1 2
2x -6x+4
解，由例1知道当x→-1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限
2 2
lim (2x -6x+4)=2*(-1) -6(-1)+4=12≠0
x→-1
所以由定理5商的极限运算法则及关于多项式函数极限的结论，可得
2 2
2 lim 4x -3x+1 4(-1) -3(-1)+1
4x -3x+1 x→-1
lim = = =8/12=2/3
x→-1 2 2
2x -6x+4 lim 2x -6x+4 12
x→-1
例3，求
2
x -3
lim
x→1 2
x -5x+4
解，所给函数的特点是分子的极限不为零，分母的极限为零。因此不能直接运用商的极限运算法则，对于这类题目应先计算其倒数的极限，再运用无穷小量与无穷大量的关系得到的结果，具体计算如下：由于
2
2 lim (x -5x+4) 0
x -5x+4 x→1
lim = = =0
x→1 2 2
x -3 lim (x -3) -2
x→1
即x→1时，
2
x -5x+4
为无穷小量，
2
x -3
因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知：
当x→1时，
2
x -5x+4
为无穷大量，
2
x -3
2
x -3
lim =∞
x→1 2
x -5x+4
有时，所给函数在自变量的某个趋向中分子，分母的极限都为零，人们常称为这类极限为“0/0”极限，这时不能直接应用商的极限运算法则。
例4，求
2
x -3x+2
lim
x→2 2
x -x-2
解，所给函数的分子分母极限均为0，但它们都有趋向于0的公因子(x-2)， 当x→2时，x≠2,x-2≠0, 可约去这个不为零的公因子，故
2 lim (x-1)
x -3x+2 (x-1)(x-2) x-1 x→2 2-1 1
lim = lim = lim = = =
x→2 2 x→2 (x+1)(x-2) x→2 x+1 lim (x+1) 2+1 3
x -x-2 x→2
这种求极限的方法的要点是，先将分子，分母因式分解，然后消去分子、分母公共的无穷小量因子。有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分母分子都趋于无穷大，这类极限称为“∞/∞”型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则。
例5，求
若a ≠0,b ≠0,m,n为正整数，试证
a
n
n n-1 ,m=n
a x +a x +...+a x+a b
n n-1 1 0 m
lim ={ 0,m>n
x→2 m m-1
b x +b x +...+b x+b ∞，m<n,
m m-1 1 0
证，当x→∞时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大，若将原式变形为
n n-1
a x +a x +...+a x+a
n n-1 1 0
lim
x→2 m m-1
b x +b x +...+b x+b
m m-1 1 0
n n-1 n
x a +a *1/x +...+a *1/ x +a *1/x
= lim[ * n n-1 n-1 1 0
x→∞ m m-1 m
x b +b *1/x +...+b *1/ x +b *1/x
m m-1 m-1 1 0
则可知，当m=n时，
n
x
=1
m
x
方括号中除a ,b 外，当x→∞时各项的极限都为零，因此可得a /b .
n m n m
当m>n时，方括号中第一个分式的极限为零，第二个分式的极限为a /b ，
n m
于是原式的极限为零。当m<n时，方括号中第一个分式的极限为无穷大，
第二个分式的极限为a /b , 于是原式的极限为无穷大。
n m
此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适用于x→∞或x→+∞，
例6，计算
2
x 1
lim ( - )
x→2 2
x -4 x-2
解，由于括号内两项的极限都是无穷大， 因此人们常称为“∞-∞”型极限， 不能直接应用定理5. 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法。
2 2
x 1 x -x-2 (x-2)(x+1) x+1
lim ( - )= lim ( )= lim = lim =3/4
x→2 2 x→2 2 x→2 (x-2)(x+2) x→2 x+2
x -4 x-2 x -4
例7，计算
lim sin3x
x→0
解，令u=3x, 则函数y=sin3x可视为由y=sinu,u=3x构成的复合函数。因为 x→0时，u=3x→0,且u→0时sinu→0(见第二节例2)，所以由定理6可得
lim sin3x=0
x→0
例8，计算
1/x
lim 2
x→∞
解，令u=1/x, 因为
1
lim =0
x→∞ x
且
u
lim 2 =1
u→0
所以
1/x
lim 2 =1
x→∞
例9，计算
-1/x
lim 2
x→0+
解，因为
1
lim =+∞
x→0+ x
所以,
1/x
lim 2 =+∞
x→0+
由于
-1/x 1
2 =
1/x
2
因此由无穷大量与无穷小量的关系可知，
-1/x
lim 2 =0
x→0+
第七部分
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
三 两个重要极限1.第一个重要极限
sinx
lim =1
x→0 x
我们先来叙述一个定理，然后再证明,
sinx
lim =1
x→0 x
定理7，若对于x∈N(^x ,δ)或│x│>M(M>0)时，有
0
g(x)≤f(x)≤h(x)
且lim g(x)=lim h(x)=A, 则lim f(x)=A,
定理7称为函数极限的夹逼定理，其证明从略。
现证明
sinx
lim =1
x→0 x
证，取一个半径为R的圆，x表示以弧度计的圆心角AOB，设0<x<π/2
(图1-16) 因为扇形AOB的面积大于△AOB的面积而小于△AOC的面积(AC为该圆在A点的切线),所以有
2 2 2
R R R
sinx< x< tgx
2 2 2
2
R
各式同除以正值 ,得
2
x 1
1< <
sinx cosx
即
x
cosx< <1
sinx
下面我们来证明
lim cosx=1
x→0
因为
2 x x x x
0≤1-cosx=2sin =2sin sin ≤21* =x
2 2 2 2
且
lim x=0
x→0
所以由定理7推得
lim (1-cosx)=0
x→0
可知
lim cosx=1
x→0
又因为
lim 1=1
x→0
所以再次运用定理7即可得
sinx
lim =1
x→0 x
上面的证明是在0<x<π/2的假设下进行的，对于x取负值的情形也是对的，证明从略
这个极限十分重要，常称之为重要极限，运用它可以推证或计算许多其它的极限。
例10，计算
tgx
lim
x→0 x
解
tgx sinx 1
lim = lim * =1
x→0 x x→0 x cosx
这个结果可以作为公式使用。
例11，计算
1-cosx
lim
x→0 2
x
x x
解 2sinx sinx
1-cosx 2 1 2 2
lim = lim = lim [ ]
x→0 2 x→0 2 x→0 2 x
x x 2
x
sinx
1 2 2 1
= lim [ ] = *1=1/2
2 x/2→0 x 2
2
这个结果可以作为公式使用。
例12，计算
sin5x
lim
x→0 3x
解: 令5x=u,当x→0时，u→0，因此有
sin5x sinu 5 sinu 5
lim = lim = lim = *1=3/5
x→0 3x x→0 3u/5 3 x→0 u 3
例13，计算
sin3x-sinx
lim
x→0 3x
解:
sin3x-sinx 2cos2xsinx sinx
lim = lim =2lim cos2x lim =211=2
x→0 3x x→0 x x→0 x→0 x
下面我们介绍不等式求极限定理。
定理8，
设函数u(x),v(x)在x 的某一个邻域内（或│x│>M,M>0时）满足u(x)≤v(x)或u(x)<v(x)(x
0
可以除外), 若x→x (或x→∞)时它们的极限都存在，则
0
lim u(x)≤lim v(x)
证明从略,
特殊地，若在x 的某一邻域内（或│x│>M,M>0时），
0
f(x)≤0(或≥0)，则lim f(x)≤0(或≥0)
应当注意，定理8标明，在自变量变化的同一趋向中，不相等的函数的极限值可能相等，
2 2 2 2
例如当x≠0时，a +x >a -x , 但是,
2 2 2 2
lim (a +x )= lim (a -x )=a
x→0 x→0
我们不加证明地指出，本节中有关函数的极限定理对于数列而言全部成立。
2.第二个重要极限：
1 x
lim (1+ ) =e
x→∞ x
n
我们先证明数列{u }={(1+1/n) }的极限存在, 证，因为由
n
1 n n 1 n(n-1) 1 2 n(n-1)...(n-n+1) 1 n
u =(1+ ) =1+ * + ( ) +...+ ( )
n n 1! n 2! n n! n
1 1 1 1 2 1 1 2 n-1
=2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )
2! n 3! n n n! n n n
1 1 1 1 2 1 1
u =2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+ (1- )
n+1 2! n+1 3! n+1 n+1 n! n+1
n-1 1 1 2 n
… (1- )+ (1- )(1- )… (1- )
n+1 (n+1)! n+1 n+1 n+1
因此可知，u 的前n项不小于u 的相应项，
n+1 n
而且u 比u 的展开式还多一个正项
n+1 n
1 1 2 n
(1- )(1- )… (1- )
(n+1)! n+1 n+1 n+1
所以
u >u
n+1 n
因此{u }是单调递增数列。此外，由u 的展开式可得
n
1 n 1 1 1
u =(1+ ) <2+ + +…+
n n 2! 3! n!
1
1- n
1 1 1 2
<1+1+ + +…+ =1+
2 2 n+1 1
2 2 1-
2
1
=3- ≤3
n-1
2
所以{u }是有界数列。 综上所述，│u │是单调有界数列，因此极限存在。
n n
我们还可以证明，函数
1 x
f(x)= (1+ )
x
当x→∞时，或者
1/x
f(x)= (1+ x )
当x→∞时，都有极限，且
1 x 1/x 1
lim (1+ ) = lim (1+x) = lim (1+ )
x→∞ x x→0 x→0 n
人们记这个极限为数e,于是有
1 x 1/x
lim (1+ ) = lim (1+x) =e
x→∞ x x→0
1 n
数e是一个无理数，它的近似值可由(1+ ) 展开式中取前若干项计算，
n
它的前八位数是e=2.7182818...,
x
以e为底的指数函数y=e 的反函数y=log x 叫做自然对数，
e
在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx, 人们常运用这个重要极限计算一些极限，运用时的关键，是将所给函数向
1 x 1/x
(1+ ) 或 (1+x) =e
x
这两种标准形式转化。
例14，计算
1 x/2
lim (1+ )
x→∞ x
解方法1，因为
1 x/2 1 x 1/2
(1+ ) =[(1+ ) ]
x x
且
1 x
lim (1+ ) =e
x→∞ x
所以由复合函数极限的计算法，有
1 x/2 1 x 1/2 1 x 1/2 1/2
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[ lim (1+ ) ] =e
x→∞ x x x
方法2，设
1/2 1 x
f(u)=u ,u=(1+ )
x
于是有，
1 x/2 1 x 1/2 1/2 1/2
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] = lim u =e
x→∞ x x
方法2的依据仍然是复合函数极限的计算方法，只是引进了中间变量而已。
例14a，计算
1 x/3
lim (1+ )
x→∞ x
解, 方法1，因为
1 x/3 1 x 1/3
(1+ ) =[(1+ ) ]
x x
且,
1 x
lim (1+ ) =e
x→∞ x
所以由复合函数极限的计算法，有
1 x/3 1 x 1/3 1 x 1/3 1/3
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[lim(1+ ) ] =e
x→∞ x x x
方法2，设
1/3 1 x
f(u)=u ,u=(1+ )
x
于是有，
1 x/3 1 x 1/3 1 x 1/3 1/3 1/3
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[lim(1+ ) ] =limu =e
x→∞ x x x
方法2的依据仍然是复合函数极限的计算方法，只是引进了中间变量而已。
用数学归纳法可得
1 x/n 1/n
lim (1+ ) =e
x→∞ x
其中，n为实数，e为自然对数。
用数学归纳法可得
1 a a
lim (M+ ) =M
x→∞ x
其中，n为实数，e为自然对数。
用数学归纳法可得
n/x n
lim (1+ x ) =e
x→∞
其中，n为实数，e为自然对数。
用数学归纳法可得
1/a 1/a
lim (M+x ) =M
x→∞
其中，n为实数，e为自然对数。
用数学归纳法可得
a a
lim (M+x ) =M
x→∞
其中，n为实数，e为自然对数。
例15，计算
2/x
lim (1-x )
x→∞
解: 方法1，令u=-x, 因为x→0时u→0,所以
2/x 2/u 1 2
lim (1-x ) = lim (1-u) = lim =1/e
x→∞ u→∞ u→∞ 1/u 2
[(1-u) ]
方法2，掌握熟练后可不设新变量。
2/x -1/x -2 -1/x -2 2
lim (1-x ) =lim│(1+(-x)] │ = │lim (1+(-x)] │ =1/e
x→∞ -x→∞ -x→∞
例15a，计算
3/x
lim (1-x )
x→∞
解: 方法1，令u=-x, 因为x→0时u→0,所以
3/x 3/u 1 3
lim (1-x ) = lim (1-u) = lim =1/e
x→∞ u→∞ u→∞ 1/u 3
[(1-u) ]
方法2，掌握熟练后可不设新变量。
3/x -1/x -3 -1/x -3 3
lim (1-x ) =lim│(1+(-x)] │ = │lim (1+(-x)] │ =1/e
x→∞ -x→∞ -x→∞
所以，由数学归纳法可得
3/x 1
lim (1-x ) =
x→∞ n
e
例16，计算
ln(1+x) 1/x 1/x
lim = lim ln(1+x) =ln{lim (1+x) ] =1
x→0 x x→0 x→0
例16a，计算
lg(1+x) 1/x 1/x
lim = lim lg(1+x) =lg{lim (1+x) ] =lge
x→0 x x→0 x→0
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册
398.对数的计算
ln n
log n=
a lna
因为,
ln n
log n=
10 ln10
所以,
log n=0.4329*ln
10
因为,
ln n
log n=
a lna
所以,
lg(1+x) ln e 1 1
lim = = = =0.4343
x→0 x ln 10 ln10 2.3025
因为,
ln n
log n=
a lna
log 6=0.9208 , ln6=1.7917, ln7=1.9459
7
ln6 1.7917
log 6= = =0.9207
7 ln7 1.9459
因为, ln6=1.7917, ln5=1.6094,
ln6 1.7917
log 6= = =1.11327
5 ln5 1.6094
由数学归纳法可得
lgn
ln n=
lge
ln6=1.791759, lg2.718=0.434294, lg6=0.778151,
lg6 0.778151
ln 6= = =1.791
lg2.718 0.434294
由数学归纳法可得
lgn
log n=
a lga
log 6=1.791759, lg5=0.69897, lg6=0.778151,
5
lg6 0.778151
log 6= = =1.11328
5 lg5 0.69897
因为,
lgn
log n=
a lga
所以,
lg(1+x) lg e
lim = =lge=0.4342
x→0 x lg 10
例16b，计算
解，
log (1+x) 1/x 1/x
lim a = lim log (1+x) =log [lim (1+x) ] =log e
x→0 x a a x→0 a
因为
ln n
log n=
a lna
所以,
log (1+x) lne 1
lim a = =
x→0 x lna lna
例17，计算
x
e -1
lim
x→0 x
解，令
x
u=e -1, 则, x=ln(1+u), 当x→0时，u→0,所以
x
e -1 u
lim = lim =1
x→0 x u→0 ln(1+u)
例16、17可以作为公式使用。
例17a，计算
x
a -1
lim
x→0 x
解，令
x
u=a -1,
则, x=log (1+u),当x→0时，u→0,所以
a
x
a -1 u
lim = lim =lna
x→0 x u→0 log (1+u)
a
例16、17可以作为公式使用。
例16b，计算
解，
log (1+x) 1/x 1/x
lim a = lim log (1+x) =log [lim (1+x) ] =log e
x→0 x a a x→0 a
因为
lg n
log n=
a lga
所以,
log (1+x) lge
lim a =
x→0 x lga
例17，计算
x
e -1
lim
x→0 x
解，令
x
u=e -1, 则, x=ln(1+u), 当x→0时，u→0,所以
x
e -1 u
lim = lim =1
x→0 x u→0 ln(1+u)
例16、17可以作为公式使用。
例17a，计算
x
a -1
lim
x→0 x
解，令
x
u=a -1,
则, x=log (1+u),当x→0时，u→0,所以
a
x
a -1 u lga
lim = lim =
x→0 x u→0 log (1+u) lge
a
例16、17可以作为公式使用。
例18，计算
2-x x
lim ( )
x→0 3-x
解，因为
2-x 3-x+(-1) 1
= =1+
3-x 3-x x-3
所以令u=x-3, 当x→∞时，u→∞,因此
2-x x 1 u+5 1 u 1 5
lim ( ) = lim (1+ ) =lim [(1+ ) (1+ ) ]=e*1=e
x→0 3-x u→0 u u→0 u u
例18a，计算
6-x x
lim ( )
x→0 2-x
解，因为
6-x 2-x+4 4
= =1+
2-x 2-x 2-x
所以令u=2-x, 当x→∞时，u→∞,因此
6-x x 1 2-u 1 -u 1 2
lim ( ) = lim (1+ ) =lim [(1+ ) (1+ ) ]=1/e
x→0 2-x u→0 u u→0 u u
用数学归纳法可得
a-x x
lim ( ) =e, 当a<b时
x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =1/e, 当a>b时
x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =1, 当a=b时
x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =e, 当a>b时
x→0 x-b
a-x x
lim ( ) =1/e, 当a<b时
x→0 x-b
a-x x
lim ( ) =-1, 当a=b时
x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =e, 当a>b时
x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =1/e, 当a<b时
x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =-1, 当a=b时
x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =e, 当a<b时
x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =1/e, 当a>b时
x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =1, 当a=b时
x→0 x-b
例19，计算
1/x 2/2x 2
lim (1+2x) = lim (1+2x) =e
x→0 x→0
同理可证：
1/x a/ax a
lim (1+ax) = lim (1+ax) =e
x→0 x→0
第七部分 函数的极限
推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著
5.函数至极限
变数x能取得a,b间之一切数值者，叫做连续变数或简称变数，定义设ε为一任意选定其值甚小之正数，如能求得另一正数δ=δ(ε),当0<│x-a│<δ时，使恒有，0<│f(x)-b│<ε，
那么我们便说x越近于a时，函数f(x)趋近于极限b, 以记号表之如下：
lim f(x)=b,
x→a
注意1，不等式0<│x-a│是表示x不能等于a的意思，虽则，x=a时，│f(x)-b│<ε能成立之例甚多，然按极限的意思来说，函数f(x)在x=a时的情形如何，可以置之不问，注意2，ε和δ的函数关系，可置之不论，然无论ε如何选定，必有δ存在，ε越小，δ亦越小，函数的极限就是当x趋近于a时，f(x)趋近于b, b就是f(x)在x=a处的极限，
同时，0<│x-a│<δ，0<│f(x)-b│<ε，函数δ=δ(ε)不影响极限，选取一个合适的函数δ=δ(ε)，可以很容易的求出极限值。
例1， lim (1+2x)=3
x→a
设ε为任意选定其值甚小之正数，当x之值合于不等式，0<│x-1│<δ，
设y=1+2x, 省略上式中的常数项，得y≈z=2x, 所以，可设δ=ε/2，
那么，0<│x-1│<ε/2，时，我们就有，
│2x-2│<ε，
│(1+2x)-3│<ε
以定义，故知x→1时，1+2x越近于极限3，在此例x=1时，1+2x=3,
例2，解法1
2
1-x
lim =2
x→0 1-x
当x不等于1时，我们知道，
2
1-x
=1+x
1-x
故，x→1时，1+x趋近于2，
解法2
因为, 0<│x-1│<δ,
因为,y=1+x,z=x, 所以可设δ=ε，得
0<│x-1│<ε, │(1+x)-2│<ε
所以，x→1时，1+x趋近于2，
例3，
1
lim sin 存在否，
x→0 x
设ε为任意选定其值甚小之正数，我们很容易求得一正整数n,使
1 1
0< < <ε
2(n+1)π 2nπ
今令x在
1 1
≤x≤ 间隔内变动，1/x就在2nπ与2(n+1)π之间变动，
2(n+1)π 2nπ
sin(1/x)就在-1与1之间变动，倘n→∽,，x便越近于0，但sin(1/x)并不越近于一极限，
如图14所示
设A为任意选定其值甚大之正数，如能求得另一正数δ,当0<│x-a│<δ时，使恒有，
│f(x)│>A
那么我们便说，x→a时，函数f(x)趋于无穷大，以记号表之如下，
lim f(x)=∞
x→a
在几何方面，这意思就是说，直线x=a为曲线y=f(x)的渐近线，
例如，
1
lim sin 2 =∞，图15
x→0 x
证明：设δ为任意比x大的正数，0<│x-0│<δ
1
sin 2 >δ
(x-∞)
所以可设δ=ε，得
1
sin 2 >ε
(x-∞)
所以当x趋于0时，f(x)趋于∞，
设ε为任意其值选定甚小之正数，如能求得另一正数N, 当x>N时，使恒有
│f(x)-b│<ε
那么我们便说x趋近于无穷大时，函数f(x)趋近于极限b, 以记号表之如下，
lim f(x)=b
x→∞
在几何方面，这意思就是说直线y=b为曲线y=f(x)的渐近线
例如：
x-1 1
lim =
x→0 2x 2
1
因x> 时，就得
2ε
x-1 1
- <ε
2x 2
变数x趋近于a的方式，有x之值始终大于a者，前者写如x→a-0,,后者写如x→a+0,,
1
lim =-∞,
x→-0 x
1
lim =+∞,
x→+0 x
lim tanx=+∞
x→π/2-0
lim tanx=-∞
x→π/2+0
6.关于极限值的定理，设二函数y=f(x),z=g(x),在同一区间内有，
lim y= lim f(x)=b
x→a x→a
lim z= lim g(x)=c
x→a x→a
a,b,c都是极限数，可令y=b+β,z=c+γ,
当x→a时，β,γ两变数各趋近于零，
定理1
lim (y+z)=lim {f(x)+g(x)}=b+c
x→a x→a
证：(y+z)-(b-c)=β+γ, 故
│(y+z)-(b+c)│=│β+γ│≤│β│+│γ│
令ε为任意选定其值甚小之正数，当x之值充分与a接近时，可使
│β│<ε/2, │γ│<ε/2, │(y+z)-(b+c)│<ε/2+ε/2=ε,
lim (y+z)=b+c
x→a
lim (y-z)=b+c
x→a
lim yz=lim {f(x)g(x)}=bc
x→a x→a
证：yz-bc=(b+β)(c+γ)-bc =bγ+cβ+βγ,
故, │yz-bc│≤│bγ│+│cβ│+│βγ│
当x之值充分与a接近时，可使
│bγ│<ε/3, │cβ│<ε/3, │βγ│<ε/3,
故, │yz-bc│≤ε/3+ε/3+ε/3=ε,
即 lim yz=bc,
x→a
定理3
f(x) b
lim y/z= lim = (c≠0)
x→a x→a g(x) c
证：
y b b+β b cβ-bγ
- = - =
z c c+γ c c(c+γ)
y b cβ-bγ │cβ│-│bγ│
- = ≤
z c c(c+γ) │c│(│c│-│γ│)
当x之值充分与a接近时，可使
│β│
<ε/2，
│c│-│γ│
│cβ│-│bγ│
<ε/2，
│c│(│c│-│γ│)
由此得，
y b
- <ε/2+ε/2=ε
z c
故,
y b
lim =
x→a z c
定义，设z为y的函数z=g(y), 而y又为x的函数y=f(x), 则z之值随y而定，y之值又随x而定，因此之故，z与x自必发生一种相依相应的关系，所以z也是x的函数，这种函数叫函数的函数，申言之，函数z是函数y的函数，
定理4, 设 z=g(y),y=f(x),若
lim y= lim f(x)=b
x→a x→a
lim z= lim g(x)=c
x→b x→b
并且g(b)=c,那么
lim z= lim g(x)=c
x→a x→a
由此得
lim g{f(x)}=g{lim f(x)}
x→a x→a
但a,b,c都是有限数，
证：令ε，ε为任意二正数，δ，δ为适当的二正数，
0<│x-a│<δ` [1] 时，恒能使
│y--b│<ε` [2] 又当
0<│y-b│<δ [3] 时，恒能使
│z-c│<ε [4]
然原设g(b)=c, 因此我们可把(3)式以│y-b│<δ代之，又ε原为任意选定的正数，可令ε=3,
于是(4)便随(1)式而成立，故
lim z=lim g{f(x)}=c
x→a x→a
即,
lim g{f(x)}=g{lim f(x)}
x→a x→a
注意，若c=∞，以上的四定理亦能成立，
7.两个重要极限值
（1） sinx
lim
x→a x
以O为圆心，1为半径，做一圆弧AB, 做一圆弧AB, 如图17所示
那么当0<x<π/2时，△OAB<扇形OAB<△OAC, 即
sinx<x<tanx,
x 1
1< <
sinx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cosx趋近于1，故
x
lim =1
x→0 sinx
于是
sinx
lim =1
x→0 x
因此便得下列两个极限值如下：
tanx sinx 1
lim =lim *lim =1
x→0 x x→0 x x→0 cosx
又
2 x x
2sin sin
1-cosx 2 x 2 2
= = ( )
x x 2 x
2
故,
1-cosx
lim =1
x→0 x
(1)a
cosx
lim
x→0 x
那么当0<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，
cosx<π/2-x<cotx,
π/2-x 1
1< <
cosx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，sinx趋近于0，故
π/2-x
lim =0
x→0 cosx
于是,
π/2-x π/2 x
lim =lim - lim =0
x→0 cosx x→0 cosx x→0 cosx
因为,
π/2-x
lim =π/2
x→0 cosx
所以,
x
lim =π/2
x→0 cosx
cosx
lim =2/π
x→0 x
因此便得下列两个极限值如下：
cotx cosx 1
lim = lim *lim = 2/π
x→0 x x→0 x x→0 sinx
x x
lim = lim *lim sinx= π/2
x→0 cotx x→0 cosx x→0
又
2 x x
2cos cos
1-sinx 2 x 2 2
= = ( )
x x 2 x
2
故,
1-sinx 2
lim =( 2/π)
x→0 x
（1）b
2
sin x
lim
x→a x
以O为圆心，1为半径，做一圆弧AB, 做一圆弧AB, 如图17所示
那么当0<x<π/2时，△OAB<扇形OAB<△OAC, 即
sinx<x<tanx,
x 1
1< <
sinx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cosx趋近于1，故
x
lim 2 =1
x→0 sin x
1
lim =1
x→0 sinx
于是
2
sin x
lim =1
x→0 x
lim sinx=1
x→0
因此便得下列两个极限值如下：
2 2
tan x sin x 1
lim =lim *lim =1
x→0 x x→0 x x→0 2
cos x
又
2 x x
2 2sin sin
(1-cosx) 2 x 3 2 4
= =( ) ( )
x x 2 x
2
故, 2
(1-cosx)
lim =1
x→0 x
(1)c
2
cos x
lim
x→0 x
那么当0<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，
cosx<π/2-x<cotx,
π/2-x 1
1< <
cosx sinx
1 π/2-x 1
< 2 <
cosx cos x sinx*cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，sinx趋近于0，故
π/2-x
lim 2 =1
x→0 cos x
1
lim =1
x→0 cosx
于是,
π/2-x π/2 x
lim 2 =lim 2 - lim 2 =1
x→0 cos x x→0 cos x x→0 cos x
因为,
π/2
lim 2 =π/2
x→0 cos x
所以,
x
lim 2 =π/2-1
x→0 cos x
2
cos x 1
lim =
x→0 x π/2-1
因此便得下列两个极限值如下：
2 2
cot x cos x 1
lim = lim *lim 2 = π/2-1
x→0 x x→0 x x→0 sin x
又
2 x 2 x
2 (2cos ) cos
(1-sinx) 2 x 3 2 4
= =( ) ( )
x x 2 x
2
故,
2
(1-sinx) 2
lim =( π/2-1)
x→0 x
(1)d
cotx cosx
lim = lim
x→0 x 2
sin x
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
x tanx cotx cosx
1< < < <
sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
1< < < <cotx
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于0，故
cotx
lim =π/2
x→0 sinx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
tanx =1 < < =
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
cotx
lim =2/π
x→0 sinx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
= < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
cotx x tanx
cotx = < 1 < =
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
cotx
lim =1
x→0 sinx
(1)e
2
sinx sin x
lim = lim
x→0 cotx x→0 cosx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx
< < < <
cotx cotx cotx cotx cotx
sinx x tanx 1
< < < 1 <
cotx cotx cotx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
sinx
lim =1
x→0 cotx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
cotx cotx cotx cotx cotx
cosx sinx x tanx
= < < =1
cotx cotx cotx cotx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
sinx
lim =1
x→0 cotx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
= < < =
cotx cotx cotx cotx cotx
cosx sinx x tanx
= 1 < < =
cotx cotx cotx cotx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
sinx
lim =π/2
x→0 cotx
(1)f
tanx 1
lim = lim
x→0 sinx x→0 cosx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
x tanx cotx cosx
1 < < < <
sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
1 < < < <cotx
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
tanx
lim =1
x→0 sinx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
tanx=1 < < =
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
tanx
lim =π/2
x→0 sinx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
cotx x tanx
cotx < <1 < =
sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
tanx
lim =π/2
x→0 sinx
(1)g
cotx 1
lim = lim
x→0 cosx x→0 sinx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
< < < <1
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
cotx
lim =1
x→0 cosx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
1 = < < =
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
cotx
lim =1
x→0 cosx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
cotx sinx x tanx
1 < < < <
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
cotx
lim =π/2
x→0 cosx
(1)h
tanx sinx
lim = lim 2
x→0 cosx x→0 cos x
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
< < < <1
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
tanx
lim =1
x→0 cosx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
1 = < < =
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
tanx
lim =π/2
x→0 cosx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
cotx sinx x tanx
1 < < < <
cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
tanx
lim =π/2
x→0 cosx
(1)i
2
cosx cos x
lim = lim
x→0 tanx x→0 sinx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知，
sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx
< < < <
tanx tanx tanx tanx tanx
sinx x cotx cosx
< < 1 < <
tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
cosx
lim =π/2
x→0 tanx
那么当x=π/4时，
sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
tanx tanx tanx tanx tanx
cosx sinx x cotx
= < < 1 =
tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故
cosx
lim =1
x→0 tanx
那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x cotx
< < < <
tanx tanx tanx tanx tanx
cosx cotx sinx x
< < < <1
tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故,
cosx
lim =1
x→0 tanx
(2)
1 n
lim (1+ )
n→∞ n
令,
1 n
a =(1+ )
n n
则,
a =2，
1
3 2
a =( ) =2.25
2 2
4 3
a =( ) =2.37037…
3 3
5 4
a =( ) =2.4414…
4 4
1 n
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
n
1 n(n-1) 1 n(n-1)...(n-p+1) 1
1+n* + +…+ +…
. n 12 2 12...p p
n n
1 1 1 1 2 p-1
=1+1+ (1- )+… (1- )(1- )…(1- ) +…
. 2 n 1*2...p n n n
项数与各项之值，皆随n增而增，故
a ,a ,a ,...,a ,...
1 2 3 n
为一增数列，又因
1 1
<
1*2...p p-1
2
故,
1 1 1
a <1+1+ + +…+ <3
2 2 n
2 2
根据4的定理，当n→∞时，a 应向一极限值(≤3)收敛，
n
这个极限值，Euler氏以e字表之，注：Leonhard Euler,1707-1783
1 n
lim (1+ ) =e
n→∞ n
就上所论，可知2<e≤3,e的近似值(计算法见53)为e=2.718281828459......
今设x为一大于1的连续变数，并设n为不大于x的最大整数，于是n≤x<n+1,
1 1 1
1+ ≥1+ >1+
n x n+1
由此得
1 n+1 1 x 1 n
(1+ ) >(1+ ) >(1+ ) （见see 11）
n x n+1
故,
1 x
(1+ ) 介于
x
1 n 1 1 n+1 1
(1+ ) (1+ ) 与(1+ ) -(1+ )
n x n+1 n+1
二数之间，当n→∞时，此二数各趋近于e，故
1 x
lim (1+ ) =e
n→∞ x
若x为小于-1的连续变数，可令y=-x，于是
1 x 1 -y y n
(1+ ) =(1- ) =( )
x y y-1
1 y-1 1
=(1- ) (1+ )
y-1 y-1
故,
1 x 1 y-1
lim (1+ ) = lim [(1+ ) (1+ )]=e
n→∞ x y-1 y-1
若把式中的x代以1/x，便得结果如下：
1 1/x
lim (1+ ) =e
n→∞ x
以e为底数的对数叫做自然对数，也叫做Napier氏的对数，A的自然对数本书写如logA,其底数e省略不写，
(2)a
1 2
lim (1+ )
n→∞ n
令,
1 2
a =(1+ )
n n
则,
a =4，
1
3 2
a =( ) =2.25
2 2
4 2
a =( ) =1.7777…
3 3
5 2
a =( ) =1.5625
4 4
……………..
101 2
a =( ) =1.0201
100 100
1 2
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
n
1 1
1+2* +
. n 2
n
1 2 1 1
lim (1+ ) = lim (1+2* + )
n→∞ n n→∞ n 2
n
1 1
= lim 1+ lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2
n
=1
1 2
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
若把式中的2代以1/2，便得结果如下：
1 1/2
lim (1+ )
n→∞ n
令,
1 1/2
a = (1+ )
n n
则,
a =1.4142，
1
3 1/2
a =( ) =1.2247
2 2
4 1/2
a =( ) =1.1546…
3 3
5 1/2
a =( ) =1.11803…
4 4
……………..
101 1/2
a =( ) =1.0049…
100 100
由数学归纳法可知：
1 1/2
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
(2)b
1 3
lim (1+ )
n→∞ n
令,
1 3
a =(1+ )
n n
则,
a =8，
1
3 3
a =( ) =3.375
2 2
4 3
a =( ) =2.37052…
3 3
5 3
a =( ) =1.9531…
4 4
……………..
101 3
a =( ) =1.12211…
100 100
1 3
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
n
1 1 1 1 1
1+2* + + +2* +
. n 2 n 2 3
n n n
3 3 1
=1+ + +
n 2 3
n n
1 3 3 3 1
lim (1+ ) = lim (1+ + + )
n→∞ n n→∞ n 2 3
n n
3 3 1
= lim 1+ lim + lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2 n→∞ 3
n n
=1
1 3
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
若把式中的3代以1/3，便得结果如下：
1 1/3
lim (1+ )
n→∞ n
令,
1 1/3
a = (1+ )
n n
则,
a =1.25922，
1
3 1/3
a =( ) =1.14471
2 2
4 1/3
a =( ) =1.10064…
3 3
5 1/3
a =( ) =1.07721…
4 4
……………..
101 1/3
a =( ) =1.0033…
100 100
由数学归纳法可知：
1 1/3
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
同理可证：
1 4
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
1 1/4
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
1 5
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
1 1/5
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
……………….
1 100
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
1 1/100
lim (1+ ) = 1
n→∞ n
(2)c
1 2
lim (2+ )
n→∞ n
令,
1 2
a =(2+ )
n n
则,
a =9，
1
5 2
a =( ) =6.25
2 2
7 2
a =( ) =5.4444…
3 3
9 2
a =( ) =5.0625…
4 4
……………..
201 2
a =( ) =4.0401…
100 100
1 2
若把 (2+ ) 以二项式展开，便得
n
1 1
4+4* +
n 2
n
1 2 1 1
lim (2+ ) = lim (4+4* + )
n→∞ n n→∞ n 2
n
4 1
= lim 4+ lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2
n
=4
1 2
lim (2+ ) = 4
n→∞ n
若把式中的2代以1/2，便得结果如下：
1 1/2
lim (2+ )
n→∞ n
令,
1 1/2
a = (2+ )
n n
则,
a =1.73205…，
1
5 1/2
a =( ) =1.5811…
2 2
7 1/2
a =( ) =1.5275…
3 3
9 1/2
a =( ) =1.5
4 4
……………..
201 1/2
a =( ) =1.4177…
100 100
由数学归纳法可知：
1 1/2
lim (2+ ) = 1
n→∞ n
(2)d
1 3
lim (2+ )
n→∞ n
令,
1 3
a =(2+ )
n n
则,
a =27，
1
5 3
a =( ) =3.375
2 2
7 3
a =( ) =5.3593…
3 3
9 3
a =( ) =11.3906…
4 4
……………..
201 3
a =( ) =8.1206…
100 100
1 3
若把 (2+ ) 以二项式展开，便得
n
1 2 4 1 1
8+8* + + +4* +
. n 2 n 2 3
n n n
8 6 1
=8+ + +
n 2 3
n n
1 3 8 6 1
lim (2+ ) = lim (8+ + + )
n→∞ n n→∞ n 2 3
n n
8 6 1
= lim 8+ lim + lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2 n→∞ 3
n n
=8
1 3
lim (2+ ) =8
n→∞ n
若把式中的3代以1/3，便得结果如下：
1 1/3
lim (2+ )
n→∞ n
令,
1 1/3
a = (2+ )
n n
则,
a =1.44224…，
1
5 1/3
a =( ) =1.3572…
2 2
7 1/3
a =( ) =1.3263…
3 3
9 1/3
a =( ) =1.31037…
4 4
……………..
201 1/3
a =( ) =1.26201…
100 100
由数学归纳法可知：
1 1/3
lim (2+ ) = 1
n→∞ n
同理可证：
1 4
lim (2+ ) = 16
n→∞ n
1 1/4
lim (2+ ) = 1
n→∞ n
1 5
lim (2+ ) =32
n→∞ n
1 1/5
lim (2+ ) = 1
n→∞ n
……………….
1 100 30
lim (2+ ) = 1.2676506*10
n→∞ n
1 1/100
lim (2+ ) = 1
n→∞ n
同理可证：
1 2
lim (3+ ) = 9
n→∞ n
1 1/2
lim (3+ ) = 1
n→∞ n
1 3
lim (3+ ) =27
n→∞ n
1 1/3
lim (3+ ) = 1
n→∞ n
1 4
lim (3+ ) = 81
n→∞ n
1 1/4
lim (3+ ) = 1
n→∞ n
1 5
lim (3+ ) =243
n→∞ n
1 1/5
lim (3+ ) = 1
n→∞ n
……………….
1 100 47
lim (3+ ) = 5.153775209*10
n→∞ n
1 1/100
lim (23+ ) = 1
n→∞ n
由数学归纳法可知：
1 a a
lim ( M+ ) = M
n→∞ n
上式中，M为常数，a为常数，
1 1/a
lim ( M+ ) = 1
n→∞ n
同理可证：
1 1 2
lim (3+ + ) = 9
n→∞ n 2
n
1 1 1/2
lim (3+ + ) =1
n→∞ n 2
n
1 1 3
lim (3+ + ) = 27
n→∞ n 2
n
1 1 1/3
lim (3+ + ) =1
n→∞ n 2
n
由数学归纳法可知：
1 1 a a
lim (M+ + ) =M
n→∞ n 2
n
上式中，M为常数，a为常数，
1 1 1/a
lim (M+ + ) =1
n→∞ n 2
n
53.指数函数之展开
x
设 f(x)=e ,则so
(n) x
f (x)=e ,故
2 3 n
x x x x
e=1+ + + +…+ +…
1! 2! 3! n!
其收敛间隔为-∞<x<+∞,即│x│<∞,
2 3 n
x x x x
又f(a+h)=f(a) {1+ + + +…+ +…+...}=f(a)f(b),
1! 2! 3! n!
以x代a,y代h，则有f(x+y)=f(x)f(y), 即
x+y x y
e =e *e
x
当x→+∞时，e 趋近于+∞，其理置为显然，
x x
惟e 趋于+∞之情形如何，尚须讨论罢了，由e 的级数得，
x 2
e x 1 1 1 x x
= + +…+ + +…+ + +…
n n n-1
x x 1!x (n-1)!x n! (n+1)! (n+2)!
右边的第一行的和，当x→+∞时，趋近于极限1/n!，而第二行的各项各趋近于+∞，故
x
e
lim =+∞
n→∞ n
x
x n
这就表示x→+∞时，函数e 的增大，较x (n为一正整数)为快，n为其它正数时其理亦真，
x n x
当x→-∞时，e 趋近于零，且x e (n为一正整数)以趋近于零，令x=-x`，则
n
n x n -x n x
x e =(-x`) e =(-1)
x`
e
故,
n
n x n x`
lim x e =(-1) lim =0
x→-∞ x→+∞ x`
e
当x=1时，
1 1 1 1
e=1+ + + +…+ +…
1! 2! 3! n!
欲求e之值正确至小数第四位，可令a =1,a =1/n!，则
0 n
a
n-1
a =
n n
由此很容易算得,
a +a +a =2.5
0 1 2
a =0.16667*
3
a =0.04167*
4
a =0.00833*
5
a =0.00139*
6
a =0.00020*
7
a =0.00002*
8
S =2.71828
8
其中有星点之四项，其值较原值为大，除二项较原值为小（用四舍五入法）故,
0.5 0.5
2.71828-4* <S <2.71828+2*
5 5
10 10
又
1 1 1 1 1 1
R = + +…< {1+ + + +…}
9! 10! 9! 9 2 3
9 9
a 9 a
8 8
= * +
9 8 8
然
3
a <
8 5
10
故
3 4
a < <
8 5 6
8*10 10
由是可知e之值当介于2.71826与2.718294之间, 其值正确至小数第四位当为2.7182，其近似值为2.718281828459...,
x x xloga
若f(x)=a ,a 可写如e ,故
2 3 n
xloga (xloga) (xloga) (xloga)
a=1+ + + +…+ +… │x│<∞
1! 2! 3! n!
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
定理4，若
lim f(x)=∞则,
1
lim =0
f(x)
反之，设f(x)≠0，
若lim f(x)=0, 则,
1
lim =∞
f(x)
证明从略。
例1证明
cosx
lim =0
x
证，因为
cosx 1
= cosx
x x
其中cosx为有界函数，1/x为当x→∞时的无穷小量，所以由定理3可知
cosx
lim =0
x
